圆系方程及其应用

1、以(a,b)为圆心的同心圆系方程：(xa)(yb)(0)

与圆xy＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：xy＋Dx＋Ey＋＝０

2、过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆xy＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：xy＋Dx＋Ey＋Ｆ＋（Ax＋By＋Ｃ）＝０（Ｒ）

3、过两圆C1:xy＋D1xE1yF1＝0，C2:xy＋D2xE2yF2＝０交点的圆系方程为：xy＋

22222222222222222D1xE1yF1＋（x2y2＋D2xE2yF2）＝0（≠-１，此圆系不含C2:x2y2＋D2xE2yF2＝

０）

特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方

22程:xyD1xE1yF1[(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)]0

二、圆系方程在解题中的应用：

1、利用圆系方程求圆的方程：

例1 求经过两圆x+y+6x-4=0和x+y+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。 解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。 （注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；

2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交； 3．两圆心连线与直线相交。

解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。

2222例１、求经过两圆xy＋3x－y－2＝０和3x3y＋2x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．

2

2

2

2

解：方法3：由题可设所求圆的方程为：

（xy＋3x－y－2）＋（3x3y＋2x＋y＋１）＝０

∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋＝０． 从而＝２

故所求的圆的方程为： (xy3xy2)2(3x3y2xy1)0

22即 7x7y＋7x＋y＝０。

222222222、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：

例2（1）：求过两圆xy5和(x1)(y1)16的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解：圆xy5和(x1)(y1)16的公共弦方程为2x2y110 过直线2x2y110与圆xy5的交点的圆系方程为

2222222222x2y225(2x2y11)0，即x2y22x2y(1125)0

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心(,)必在公共弦所在直线2x2y110上。即22110，则代回圆系方程得所求圆方程(x11 41121179 )(y)244822例２（2）; 求经过直线l：2x＋y＋4＝０与圆Ｃ：xy＋2x－4y＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程． 22解：设圆的方程为：xy＋2x－4y＋1＋（2x＋y＋4）＝０

2即xy＋2(1)x(4)y＋（1＋4）＝０则r2215844(1)2(4)24(14)()2，4455当＝

822时，r2最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：5x5y＋26x－12y＋37＝０ 5练习：

1．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）

2．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零） 3．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上） 4．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）

3、利用圆系方程求参数的值：

例3：已知圆xyx6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。

分析：此题最易想到设出P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OPOQ得到x1x2y1y20，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线x2y30与圆xyx6ym0的交点的圆系方程为：

22222

22

22

22

2

x2y2x6ym(x2y3)0，即

xy(1)x2(3)ym30………………….① 依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心(2211,3)显然在直线x2y30上，则2(3)30，22解之可得1又O(0,0)满足方程①，则m30，故m3。 4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：

22例4 圆系xy＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝０（kＲ，k≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何

22解：圆系方程可化为：xy＋10y＋20＋k（2x＋4y＋10）＝０ ∵ 与k无关 ∴ 2x4y100xy10y20022 即x2y50x(y5)522

22易知圆心（０，-５）到直线x＋2y＋5＝０的距离恰等于圆x(y5)＝５的半径．故直线x＋2y＋5＝０与圆

x2(y5)2＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故

它们的关系是外切或内切．

总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。