2005A

一、做2005年A题的主要思路

2005年全国数学建模竞赛A题是关于长江水质的评价和预测。

题目的4个附件给出了长江沿线17个观测站28个月的主要水质指标的检测数据（主要包括四个指标：PH值、氨氮含量、高锰酸盐含量以及含氧量），以及干流上7个观测站近一年多的基本数据（包括站点距离、水流量和水流速），此外还给出了“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据（主要是十年间不同类型水质的河长和百分比）。

要求解决的主要问题是对长江水质做出定量的评价；确定主要污染物的污染源；预测未来水质污染趋势；预测分析排污量。那么分析题目可以确定主要问题是要做评价和预测两项工作。

首先，对于问题一附件4中给出了国家标准地表水的评价指标，先要明确水质有Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ 、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ共 6个类别，每一类对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别标准就算是高类别的水质。这是一个评价标准。而Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ类为可饮用水，Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ类为不可饮用水，因此应该想到用归一法将两类水区分开。另外，由于各项指标在各类别中的标准值（区间）差别很大，量纲也不同，评价时要先对各项指标的数据做标准化处理。依据现有的四个水质指标的数据要评价水质我们有两种思考方向：一、主成分分析法提取主成分，并把主成分得分按方差贡献率加权求和，得出每个地区的污染综合评价指数，进而可以计算每个月长江流域的污染综合评价指数。这种思想的好处是能够消除指标之间可能存在的相关性，以避免数据对结果的影响叠加造成误差，另外还可以确定不同的指标对水质影响的权重，避免了直接加权法和层次分析法过程中主观因素造成的误差；二、建立评价指标函数。评价指标函数应当能够全面准确的描述水质。首先可以查找资料，看有没有现成的水质评测函数。其次就是要根据附件所给的四个指标（PH值、氨氮含量、高锰酸盐含量以及含氧量）分析权重建立合理的指标函数。建立指标函数的过程应该系统科学。函数如果建立得好的话会是文章的一大亮点。

对于问题二，要确定主要污染物的污染源应该要抓住以下几个要点：某个观测点的污染观测值包括本地区污染排放量和上游流下来的污染量；河流对其中的污染物有一定的降解能力，要确定降解函数。抓住这两点问题即可解决。首先研究每个江段中污染物浓度C（mg/L）的变化规律。题目中给出了降解系数，附件给出了每个月的污染物浓度，流量，流速等数据，可利用一般一维水质模型的近似解。从而可以得出上游流下来的污染物质量。但要注意一维水质模型可能会有误差，所以最好是能确定一个排污量的区间，最大排污量和最小排污量。这样，每一江段的每一个月都可以得到一个排污区间，可以再用对月取平均及对区间取中点的方法得到每个观测点的平均排污量，通过比较各个观测点的平均排污量，即可得出主要污染源的位置。 对于问题三，附件4给出了过去10年长江流域总体水质污染状况数据，可以认为反映污染状况的各类水质比例主要与当年总排污量和总流量有关，从而建立可饮用水（Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ类水）的比例与排污量和流量的回归模型。为了用这个模型预测未来可饮用水比例，先要预测未来的排污量和流量。由附件4的数据可以看出，排污量增长很快，而流量变化不大。可以用灰色预测或拟合或BP神经网络模型等方法得到排污量与时间的关系，而流量可以简单地用取过去10年的平均值等办法处理。最后，用上面两个模型计算未来可饮用水的比例。同时问题四要求计算每年的排污量就可以在问题三的基础上解得。

最后应当注意这么几点：一、除了对各个观测点水质情况作出评价还应当对整个长江的

水质及水污染变化情况作出评价。做这个部分时要注意使用合适的图表直观的展现出结果。 二、要注意对模型结果进行检验和分析。附件中给出了很多过去的数据，虽然主要工作是评价水质，预测未来水污染，但也不能脱离过去的现实数据。要利用现有数据检验模型，以免出现大的误差。

二、方法总结

我们组总共选取了七篇优秀论文。这7篇论文的思想方法各有异同。我们主要把文章分为评价和预测两个部分。

评价部分。加权思想是各篇论文的核心。因为题目给出了四个指标，那么思考方向有两个：直接加权分析和构建评价函数。

主成分分析法（华南理工大学） 1.直接加权分析 变权函数 （解放军信息工程大学、成都理工大学）

熵值法(云南大学)

2.构造评价函数 模糊数学（重庆邮电大学）2.构造评价函数

标准化 回归分析（山东大学、解放军理工大学）

所以对于评价类建模问题 有多项指标时要考虑到主成分分析法和构造评价函数。 主成分分析法的优点：

1）各主成分之间互不相关，避免了有相关性的指标反映问题造成重叠的情况，更加客观公正； 2）主成分个数远小于变量个数，但能够反映原有变量的绝大部分信息，简化了计算； 3）主成分分析法比较系统 ，理论完善，步骤清晰。 构造评价函数的优点：

构造合理的评价函数会是论文的一大亮点，提高了技术含量。构造函数的过程是一个比较系统的论证过程，使论文看起来系统有条理。

预测部分。主讲文章中构建了GM(1，1)模型和BP神经网络模型来预测未来长江水质的状况。而其他论文中主要运用线性回归方法进行预测。 （1）少数据性 1.GM（1.1）模型的特点 （2）良好的时效性

（3）较强的系统性和关联性

(1)良好的逼近能力 BP神经网络模型的特点 (2)误差可以控制

GM（1,1）模型求解需要的计算量小，在少量样本的情况下可达到较高的精度；而神经网络计算精度高，且误差可控；这样二者优势互补，使预测结果更加符合实际。 2.线性回归法

线性回归是利用MATLAB对已知的数据进行拟合从而得到图像和方程，进而进行预测。方法简单易于理解，但误差较大。

所以对于预测类建模问题 优先考虑运用灰色理论方法和构建神经网络进行预测以减少误差。