例析基本不等式中“1”的代换及应用

经典题突破方法　高考数学２¨】８年：｛月　仞Ｉ析基本不等武中　■南京市程桥高级中学　数　复ｊ』以０题形　腱　，将　、　，Ｊ‘法、数学心　逊＂梳　．他叫　ｆ『Ｊ拥打体系　化　｝Ｊ　架构卡¨址　常　题　的解题仪式．提　高　，、　：ｆ『Ｊ的能　Ｊ。离　Ｉ．　ｆｉ　瓜课本的ｆｌＩ１　“　ｌＩ＾，，　Ｉ　酌　代换及应用　李素文　“　的代殃　二、变秧杀仵崩侧２　，　知“＞０，　＞０　＋　—２，则　｝÷的　小他为——。　爿　小小等』　、ｒ．笔符钊埘坫小小等　分析：　知条件ｃ　＋，Ｊ一２一Ｉ·，虽然没彳『　』　『Ｉ１“１”的代换攻　川进行ｒ　结ＩＪｌ类，Ｊｆ：腱　钏ｘ寸一Ｈ　ｌｌ约：，化解『叫ｌ　：仃Ｊ　Ｈ｝｛－ｆ，Ｉ＇，Ｊ堆　。　现“１，，的等式．ｆｆ【通过变形可以化为　（　＋　）　一一　直接用“ｌ”的代换　１　侧，　１Ｊ！＝Ｕ　一＿Ｔ　、１Ｉ卜数　，　满足　＋２－ｖ—１．　。　解：ｌＮ为（　十　）一１　０．　：＞ｔ）．Ｉ｛Ｉ“＿ｒ　一２，僻　的山｛，卜ｆ　——一　分析：ｈ：接埘ｆ　十一ｉ　１乘以１，然　将　＼听以　一专十　一吉ｃ“＋　，（÷卜　）一　Ｖ，　“ｌ”换成条Ｉ＂Ｉ　ｆ　的公　，　化简，利Ｊ｛｛　小　吉（计　导）≥÷（…　、ｒ＂ｊ．仪、ｒ１　，Ｊ　ｃ　．ｊ　０　）一苦，　／ｆ　等』Ｉ＝　１＿ＩＩｉ＿。　，即　一　，，Ｊ一　时等号成　、（）．　，◆（）．所以　＋　一　解：Ｉ太１为　（÷十÷）·　一（÷　÷）·　ｚ　：　＋　　｝２　？’　＋寺≥。Ｖ　＋２√　·Ｖ．ｚ’　寺　、，　：、ｒ　Ｖ　．以÷卜一　一自９Ｍ：小　址导。　三　构造条件用…Ｉ’的代换　．、－１　ｆ　Ｉ仪　ｆＩＪ．　一　一１。　．＝＝　丝Ｈ寸等　．成　型｝．　’　侧了　＋　１的山量／ｊ、ｆＩ｜『为。　（），　十　１．！Ｊ！ｌＪ　分析：条什　所以　十一Ｉ的　小　为川、　Ｖ　…Ｉ　ｒ“１”的等式，若按　做，　臼皂　々化ＪＪ　Ｉ四数（内币【１为　２　。　ｊ｛《｛　Ｊ　ｌ　ｎ，ｊ，Ｊ‘　变式：　知『】Ｉ　数　，　满址÷－¨÷一１。则　一卜２　的最小ｆ『．Ｉ＿为解析：　定他的肜』　．　Ｉ　／ｆ　能利州　换心路，利川ｔ换几法求斛。令　小等　。转　“　／Ｊ　一　０，＿Ｖ＞０．所以　＋２　一　２Ｉ＊．【Ｊ！ｌＪ“一，，　斗导．　詈，ＩＪ｛ｕ问题转化为：　Ｉ．求　ｆｌ。ｆ　Ｊｆ≥　·　Ｊ例ｌ十¨似。　＂ｌ　一　，·　十ｚ　·（÷　）一：　＋　应用　１．　』　数的　。　卜　，｝　的最小　十寺　＋一ｚ√　·÷一　卜ｚ　。、ｌ，ＩＩ‘仪　ｈ…　十１．　一　时等号成　四、基本不等式“１”的代换的综合　侧　所以．ｔ＋２　的山女小价　３卜２￣／　数　一“　㈨（　，０）的　鞴麟———　目　．－ｉ－…　ｔ　，１　函数图像在解题中的应用　■河南省许昌高级中学　函数图像在高中函数学习中的运用其实　是非常普遍的，其目的主要是提高解题速度　和解题的准确性。本文主要就笔者的切身经　验淡谈函数图像在解题中的几种应用。　张文龙　的部分，集合Ｎ则表示一条　直线，其斜率是一１，纵截距为　ｂ，如图１所示。欲使Ｍｎ　Ｎ　≠　，即直线　一　＋『）　半　—　ｏ　／　题型一：在集合问题中的应用　１　，　若　集　合　Ｍ　—　圆有公共点，由图形可知，６　的最小逼近值是一３，最大值　图１　｛ｆ　（　ｌ　｛（　，　ｌ　ｆ　．、一３ｃＯｓ　０，　）Ｊ｛Ｉ　Ｉ　（０＜　＜　），集合Ｎ—　ｙ一３ｓｉｎ　６『　）ｌ　ｙ—　＋ｂ｝，且Ｍ　Ｎ　Ｎ一　，则６的　。　（　’，　’是３√２，即一３＜　≤３√２。　评注：将代数形式的解析式赋予几何意　义，利用函数图像的性质来解决代数问题，这　取值范同为　解析：若是数形结合的一个重要体现，在解题中应注　）满足集合　意适当使用。　。∞　题型二：在方程问题中的应用　Ｙ　ｌ｛（．ｌ　ｒ．）ｌ《　ｌ　ｖ一　３ｓｉｎ　ｃ００＜　＜　（＜　＜　）｝，则赋予几　赋予几　Ｊ　侧２　已知函数，（　）一ｊ　一２　Ｉ＋ｌ，　ｇ（　）一ｋ．ｚ　，若方程．，（　）一ｇ（Ｊ’）有两个小相　等的实根，则实数是的取值范同是（　）。　何意义后可知，点（ｚ，　）在半圆ｊ’　＋　一９（０　＜　≤１）上移动，问题转化为：直线．），一一’＋，）　与半圆．１’　＋　！一９（Ｏ＜　≤１）有公共点。　集合Ｍ表示以３为半径的圆在　’轴上方　Ａ．（ｏ，　１）　Ｂ．（专，　）　一　像经过点Ｐ（１，３），如图１所　“　ｌ　示，则—　“一ｌ　＋÷的最小值为　Ｄ　３　／　０　ｌ　３×　ｈ　４－　１×，／　ｇ×（　）？　盟×（４，化　／。　分析：南条件知ａ＋６—３，　“＞１，　＞。。要求　４　＋　１的　最小值．通过换元法，令，”一“一１　简整理得Ｔ＋　一２。问题转化为：已知　＞　０，ｙ＞Ｏ，　＋　一２，求　＋　的最小值。解答　过程同例２。　』　１　３．与解析几何的结合。　一，Ｊ．问题　倒６　若直线　．～６　＋２—０（“＞０，　６＞０）被圆　＋　＋２ｊ’一４ｙ＋１—０截得的　进『而转化为：已知ｍ＞０，”＞０，，Ｍ　ｄ－ｎ一２，求　ｄ　，，ｆ　１　二＋　的最小值。解答过程同例２。　２．与立体　Ｌ何的结合。　弦长为４，则二＋÷的最小值为　。　分析：由题意知，直线“　—ｂｙ＋２—０（“　＞０，『）＞０）过圆心（一１，２），得到“＋２ｔ）一２，　侧　如图２，设正四面体ＡＢＣＤ的棱　长为￣／６．Ｐ为棱ＡＢ上任意一点（不与Ａ，Ｂ　点重合），Ｈ．点Ｐ到平面ＡＣＤ，平面Ｂ（、Ｄ的　１　问题转化为：已知“＋２ｂ一２，“＞０，　＞０．求　＋÷的最小值。解答过程同例２。　基本不等式中“１”的代换及应用，对同学　们来说是难点，究其原冈是同学们没有理解　距离分圳为　。　，则二＋　的最小值为　分析：如罔３，连接ＰＣ，　ＰＤ，｝１１　Ｖ　、ｍ、，Ｊ—Ｖ｝Ｊ　．＿Ｄ＋　Ｖ　Ｂｔ』　。即．了１×　ｔ　。　利用基本不等式求最值的关键足必须凑成常　数．满足“一正、二定、　相等”的条件　（责任编辑　刘钟华）　图２　×￣，４　／ｇ－）。×２　２２