2020-2021成都七中嘉祥外国语学校高一数学下期末第一次模拟试题(附答案)

一、选择题

1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知ab= A．2

B．3

C．2

D．3

2．设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1a3a53,则S5 A．5

B．7

C．9

D．11

5，c2，cosA2，则33．已知不等式xy（ ） A．8

1a≥9对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为xyC．4

D．2

B．6

4．已知集合Ax|x3x20,xR,Bx|0x5,xN，则满足条件

2ACB的集合C的个数为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

2，AC2，E是边BC的中点.O为ABC所在平面内一点

uuuv2uuuv2uuuv2uuuvuuuv且满足OAOBOC，则AE·AO的值为（ ）

5．在ABC中，ABA．

1 2B．1 B．

，则 C．

C．

2 2D．

3 26．已知集合A．

D．

7．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 C．36斛

B．22斛 D．66斛

8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

9．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A．

4 5B．

3 5C．，若

C．

2 5，则

D．

1 5的最小值为

10．设正项等差数列A．1

的前n项和为B．

D．

11．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么 ( ) A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

12．已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx32x，则不等式

fx0的解集为（ ）

33A．,U0,2233C．,22

B．,33, 22

33D．,0,

22二、填空题

13．在平面直角坐标系xOy中， 已知圆C1 : x2  y 2＝8与圆C2 : x2y 22xya＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______.

14．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则15．若11的最小值是__． ab1,，sin，则sin_________

43214的最小值是__________． ab16．已知a0,b0,ab2，则y17．已知定义在实数集R上的偶函数fx在区间,0上是减函数,则不等式f1flnx的解集是________.

18．已知点G是ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且

rbuuurcuuurrauuuGAGBGC0，则角B的大小是__________． 57819．已知aR，命题p：x1,2，x2a0，命题q：xR，

x22ax2a0，若命题pq为真命题，则实数a的取值范围是_____．

20．若a10=

12，am=，则m=______． 22三、解答题

21．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项an；

(2)求{an}前n项和Sn的最大值．

22．已知函数gxax2ax1+ba0在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.

2(1)求a、b的值； (2)设fx围．

gx，若不等式fxk0在x∈2,5上恒成立，求实数k的取值范x2rrrr23．已知平面向量a，b满足ab1.

rrrrab1（1），求a与b的夹角；

rrrrrrxaxbab（2）若对一切实数，不等式恒成立，求a与b的夹角.

24．已知数列an满足a11，an12an1，nN*，bn． an2an1证明数列bn为等差数列；

2求数列an的通项公式．

25．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值；

(2)设g(x)＝log4a•2－a，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

26．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为BF与DE的交点，若ABa,ADb，试以a，b为基底表示DE、BF、CG．

x43uuuvvvvuuuvvuuuvuuuvuuuv

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得解得【考点】 余弦定理 【名师点睛】

本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

（

舍去），故选D.

，

2．A

解析：A 【解析】

a1a3a53a33,a31，S555(a1a5)2a35a35，选A. 223．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意可知，xy1a1a9，将代数式xy展开后利用基本不等xyminxy式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可. 【详解】

1aaxyQxya1.

xyyxaxyya1无最小值，不合乎题意； xy00若，则，从而yxx若xy0，则①当a0时，

xy0，0.

yxaxya1无最小值，不合乎题意； yxaxyy1aa111，则xy≥9不恒成立； ②当a0时，

yxxxy③当a0时，

1aaxyaxyxya12a1a2a1yxxyyx当且仅当y所以，

a1，

2ax时，等号成立.

a19，解得a4，因此，实数a的最小值为4.

2故选：C. 【点睛】

本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.

4．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

求解一元二次方程，得

Ax|x23x20,xRx|x1x20,xR 1,2，易知Bx|0x5,xN1,2,3,4.

因为ACB，所以根据子集的定义， 集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合3,4的子集个数，即有224个，故选D. 【点评】

本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

uuuv1uuuvuuuvABAC，将所求数量积化为根据平面向量基本定理可知AE2vuuuv1uuuvuuuv1uuuABAOACAO；由模长的等量关系可知AOB和AOC为等腰三角形，根据三22v21uuuv2uuuvuuuvuuuvuuuv1uuuABAC线合一的特点可将ABAO和ACAO化为和，代入可求得结果. 22【详解】

uuuv1uuuvuuuvAEABAC为中点 QEBC2uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuvuuuvAEAOABACAOABAOACAO

222uuuv2uuuv2uuuv2QOAOBOC AOB和AOC为等腰三角形

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuv1uuuv2ABAOABAOcosOABABABAB，同理可得：

22uuuvuuuv1uuuv2ACAOAC

2uuuvuuuv1uuuv21uuuv213AEAOABAC1

4422本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.

6．D

解析：D 【解析】 试题分析：由

得

，所以

，因为

，所以

，故选D.

【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算

【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.

7．B

解析：B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r，则

16123r8，所以r，所以米堆的体积为4332032011163()25=÷1.62≈22，故选B. ，故堆放的米约为43399考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

8．B

解析：B 【解析】

分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：N20,i2,T0，

N2010，结果为整数，执行TT11，ii13，此时不满足i5； i2N20，结果不为整数，执行ii14，此时不满足i5； i3N205，结果为整数，执行TT12，ii15，此时满足i5； i4跳出循环，输出T2. 本题选择B选项.

点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．

9．C

解析：C 【解析】

选取两支彩笔的方法有C5种，含有红色彩笔的选法为C4种，

1C442. 由古典概型公式，满足题意的概率值为p2C510521本题选择C选项. 考点：古典概型

名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔

中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.

10．D

解析：D 【解析】 【分析】

先利用等差数列的求和公式得出本性质得出

后利用基本不等式可求出【详解】

由等差数列的前项和公式可得

，

由等差数列的基本性质可得

，

，所以，

，再将代数式的最小值.

和

，再利用等差数列的基

相乘，展开

， 所以，因此，【点睛】

本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

，当且仅当

的最小值为，故选：D.

，即当

时，等号成立，

11．A

解析：A 【解析】

如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC， 故M∈平面ABC，M∈平面ADC， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得fx的图象，据此分析可得答案. 【详解】

解：因为fx是定义在R上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且f00， 已知当x0时，fx32x， 作出函数图象如图所示，

33ff从图象知：0， 2233,fx0则不等式的解集为0,. 22故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.

二、填空题

13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：8,825,825

【解析】

【分析】

先求得直线AB为：2xy8a0,再分别讨论PAB90或PBA90和

APB90的情况,根据几何性质求解即可 【详解】

由题,则直线AB为：2xy8a0,

当PAB90或PBA90时,设C1到AB的距离为d, 因为△ABP等腰直角三角形, 所以d所以11AB,即d8d2,所以d2, 2228a212d2,解得a825,

当APB90时,AB经过圆心C1,则8a0,即a8, 故答案为：8,825,825 【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想

14．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：

【解析】

由已知a0,b0, 3是3a与b的等比中项，则则

323ab,ab1

1111111abab2ab2 ，当且仅当ab1时等号成立 ababab故答案为2

【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．

15．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属 解析：42 6【解析】 【分析】

利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.

【详解】 因为sin1222 ,,,故cos1sin432443sinsinsincoscossin

4444442212242sincos. 244233642 6故答案为：【点睛】

本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.

16．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情

9 2【解析】 解析：

分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成(式求得y的最小值. 详解：因为ab2，所以

ab1，所以2ab14)()，展开后，利用基本不等2aby14ab145b2a59()()2（当且仅当b2a时等号成ab2ab22ab22立），则y9914的最小值是，总上所述，答案为. ab22点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.

17．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为

1解析：0,e,

e【解析】

由定义在实数集R上的偶函数fx在区间,0上是减函数,可得函数fx在区间

+ 上是增函数,所以由不等式f1flnx得lnx1,即lnx1或lnx1,解得0，xe或0x11,即不等式f1flnx的解集是0,e,;故答案为ee10,e,. e18．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件 解析：

【解析】

3rbuuurcuuurruuuruuuruuurauuu由向量的平行四边形法则可得GAGCBG，代入GAGBGC0可得

578rcbuuurrabuuuabc()GA()GC0，故，则a5t,b7t,c8t．由余弦定理可得578757825t264t249t21B，故，应填答案． cosB23380t2点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法

rcbuuurrabuuu则，将其转化为()GA()GC0，然后再借助向量相等的条件待定出三角形

5787三边之间的关系

abc，最后运用余弦定理求出B，使得问题获解． 578319．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命

解析：a2或a1 【解析】 【分析】

根据不等式恒成立化简命题p为a1，根据一元二次方程有解化简命题q为a2或

a1，再根据且命题的性质可得结果.

【详解】

若命题p：“x1,2，x2a0”为真； 则1a0， 解得：a1，

若命题q：“xR，x22ax2a0”为真， 则4a42a0，

2解得：a2或a1，

若命题“pq”是真命题，则a2，或a1， 故答案为a2或a1 【点睛】

解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.

20．5【解析】

解析：5 【解析】

21a10a5,m5 22三、解答题

21．（1）an＝－2n＋5.（2）4 【解析】

（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2． 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．

（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4． 22．（1）a1,b0；（2）k4. 【解析】 【分析】

（1）函数gx的对称轴方程为x1，开口向上，则在2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得a,b的值.

(2)由题意只需kfxmin，则只需要求出fx在2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】

解：（1）Qgx开口方向向上，且对称轴方程为 x1，

gx在2,3上单调递增

gxming24a4a1b1.

gxg39a6a1b4max 解得a1且b0.

（2）Qfxk0在x2,5上恒成立 所以只需kfxmin.

x22x111有（1）知fxxx222x2x2x2x2124 x2当且仅当x21，即x3时等号成立. x2k4. 【点睛】

本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 23．（1）【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得

（2） 3x22xcos12cos0恒成立，利用判别式求解即可.

【详解】

rr（1）∵ab1，

rr2rurab12ab11，

rr1即ab，

2rr1∴abcos，

2∴3.

rrrr（2）不等式axbab两边平方可得:x22xcos12cos0恒成立，

∴0，即4cos22412cos0，

故cos10， 只能cos1， 而0， 所以. 【点睛】

本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题. 24．（1）见解析；（2）an【解析】 【分析】

（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.

（2）由（1）可知数列bn为等差数列，确定数列bn的通项公式，即可求出数列an的通项公式．

2 n1【详解】

1证明：Qa10，且有an1an0nN*，

又Qbn2an， an21， ana211111nbn，即bn1bn1nN*，且b11， an12anan22a12bn1bn是首项为1，公差为

1的等差数列． 21n2解：由1知bnb1n111n1n1，即a222所以an【点睛】

n1， 22． n1本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 25．（1）k＝－【解析】

(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，

－

∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4x＋1)－kx.

1.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 214x＋1log4－x＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.

24＋1(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－log4a•2－a有且只有一个实根，化简得方程2x＋

3根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－①a＝1

t＝－

1x＝2x414x

a·2a有且只有一个实＝－

32x4at－1＝0有且只有一个正根． 3t＝－2，不合题

333，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝44411<0a>1. ；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即

a12综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．

uuuv1vv26．CG(ab)

3【解析】

意，若a＝－3t＝

分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.

uuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvv1v详解：由题意，如图DEDCCEABCBab，

22uuuvuuuvuuuvuuuv1uuuv1vvBFBCCFADABab，

22连接BD，则G是VBCD的重心，连接AC交BD于点O，则O是BD的中点， ∴点G在AC上，

uuuv2uuuvvv2uuu21uuu1vv∴CGCOOCACab，

33323故答案为 uuuvv1vuuuv1vvDEab；BFab；

22uuuv1vv∴CGab．

3点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．