数学家对负数大小关系认识的历史片段

数学家对负数大小关系认识的历史片段

作者：柳 笛

来源：《湖南教育·数学教师版》2008年第08期

为什么-1>-47对于这个问题，你也许根本没有考虑过，也许你的解释是“数轴就是如此标记的”，同样学生在解不等式，答案出现了x 斯蒂菲尔

德国数学家斯蒂菲尔(M.Stifel，1486-1567)在《整数算术》中指出，等比数列的各项与其指数所形成的等差数列的各项相对应：

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192… 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lO 11 12 13…

等比数列中两项相乘得出的项，它的指数等于等差数列中相应两项之和，例如

64×128=8192的指数就等于等差数列相应两项的和，即6+7=13，等比数列中两项相除得出的项，其指数等于等差数列中相应两项之差，例如，2048÷64=32的指数就等于对应项的差11-6=5。

然而，同样的规则运用到像64÷512=1/8，就得到如6-9的减法，也就相当于从零中减去一个大于零的数(如0-3)，得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”，通过引入“荒谬的数”，按照此联系将两个数列向左边相应地延伸： …-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7…

…1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64 128…

从上表中我们可以看到，负数的大小关系是按照分数的大小来确定的，倘若教师按照该对应法则讲授负数的大小关系，可能会解决学生关于一1>-4的疑问，值得一提的是，纳皮尔(J.Napier，1550-1617)有效地运用这一关系发明了对数，建立了第一张对数表。 笛卡儿

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20年后，笛卡儿(R.Deseartes，1596～1650)只是部分地接受负数，在《几何》的第三编中，他把多项式方程的正根称为“真根”，负根称为“假根”，因为它们代表比无更小的数，方程x4+4x2-19x2-106x-120=0有四个根，即一个真根5和三个假根2，3，4(注：他没有使用负号)。 笛卡尔继续说，当一个方程的根未知，而希望每一个根都增加或减去某个已知数时，我们必须把整个方程中的未知量用另一个量代替，它比原未知量大一个或小一个那个已知数，于是，若希望方程x4+4x3-19x2-106x-120=0的每个根的值增加3，那么用y代替z，并令y比x大3，即x=y-3代入上式，原方程变为：y4-8y3-y2+8y=0。

这时，方程真根是8而不是5，因为已经加了3，笛卡儿认为，“……一个方程的真根的加大必使假根以同样的量减小；相反，真根的缩小会使假根增大……所以，给真根增加3，我们就使每个假根都变小了，原先是4的现在只是1，原先是3的根变成了零，原先是2的根现在成了真根1”，笛卡儿总结：“……增加比任何假根都大的数量，我们所有的根就都为真根。” 很显然，笛卡儿没有按照斯蒂菲尔的方式给负数排序，而是用“数量”来比较负数的大小关系，即认为-4>-1，这完全符合他对负数大小关系的理解，但不符合我们的理解，这就是为什么原文译者最后在引文处加上一个注脚的原因，使之符合现在的负数概念，“……增加比任何假根都大的数量，我们所有的根就都为真根”。(注：这里的假根是指假根的绝对值) 牛顿

17、18世纪，人们逐渐承认了负数，伟大的数学家和物理学家牛顿(Newton，1643-1727)在《代数讲稿》中明确叙述了正、负数的加法法则，他写道：“……当负数的数量大于正数的数量，它们的和是负的，”同样地，在叙述关于多项式方程解法的命题时，他表述“最大的正根”和“最大的负根”时在括号中进行补充解释：“……就是距离原点最远的点，”牛顿用“到原点的距离”这个几何概念作为比较正、负数大小的方法，将正、负数都直接看成距离(即认为-4>-1)。 欧拉

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瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707-1783)在《代数基础》中虽然没有明确地界定负数的大小关系，但还是隐含地出现“现在0加上1我们得到一个正1，这就是说从无至一；从1可以继续加下去，这样就产生了一列数，称之为自然数”，以下是这列数的前几项： 0，+1，+2，+3，+4，+5，+6，+7，+8，…，无穷大，

但是，如果我们沿反方向连续不断地减去1，我们就可以得到以下负数列： 0，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，…，无穷大，

欧拉认为，“……由于负数被看作负债，……因此我们可以说负数小于一无所有”，他没有阐明负数列中的大小关系，但是，下面这句话足以证明欧拉关于负数的大小关系与我们的不同：“……代数量可以从零的两端按照任何比例增加到无穷大(即认为4>-1)。” 波尔查诺

捷克数学家波尔查诺(Bohano,1781-1848)在他的论文中给出了一个定理的严格证明，后来这个定理以他的名字命名(1817年)，定理如下：

定义在闭区间[a，b]上的两个一元连续函数f(x)与g(x)，若f(a)g(b)，则闭区间[a，6]上必存在一个x，使得f(x)=g(x)。

波尔查诺在对a，b的取值情况进行分析时，揭示了他自己关于正、负数大小关系的看法：“为不失一般性，不妨设a，b异号，即a0，那么根据已知函数f(x)与g(x)是连续的，对所有的x，若x0，则x

关于几何级数的收敛性，波尔查诺认为：“级数a+ae+ae2+ae3+…的变化是通过变量e来决定的(e≠1)，如果e>±1级数就会越来越大；如果e±1相当于e+1，不等式e

无独有偶，阿贝尔(Abel,1802～1829)在关于二项式级数收敛性的论文中也有类似的错误，不等式x

阿纳尔德与卡诺

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源于对负数的偏见，使得人们对负数的大小关系还存在极大的反对意见，在英国和法国，排斥负数的倾向一直持续到18世纪末，阿纳尔德(Amauld，1612～1694)在给Prestet的一封信中提到，按照比例，如果1：3等于4：12，那么1：(-4)也一定等于(-5)：20，但是他怀疑，上式的结论，因为较大数与较小数的比，怎么能等于较小数与较大数之比呢?

卡诺(LCarnot，1753～1823)在《几何位置》中否认-负数具有大小关系，所持理由是“从这一想法中可以推出很多悖论甚至是荒谬结果，例如，-32>22，这就是说，两个不等量的平方，大数的平方会小于小数的平方，这显然与数量概念相矛盾”。

一直到19世纪末人们才开始尝试用现在的符号表示负数，到20世纪初渐渐为一些数学家采纳，负数概念在学校代数课本中使用，20世纪初，F·克莱因(F.Kline，1849～1925)在思考数轴图时评价道：“……负数作为今天所有受教育人士共有的知识……(这)主要归功于温度计的普遍传播。”

上述历史片段表明，历史不仅有助于查明困惑、障碍和错误出现的原因，并可能在课堂上重现，它还提供了真正的问题、疑问和想法，这些可以激发学生的学习兴趣，使他们意识到数学并不可怕。

另一方面，诚如美国著名数学家和数学史家M·克莱因(M.Kline，1908～1992)所说：“历史上大数学家所遇到的困难，恰恰正是学生会遇到的学习障碍，试图利用逻辑的冗长语言来消除这些困难是不可能成功的，从一流数学诞生开始，数学家花了1000年才得到负数概念，又花了另外1000年才接受负数概念，因此我们可以肯定，学生学习负数时必定会遇到困难，而且，学生克服这些困难的方式与数学家大致是相同的，”因此，教师通过了解历史上数学家的错误、困惑、挫折、失败，就可以诊断和解释学生学习数学概念时可能会犯的错误或遭遇的困惑、挫折和失败，这正是数学史的教育价值之一。