陕西省西安市2019届中考数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．A．﹣
的相反数是（ ）
B．
C．﹣
D．1.414
【分析】根据相反数的意义，可得答案． 【解答】解：故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．下列几何体中，左视图与主视图相同的是（ ）
的相反数是﹣
，
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：的主视图与左视图都是下边是梯形上边是矩形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．下列计算正确的是（ ） A．（﹣3a2b）3=﹣3a5b3 C．4m3n2÷m3n2=0
B． ab2•（﹣4a3b）=﹣2a4b3
D．a5﹣a2=a3
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
2363
【解答】解：∵（﹣3ab）=﹣27ab，故选项A错误，
∵，故选项B正确，
3232
∵4mn÷mn=4，故选项C错误，
52
∵a﹣a不能合并，故选项D错误，
故选B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
4．如图，直线a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠3=100°，则∠2的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】先根据平行线的性质，得到∠4=∠1=45°，再根据∠3=∠2+∠4，即可得到∠2的度数． 【解答】解：∵a∥b，∠1=45°， ∴∠4=∠1=45°， ∵∠3=∠2+∠4， ∴100°=∠2+45°， ∴∠2=55°， 故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5．如果y=（1﹣m）xA．m=﹣
B．m=
是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为（ ） C．m=3 D．m=﹣3
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【解答】解：∵y=（1﹣m）x
是正比例函数，且y随x的增大而减小，
∴∴m=
，
，
故选B．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义和性质，即形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数．
6．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长． 【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，
222
∴BC+AC=AB，
∴△ABC是直角三角形， ∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线， ∴DE=3， ∴AD=DC=故选：D．
=5．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD的长是解题关键．
7．如图，1﹣4月份，甲、乙两工厂月生产增长量的变化情况，则甲工厂和乙工厂生产增长量差值最大的月份是（ ）
A．1月份 B．2月份 C．3月份 D．4月份
【分析】折线最陡的一段线，就是增长量差值最大的月份． 【解答】解：甲工厂和乙工厂生产增长量差值最大的月份是2月份， 故选B．
【点评】本题考查了折线统计图，根据图中的折线的变化和数据进行求解．
8．已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（ ） A．k＞1，b＜0
B．k＞1，b＞0
C．k＞0，b＞0
D．k＞0，b＜0
【分析】先将函数解析式整理为y=（k﹣1）x+b，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b， ∵函数值y随x的增大而增大， ∴k﹣1＞0，解得k＞1； ∵图象与x轴的正半轴相交， ∴图象与y轴的负半轴相交， ∴b＜0． 故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF，延长DA交FG于点H，则GH的长为（ ）
A．8﹣4 B．﹣4 C．3﹣4 D．6﹣3
【分析】作辅助线，构建直角△AHM，先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA=30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长，由此得AM和HM的长，相减可得结论． 【解答】解：如图，延长BA交GF于M，
由旋转得：∠GBA=30°，∠G=∠BAD=90°，BG=AB=4， ∴∠BMG=60°， tan∠30°=∴∴GM=∴BM=∴AM=
=， ， ， ﹣4，
，
Rt△HAM中，∠AHM=30°， ∴HM=2AM=∴GH=GM﹣HM=故选A．
﹣8， ﹣（
﹣8）=8﹣4
，
【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值，属于基础题．
10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0； ②3a+b=0；
2
③b=4a（c﹣n）；
2
④一元二次方程ax+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到
=1，即b=﹣2a，
=n，则可对③进行判断；由于抛
物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间． ∴当x=﹣1时，y＞0， 即a﹣b+c＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n）， ∴
=n，
2
∴b=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
2
∴一元二次方程ax+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物
2
线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有222
个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11．﹣13+
﹣12sin30°= ﹣5 ．
【分析】根据乘方的意义，开平方、特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：原式=﹣1+2﹣12×=﹣1+2﹣6=﹣5， 故答案为：﹣5．
3
【点评】本题考查了实数的运算，利用乘方的意义，开平方、特殊角三角函数值，注意﹣1的底数
是1．
12．（1）正三角形的边长为4，则它的面积为 2（2）31+2sin18°≈ 31.62 （保留两位小数）
【分析】（1）求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积； 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC， ∵AB=AB=BC=4， ∴BD=CD=BC=2，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=则S△ABC=BC•AD=2
；
=2
，
（2）31+2sin18°≈31+2×0.3090=31.62． 故答案为：2
，31.62．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，计算器﹣三角函数，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
13．如图所示，直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为 ﹣
．
y1=﹣y2，【分析】由反比例函数图象的特征，得到两交点坐标关于原点对称，故x1=﹣x2，再代入x1y2﹣3x2y1，由k=xy得出答案．
【解答】解：由图象可知点M（x1，y1），N（x2，y2）关于原点对称， 即﹣x1=x2，﹣y1=y2，
把M（x1，y1）代入双曲线y=﹣，得x1y1=﹣2， 则x1y2﹣3x2y1 =﹣x1y1+3x1y1 =﹣6 =﹣
．
．
故答案为：﹣
【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，解决问题的关键是利用两交点坐标关于原点对称．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，经过点C且与AB边相切的动圆与BC、CA分别相交于点M、N，则线段MN长度的最小值为
．
【分析】设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理可求得BC的长，由MN=PD+CP可得到MN≥CD，故此当MN=CD时，MN有最小值，此时点C、P、D在一条直线上，最后利用面积法可求得CD的长，从而得到MN的最小值．
【解答】解：如图，设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；
∵AB=13，AC=12， ∴BC=
∵PC+PD=MN，
∴PC+PD≥CD，MN≥CD． ∴当MN=CD时，MN有最小值． ∵PD⊥AB， ∴CD⊥AB．
∵AB•CD=BC•AC， ∴CD=
=
． ． =
．
=5．
∴CD的最小值∴MN的最小值为故答案为：
．
【点评】此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC•AC÷AB是解题关键．
三、解答题．（共11小题，满分78分，解答题后写出过程）
15．（5分）1﹣1﹣2sin30°+|3.14﹣π|+（
0
﹣1）．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1﹣1+π﹣3.14+1=π﹣2.14．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（5分）解方程：
﹣
=1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
222
【解答】解：去分母得：3﹣x+x=x﹣1，即2x﹣x﹣4=0，
解得：x=经检验x=
，
是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．（5分）如图，已知锐角三角形ABC，求作⊙C，使⊙C与AB所在的直线相切于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】根据切线的性质，过C先作AB的垂线，垂足为D，以C为圆心，由CD作半径的圆即和AB相切．
【解答】解：作法：①过C作CE⊥AB于D， ②以C为圆心，以CD为半径画圆， 则⊙C就是所求作的圆．
【点评】本题考查了切线的性质和复杂作图问题，明确过直线外一点作已知直线的垂线，并熟练掌握圆的切线的性质．
18．（5分）某校为了了解七年级学生课外活动情况，随机调查了该校若干名学生，调查他们喜欢各类课外活动的情况（课外活动分为四类：A﹣﹣喜欢打乒乓球的人，B﹣﹣喜欢踢足球的人，C﹣﹣喜欢打篮球的人，D﹣﹣喜欢其他的人），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息完成下列问题： （1）调查的学生人数为 120 人． （2）补全条形统计图和扇形统计图．
（3）若该校七年级共有600人，请估计七年级学生中喜欢打乒乓球的人数． 【分析】（1）利用A人数除以所占百分比即可得到调查学生数；
（2）首先计算出喜欢踢足球的人数，然后计算出喜欢踢足球的人所占百分比，再计算出喜欢其他的人所占百分比，然后补图即可；
（3）利用总人数乘以样本中喜欢打乒乓球的人数所占百分比即可． 【解答】解：（1）30÷25%=120， 故答案为：120；
（2）喜欢踢足球的人数：120﹣30﹣60﹣6=24， 所占百分比：
×100%=20%，
×100%=5%，
喜欢其他的人所占百分比：如图所示；
（3）600×
=150（人），
答：七年级学生中喜欢打乒乓球的人数为150人．
【点评】此题主要考查了条形统计图，以及利用样本估计总体，关键是读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19．（7分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG． （1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；
（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠FBH=∠EDG， ∵AE=CF， ∴BF=DE， ∵EG∥FH， ∴∠OHF=∠OGE， ∴∠BHF=∠DGE， 在△BFH和△DEG中，
，
∴BFH≌△DEG（AAS）；
（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下： 连接DF，如图所示： 由（1）得：BFH≌△DEG， ∴FH=EG， 又∵EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO， ∴△EDO≌△FBO， ∴OB=OD， ∵BF=DF，OB=OD， ∴EF⊥BD， ∴EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（7分）已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表： 海拔高度（单位：米） 平均气温（单位：℃） 0 22 100 21.5 200 21 300 20.5 400 20 … … （1）若海拔高度用x（米）表示，平均气温用y（℃）表示，试写出y与x之间的函数关系式； （2）若某种植物适宜生长在18℃～20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？
【分析】（1）分析数据可知：高度每增加100米，温度下降0.5℃．据此列关系式； （2）取y=18，20，分别求出高度x的值，再回答问题． 【解答】解：（1）y=22﹣0.5×
（2）当y=18时，即 22﹣0.005x=18，解得 x=800； 当y=20时，即 22﹣0.005x=20，解得 x=400．
∴若某种植物适宜生长在18℃～20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，那么该植物适宜种植在海拔为400～800米的山区．
【点评】此题考查一次函数的应用，正确表示函数关系式是关键．难度不大．
21．（7分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
=22﹣0.005x；
【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴=， =，
∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m， ∴=∴
==
， ，
，
解得BD=52， ∴
=
，
解得AB=54．
答：建筑物的高为54米．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
22．（7分）“五一”小长假期间，某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性购物满500元以上均可获得两次摸球的机会（摸出小球后放回）．超市根据两小球所标金额的和返还相应的代金券．
（1）顾客甲购物1000元，则他最少可获 0 元代金券，最多可获 60 元代金券． （2）请用树形图或列表方法，求出顾客甲获得不低于30元（含30元）代金券的概率． 【分析】（1）至少得到的金额数为0+0=0元，至多得到的金额数为30+30=60元；
（2）列举出所有情况，看该顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）至少得到的金额数为0+0=0元，至多得到的金额数为30+30=60元， 故答案为0、60；
（2）画树状图如下：
共16种情况，不低于30元的情况数有10种， 所以所求的概率为
=．
【点评】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的
情况数是解决本题的关键．
23．D是AB边上一点，B、C三点， （8分）已知：如图，在△ABC中，圆O过D、∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．
【分析】（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°．又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得证；
（2）如果∠ACB=75°，则∠BCD=30°；又∠B=∠O=45°，解斜三角形BCD求解．所以作DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解．先求CD，再求DE，最后求BD得解． 【解答】（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°， ∴∠ODC=∠OCD=45°． ∵∠DOC=2∠ACD=90°， ∴∠ACD=45°．
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°． ∵点C在圆O上， ∴直线AC是圆O的切线．
（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°， ∴CD=2
．
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°， ∴∠BCD=30°，
作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°， ∴DE=DCsin30°=∵∠B=45°， ∴DB=2． 方法2：连接BO
．
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°， ∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60° ∵OD=OB=2
∴△BOD是等边三角形 ∴BD=OD=2．
【点评】此题考查了切线的判定方法和解直角三角形，内容单一，难度不大．注意：解斜三角形通常通过作垂线把问题转化为解直角三角形求解．
24．（10分）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围； （Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由． 【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；
（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4﹣12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；
（Ⅲ）抛物线y=3ax+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax+2bx+c=0的实数根的个数，
2
因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判
2
2
别式的符号得出相应的结论．
2
【解答】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x+2x﹣1， 2
方程3x+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1，
．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（，0）；
2
（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x+2x+c，且与x轴有公共点． 2
对于方程3x+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤．
①当
2
时，由方程3x+2x+=0，解得x1=x2=﹣．
2
此时抛物线为y=3x+2x+与x轴只有一个公共点（﹣，0）；（4分）
②当
时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；
x2=1时，y2=3+2+c=5+c．
由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为
，
应有即，
解得﹣5＜c≤﹣1． 综上，
或﹣5＜c≤﹣1．（6分）
2
（Ⅲ）对于二次函数y=3ax+2bx+c， 由已知x1=0时，y1=c＞0； x2=1时，y2=3a+2b+c＞0， 又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b． ∴2a+b＞0． ∵b=﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0． ∴a＞c＞0．（7分）
2222
∵关于x的一元二次方程3ax+2bx+c=0的判别式△=4b﹣12ac=4（a+c）﹣12ac=4[（a﹣c）+ac]
＞0，
∴抛物线y=3ax+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分） 又该抛物线的对称轴
，
2
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0， 得﹣2a＜b＜﹣a，
∴．
又由已知x1=0时，y1＞0； x2=1时，y2＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）
【点评】借助图象，可将抽象的问题直观化；二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数．
25．（12分）问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA+PC最小； （2）如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB=2，BC=2作一点P，使PE+PC最小，并求这个最小值． 问题解决
（3）如图③，李师傅有一块边长为1000米的菱形ABCD采摘园，AC=1200米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出的点P位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．
，点E为BC边的中点，求
【分析】（1）利用正方形的对称性直接连接AC即可；
（2）作出点C关于BD的对称性，连接C'E交BD于P，进而判断出△CEC'是直角三角形，利用勾股
定理即可求出；
（3）直接连接AE交BD于P，再过点E作EF⊥AC，构造出直角三角形，再利用三角形的中位线求出EF，进而利用勾股定理求出CF，最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可． 【解答】解：（1）如图①，
连接AC交BD于P，则AP+CP最小=AC；
（2）如图②，作点C关于BD的对称点C'交BD于F，连接C'E交BD于P，则PE+PC最小=C'E． ∵BD是矩形ABCD的对角线， ∴CD=AB=2，∠BCD=90°， 在Rt△BCD中，CD=2，BC=2∴tan∠CBD=∴∠CBD=30°，
由对称知，CC'=2CF，CC'⊥BD， ∴∠CFD=90°，
∴∠BCF=60°，∠DCF=30°， 在Rt△CDF中，CD=2，∠DCF=30°， ∴CF=
，
， =
=
，
，
∴CC'=2CF=2
∵点E为BC边的中点， ∴CE=BC=∴CF=CE， 连接EF，
∴△CEF是等边三角形， ∴EF=CF=C'F，
∴△CEC'是直角三角形，
，
在Rt△CEC'中，CC'=2∴C'E=3，
∴PE+PC最小为3；
，CE=，
（3）如图③，菱形ABCD的对角线相交于点O， ∴OC=OA=AC=600，AC⊥BD， 在Rt△BOC中，OB=过点E作EF⊥AC于F， ∴EF∥OB，
∵点E是BC的中点，EF=OB=400， ∵CE=BC=500， 根据勾股定理得，CF=
∴AF=AC﹣CF=1200﹣300=900， 连接AE交BD于P， 即：PC+PE最小=AE，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AE=
=100
，
=300， =800，
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，对称的性质，
三角形的中位线，勾股定理；解（2）的关键是判断出△CEC'是直角三角形，解（3）的关键是构造出直角三角形AEF．
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