第23讲第一章高等数学(八)

2.函数的极值

（1）定义：若函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点x(xx0)，均有

f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值；若对此邻域内任一点x(xx0)，均有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。点x0称为极值点。

（2）极值可疑点：我们将导数为零的点称为驻点。函数的驻点和导数不存在的点有可能会成为极值点，称这两种点为极值可疑点。

【例题3-13】函数f(x)sin(x(A) (B)0

2)在区间[,]上的最小值点x0等于：

2 (D)

(C)

解：当函数f(x)sin(x在该区间上，sin(x)在点xB。

【例题3-14】函数y(5x)x的极值可疑点的个数是： (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

125(2x)0，知故x2是驻点，x0是导数不存在点，故极值解：由yx(5x)x3333x235)在区间[,]上变化时，对应sin(x)在区间[,]上变化，而2223取得最小值1，故f(x)sin(x)在点x00取得最小值，应选2223可疑点有两个，应选(C).

（3）极值存在必要条件：如果函数f(x)在点x0处导数存在，则函数在x0处取得极值的必要条件是

f(x0)0。

（4）极值判别法：函数的极值可疑点也不一定都是极值点，对极值可疑点还需做进一步判别，有以下两种判别法。

第一判别法:设f(x0)0，（或f(x0)不存在），如果f(x)在点x0左、右两侧变号，则x0为极值点；且在x0点两侧f(x)的符号由正变负（由负边正），则f(x0)为极大值（极小值）。

第二判别法设f(x0)0,f(x0)0,若f\"(x0)0(f\"(x0)0),则f(x0)是极大值（极小值）。 说明：极值是函数在局部范围的最大或最小，不一定是函数的最大或最小值。 【例题3-15】设函数f(x)在(a,b)内可微，且f(x)0，则f(x)在(a,b)内： A.必有极大值 B.必有极小值 C.必无极值

D.不能确定有还是没有极值

解析：由极值存在必要条件，如果f(x)在(a,b)内可导且有极值，则在极值点必有f(x)0。现有

f(x)在(a,b)内可微，故一定可导，又有f(x)0，则f(x)在(a,b)内必无极值。答案：C

3.曲线的凹凸性与拐点

（1）定义：设f(x)在(a,b)内连续，x1、x2(a,b)若f(x1x2f(x1)f(x2)（或)22f(x1x2f(x1)f(x2)），则称曲线yf(x)在(a,b)内是凸（或凹）的。 )22曲线yf(x)的凹弧与凸弧的分界点(x0,f(x0))叫拐点。

00）（2）判别法在(a,b)内若f(x)（或，则曲线yf(x)在该区间上向上凹（向上凸）。

若f(x0)0或f(x0)不存在，且在x0点两侧f(x)变号，则（x0,f(x0))为曲线yf(x)的拐点。 【例题3-16】当axb时，有f(x)0,f(x)0,则在区间(a,b)内，函数yf(x)的图形沿x轴正向是:

(A)单调减且凸的 (B)单调减且凹的 (C)单调增且凸的 (D)单调增且凹的

解:由f(x)0,f(x)0知，函数yf(x)的图形沿x轴正向是单调增且凹的。

答案：D

【例题3-17】曲线f(x)xex的拐点是： (A)(2,2e2) (B)(2,2e2) (C)(1,e) (D)(1,e1)

解:f(x)ex(1x),f(x)ex(2x)，令f(x)0，解得x2，这时y2e2。经验证，在x2附近两侧，f(x)ex(2x)变号，故(2,2e2)是拐点，应选A。

【例题3-18】若f(x)f(x)(,),且在(,0)内有f(x)0,f(x)0,则在(0,)内必有:

(A)f(x)0,f(x)0 (B)f(x)0,f(x)0 (C)f(x)0,f(x)0 (D)f(x)0,f(x)0

解:由于在(,0)内有f(x)0,f(x)0，f(x)单调增加，其图形为凸的。又函数f(x)在

(,)上是奇函数，其图形关于原点对称，故在(0,)内，f(x)应单调增加，且图形为凹的，所以

有f(x)0,f(x)0，应选C。

【例题3-19】对于曲线y(A)有3个极值点 (B)有3个拐点 (C)有2个极值点 (D)对称原点

1513xx,下列各性态不正确的是: 53

解:函数y1513xx在(,)处处可导，由yx2(x21)0,求得三个驻点x1,x0，531513xx有两个极值点，(A)选项是错的，应选(A)。再53在x1的两侧邻近一阶导数符号发生变化，故x1是极值点,而在x0两侧邻近一阶导数符号没发生变化，故x0不是极值点，因而曲线y由y2x(2x21)0,解得x0,x选项正确;函数y

2，经判别这三个点都是是拐点的横坐标,故有3个拐点，(B)21513xx是奇函数,曲线关于原点对称,(D)选项也正确. 53