高中数学北师大版精品教案《不等式的性质》

【教材分析】

本节主要学习了不等式的五个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质的探索及运用，要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。对于不等式的基本性质，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的．

【教学目标】

1．探索并掌握不等式的基本性质； 2．理解不等式与等式性质的联系与区别．

【核心素养】

1．数学抽象：如何利用不等式表示不等关系

2．逻辑推理：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．

3．数学运算：证明不等式关系，会比较代数式的大小关系

4．直观想象：利用数轴的比较任意两数的大小关系，引出实数的大小关系，间接引出实数不等式的5个性质

5．数学建模：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，学会利用不等式关系表示实际问题

【教学重难点】

1．教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用． 2．教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简

【教学准备】

PPT

【教学过程】

1．知识引入

在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊a，b的大小．关于实数a，b，大小的比较，有以下基本事实：如果ab是正数，那么如果a＞b；如果ab等于0，那么ab；如果ab是负数，那么ab反过来也成立．

结论总结：a＞b  ab＞0

ab  ab0

ab  ab0

2．不等式基本性质

性质1如果a＞b，且b＞c，那么a＞c． 分析要证a＞c，只需证ac＞0． 证明因为a＞b，且b＞c，

ab＞0，bc＞0

从而ac（ab)(bc）＞0，即a＞c． 性质2如果a＞b，那么ac＞bc．

分析要证ac＞bc，需证（ac）（bc）＞0． 证明因为a＞b，所以ab＞0，

所以（ac）（bc）ab＞0，即ac＞bc．

性质3如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc 分析：要证ac＞bc，只需证明acbc＞0 证明因为a＞b，所以ab＞0．

又因为c＞0，所以abc＞0即acbc＞0，ac＞bc 请同学完成c＜0的情况证明

例1试比较x1x5与x32的大小．

解：因为x1x5x32x26x5x26x94＜0 所以x1x5＜x32 例2试证明：若0＜a＜b，m＞0，则证明：

ama＞ bmbamab(am)a(bm)m(ba) bmbb(bm)b(bm)m(ba)0

b(bm)因为a＜b，所以ba＞0．又b＞0，m＞0，故

ama因此：bmb

性质4如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd． 证明：因为a＞b，所以ac＞bc． 又因为：c＞d，bc＞bd 由不等式的性质1，得ac＞bd．

性质5：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd． 证明：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc．

又因：c＞d，b＞0，所以bc＞bd 由不等式的性质1，得ac＞bd． 请同学们：完成c＜d＜0的情况证明

特殊情况：当a＞b＞0时，an＞bn，其中nN，n2

11例3：（1）已知a＞b，ab＞0，求证＜

ab已知a＞b，c＜d，求证：ac＞bd

10证明：（1）因为ab＞0，所以ab； 因为a＞b，所以有不等式的性质3，得a（2）因为c＜d，所以c＞d．

又因为a＞b，所以有不等式性质4，得a，即ac＞bd （c）＞b（d）3．题型归类：比较两数的大小

（1）比较大小：x32＞x2x4．（填写“＞”或“＜”） （2）x1x5与x32的大小关系为x1x5＜x32．

（3）．已知a，b为实数，则a3a5＜a2a4．（填写“＞”或“＜”或“”） 判断不等关系是否成立

（1）已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（C） A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．＜

（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（C） A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则＜

（3）若a，b，cR，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（B） A．acbc B．abc20 C．ac＞bc

1a1b1a1b1111＞b，即＜ abababD．babc accacb证明不等关系

1．已知a＞b＞0，c＜0求证：＞．

2．比较a3a5与a2a4的大小． 证明：（1）a＞b＞0，

1∴＞a＞0， b再由c＜0，可得＞． 故要证的不等式成立；

解：（2）∵a3a5-a2a4

a22a15a22a8 7＜0，

∴a3a5＜a2a4．

cacb

（2）已知a，bR，比较a2b2与abab-1的大小． 解：a2b2abab1

1 （2a22b22ab2a2b2）21[(a22abb2)(a22a1)(b22b1)] 22[(ab)2(a1)2(b1)2]0，当且仅当ab1时，两式相等

∴a2b2abab1

a2b2ab（3）设a＞b＞0，比较2与的大小．

abab2a2b2ab＞0解析：解：∵a＞b＞0，∴ab＞0，a＞b，∴2，＞0．

abab222a2b2ab(ab)(ab)ab(ab)221a2b2＞1， 两数作商22222abababababa2b2ab＞． ∴22abab【教学反思】

本节内容需要学生掌握不等式的基本性质，会判断两数的不等关系，学会利用不等式关表示实

际问题。