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班级 类别 姓名 11-3 学生时间 辅导教师 １．回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。 2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 建立回归模型的基本步骤是： ①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量； ②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）. ③由经验确定回归方程的类型. ④按一定规则估计回归方程中的参数 （最小二乘法）； ⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等. 3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤： 训练（1）提出问题； （2）收集数据； 内容 （3）分析整理数据； （4）进行预测或决策。 4.残差变量 的主要来源： （1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述 与 之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在 中。 （2）忽略了某些因素的影响。影响变量 的因素不只变量 一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在 中。 效 果

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班级 类别 姓名 例题：研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系，测得一组数据如下： 11-3 学生时间 辅导教师 水深流速 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 （1）求 对 的回归直线方程； （2）预测水深为1.95 时水的流速是多少？ 分析：本题考查如何求回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，说明这两个变量线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程。 解： （1）由于问题中要求根据水深预报水的流速，因此选取水深为解释变量，流速为预报变量，作散点图： 训练内容 由图容易看出， 与 之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程 来反映这种关系。由计算器求得 。 对 的回归直线方程为（2）由（1）中求出的回归直线方程，把 。 代入，易得 。 计算结果表示，当水深为 时可以预测渠水的流速为 。 评注：建立回归模型的一般步骤： （1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量； （2）画出散点图，观察它们之间的关系； （3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）； （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。 效 果

班级 类别 11-3 高二数学培优补差记录

时间 辅导教师 学生姓名 一、基础知识梳理 1.独立性检验 利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 2.判断结论成立的可能性的步骤： 训练内容 （1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。 （2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。 查表得出结论 P(k2>k) k 0.455 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 效 果

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班级 类别 姓名 11-3 学生时间 辅导教师 例题 ：在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候中男人比女人更容易晕机？ 男人 女人 合计 分析：这是一个晕机 24 8 32 不晕机 31 26 57 合计 55 34 89 列联表的独立性检验问题，根据列联表的数据求解。 解：由条件中数据，计算得： 训练内容 因为 ， ，所以我们没有理由说晕机是否跟男女性别有关，尽管这次航班中男人晕机的比例 比女人晕机的比例 高，但我们不能认为在恶劣的气候飞行中男人比女人更容易晕机。 评注：在使用 统计量作 列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5，为此，在选取样本的容量时一定要注意这一点，本例中的4个数据都大于5，且满足这一要求的。 效 果

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班级 类别 姓名 11-3 学生时间 辅导教师 知识要点梳理 知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论。 知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。 1.归纳推理 （1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。 （2）一般模式：部分整体，个体一般 （3）一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想。 （4）归纳推理的结论可真可假 训练归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的内容 前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的。 2.类比推理 （1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）. （2）一般模式：特殊特殊 （3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象。 （4）一般步骤： ①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；③检验猜想。 （5）类比推理的结论可真可假 类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。 效 果

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班级 类别 姓名 经典例题透析 类型一：归纳推理 1．用推理的形式表示数列思路点拨：依题意，表示数列的前项和的前项和，即的归纳过程. .为此，我与的对应关系式.

11-3 学生时间 辅导教师 们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出解析：对数列，的前项和分别进行计算： ， ， ， 训练.观察可得，数列{Sn}的前五项都等内容 于1到相应序号的自然数之和的平方，由此猜想数列的前项和. 总结升华： ①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理. ②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一 ③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系. ④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的。 效 果

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班级 类别 姓名 类型二：类比推理 3．在三角形中有下面的性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边； (3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心； 11-3 学生时间 辅导教师 (4)三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆半径)． 训练内容 请类比写出四面体的有关性质． 思路点拨：利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四面体的相似命题，提出猜想． 解析： (1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面； (3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心； (4) 四面体的体积，(为四面体的四个面的面积，为四面体的内切球半径). 总结升华： 1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律： (1)平面中的点类比为空间中的线； (2)平面中的线类比为空间中的面； (3)平面中的区域类比为空间中的空间区域； (4)平面中的面积类比成空间中的体积． 2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系.即进行类比的对象必须具有某些类似特征，并且已知其中一类对象的某些已知特征，否则会使类比成为“乱比”，对两个“风马牛不相及”的事物，没有可比性，也没有类比的价值.可从不同角度选择类比对象，但要强调类比的原则是根据当前问题的需要. 3．类比推理是数学教学中经常采用的推理形式，如向量的运算性质与实数的运算性质的类比，立体几何中的许多定理性质与平面几何中的有关定理、性质的类比等. 效 果 高二数学培优补差记录

班级 类别 姓名 类型三：演绎推理 4．已知：在空间四边形平面中，、分别为、的中点，用三段论证明：∥11-3 学生时间 辅导教师 ∵三角形两边中点的连线是三角形的中位线…………大前提 两边、的中点，……小前提 证明：连结而∴、是分别的中位线.………………………………结论 ∵三角形的中位线平行于第三边………………大前提 而是∥的中位线，………………小前提 .………………………………结论 训练内容 ∴∵平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行………大前提 EF在平面所以外，在平面内，且∥，……小前提 ∥平面.………………………………………………结论 总结升华：①三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断. ②演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确. ③归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 效 果

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班级 类别 姓名 11-3 学生时间 辅导教师 知识要点梳理 知识点一：直接证明 1、综合法 （1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. （2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论. 为定义、定理、训练内容 （3）综合法的思维框图：用表示已知条件，公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： （已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论） 效 果

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班级 类别 姓名 11-3 学生时间 辅导教师 2、分析法 （1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法. （2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 训练内容 （3）分析法的思维框图：用定理等，表示已知条件和已有的定义、公理、公式、所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：

（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知） （4）分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。 效 果

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班级 类别 姓名 知识点二：间接证明 反证法 （1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. （2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的. （3）反证法的基本思路：“假设——矛盾——肯定” ①分清命题的条件和结论． ②做出与命题结论相矛盾的假设． ③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果． ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真． 11-3 学生时间 辅导教师 训练内容 （4）用反证法证明命题“若则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：

（5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件. 规律方法指导 1.用反证法证明数学命题的一般步骤： ①反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真； ②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立. 2.适合使用反证法的数学问题： ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题. 效 果

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班级 类别 姓名 类型一：综合法 1．如图，设在四面体，是垂直于中，，11-3 学生时间 辅导教师 的中点. 求证：所在的平面. 垂直于所在的平面，只需在垂直. 斜边上的中线，所以、的公共边，所以，因此所在的平面. ∴又因为于，思路点拨：要证所在的平面内找到两条相交直线与解析：连、,而因为是是、,而由此可知垂直于训练是内容 总结升华：这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考： （1）由已知由是斜边上的中线，推出和已知条件，推出三个三角形全等，记为，记为（已知）； ，记为推出（已知），记为（结论）. ； （结论）。 这个证明； （2）（3）由三个三角形全等，推出（4）由步骤用符号表示就是 效 果

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班级 类别 姓名 11-3 学生时间 辅导教师 类型二：分析法 2．求证： 思路点拨：由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到也可用综合法证明. 分析法 要证 ，， 成立， ， ， ， ，即，∵恒成立，∴原不等式得证. 训练只需证明 内容 两边平方得 所以只需证明 两边平方得 总结升华： 1．在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法。 2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程。 效 果

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班级 类别 姓名 11-3 学生时间 辅导教师 类型三：反证法 3．设二次函数程无整数根. 中的、、均为奇数，求证：方思路点拨：由于要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论. 训练内容 证明：假设方程有整数根，则成立，所以也为奇数，且与为偶数，. 因为为奇数，所以都必须为奇数.因为已知、为奇数，又为奇数，所以这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立. 总结升华：反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题. 效 果