轮换对称不等式的证明技巧
轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。一、凑项升幂法
例 1
已知 x, y, z R ，且 x y z 1 ，
求证： 4x 1
4 y 1
4 z 1 21
分析：由于当 x
y
z
1 时，上述不等式的“ =”成立，于是 4 x 1 4y 1
4 z 1 7 。
3
3
证 明 ： 因 为
273
7 4x 1
4 x
1 ， 所 以4x 1
(2x 5) ， 同 理
4 y 13
(2 y 5)
3
3
7
7
4 z 13
x y z 1 代入化简即得证。
7(2z5) ，上述三式相加，并将
二、凑项降幂法 例 2
证明 Cauchy 不等式 a
2
a 2
a 2
( a 1 a
2
a ) 2
n
1
2 n
n
证明：设 a1
a2 an
2 a 2 2a
a ，则 ai
( ) ai ，所以n 2
a
ai
n (
)2
2a
n
ai ，
n
n
i 1
n
n i 1
即 a 2 a 2
a 2 ( a
a
12
a 2
n)
。
1
2
n
n
三、凑项去分母法
设
例 3 x1 , x2 , , xn 是正数，且 x1 x2
xn 1 ，
求证：
x12
x22
x n2 1
x n2
1 （ 1990 年第 24 届全苏数学奥林匹克十年级题２）
x1 x2 x2
x3
x
n 1
xn x n x1
2
分析：由于当
x1
x2
xn
1
时等号成立，于是xi
2
1
( xi
xi 1 ) 。
n
xi
x
i 1
4
证明：设
x
x 2
n 1
x ，因为
i1
( x
x
1
i 1 )
xi
xi
xi 1
4
所以 n
xi 2
1
n n
n
x
i
x i
2
1
，即
i 1 xx 4( xn
i 1 1 )
x
i 1
i 1
x
。
i 1i
x
i 1
2
i
i 1
例 4
设 a, b, c R
，且 abc
1 ，求证： 1
1 1
3
（ 1995 年第 36 届 IMO 题 2）
a 3 (b c) b 3 (c a ) c 3
( a b)
2
证明：原不等式等价于2
b 2c
c 2 a 2
a 2b2 3
a(b
c) b(c a) c( a b)
2
1
，
bc
当 a=b=c=1 时等号成立， 此时 2 2
1
a(b c) ，所以，
a(b c ) 4
22a b c (a b)
1 4
c (a b) ab ，上述三式相加并化简得
22b c a(b c)
22b c a(b c ) 22c a b( c a)
1
a(b c)
bc ，同理， 1 2
4 22a b c (a b)
22c a b(c a) 3 3 2
1
b(c a ) ca ，
3 2
4
ab bc ca
(ab bc ca)
例 5
设角 A、 B、 C 满足 cos A
222cos B cos C 1
求证：
1
1
1
9
sin A sin B sin C 2
222分 析 ： 原 条 件 等 价 于 sin A sin B sin C 2 ， 当 sin 2 A
2
2
2
22sin B sin C
2
时 等 号 成 立 ， 于 是
3
1 2sin A
29 sin A 3 ，
4
1 3 ， 1 22sin B 4 sin C
29 sin B 29 sin C
3 上述三式相加并化简得证，证明略。
4
四、凑项平衡系数法 例 6
设 z>0， z x
y ，则 x
2
y
2
z
2
6 ( yz
zx xy 。
2
y ) 3xy
)分析：当 x=y=
z
2
5
时等号成立。
2
2
2
证 明 ： 因 为 x
z
2 ( )
xz ， y
(
z
) yz ，
2
2
3 2 (x 2
① ， 将 上 述 三 式 相 加 并 化 简 得 ，
x 2 y 2
1 2 2 6 ② z (xz yz) xy 5 5 5
2
z( x
( xz yz)
所以， x 2
y
z
2
4 2 2
z
( xz
yz
6 5
xy
4 5
y)
2 5
6 5
xy
2
即 x
y 2
z
2
6
5
5
5
( yz zx xy) 。
注：只有①式的系数凑成
3
，②式中 xy 的系数才能是 。
6
2 5
上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取
到等号。
注：本文发表于《上海中学数学》
2003 年第 6 期
2
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