利用算子半群理论看热传导方程初边值问题解

利用算子半群理论看热传导方程初边值问题解的存在性

蔡园青 PB06001093

在偏微分发展的历史上，人们为了求解各类方程发展了不同的方法，比如Fourier变换法，Laplace变换法等等。而作为数学发展的趋势，后出现的理论往往是从一个更高的层面上去看前面的理论。比如说代数中用模的理论去看待Jordan标准型，从而引伸出更加深刻的结果。在偏微分发展的理论中，算子半群理论就是在一定高度上去看待偏微分方程可解性的一个工具。

算子半群方法是求解偏微分方程中的发展方程（包括热传导方程、波动方程、抛物型方程、双曲型方程、Schrodinger方程等）。它可以用来求解线形与非线性发展方程的定解问题。接下来，本人将利用自己这学期所学的泛函分析的知识，利用算子半群理论来考虑热传导方程的初边值问题的求解。

一、算子半群的定义及原型

设X是一个Banach空间。一族X1到它自身的有界线性算子T(t)|tR称为一个强连续算子半群（简称强连

续半群）是指：

（1）T(0)I；

（2）T(s)T(t)T(st)，s,t0； （3）xX,tT(t)x在X模下连续。

（2）称为半群条件，（3）称为连续条件。另外，联合（1）、（2）可以推出（3）等价于下面的条件：

（4）xX,T(t)t0，当t0。

（4）成为在t0点处的连续条件。

算子半群在微分方程、概率论（马氏过程）、系统理论、逼近轮和量子理论是经常出现的。下面给出两个例子说明其原型。

来自常微分方程的例子。

设A是一个nn实矩阵，方程组

dx(t)Ax(t), dtx(0)xRn01n在空间C([0,),R)中解存在唯一。设t0，考察映射

T(t):x0x(t)。

那么由解的存在性，T(t)|t0有定义。它们显然是线性算子，并且由解对初值的连续依赖性，他们是有界的。

容易验证T(t)|t0满足强连续半群的条件。实际上，条件（1）为初值定义所蕴含，条件（2）由方程平移不变性和唯一性保证，条件（3）由解的连续性推出。

另一方面，在常微分理论中，我们可以将T(t)|t0具体写出来：

tnAn。 T(t)en0n!tA由上式可以看出算子半群T(t)|t0与矩阵A的关系：T(t)可以通过A的指数表达出来。

再看热传导方程。

在[0,][0,)中考察热传导方程：

utuxx,0x,t0u(t,0)u(t,)0,t0 u(0,x)f(x),0x利用分离变量法，其解为

u(t,x)anentsinnx，

n12其中，an20f(x)sinnxdx。

若f(x)L2[0,]，方程的解将会在t0时绝对收敛。而且关于t或x逐项求导所得级数均内闭一致收敛。 同样的考虑，固定t，将方程的解看作从f(x)到u(t,x)的一个映射，记为S(t)，则u(t,x)S(t)f(x)。于是对

t[0,)，S(t)为L2[0,]到L2[0,]的一个线性映射，而且容易看出这是有界的。

又对t1,t2[0,),f(x)L2[0,]

S(t2)S(t1)f(x)(anen1n2t1)en2t2sinnxanenn12(t1t2)sinnxS(t1t2)f(x)

于是，S(t2)S(t1)S(t1t2)

而显然又有S(0)I。

又由积分的绝对收敛性及极限函数与赋值的可交换性，当t0时，

S(t)f(x)f(x)(n1220f(x)sinnxdx)entsinnxf(x)

2 (n10f(x)sinnxdx)sinnxf(x)0

由此知算子族S(t)构成单参数连续半群。

在第一个例子中我们看到，T(t)可以通过A的指数表达出来，那么对于第二个例子甚至是其他的例子，是否也有类似的关系。这个问题的回答依赖于无穷小生成元的定义及著名的Hille-Yosida- Philips定理。

二、无穷小生成元及Hille-Yosida- Philips定理

设X1是一个Banach空间。T(t)|tR是X上一个强连续算子半群，令

Att1(T(t)I),t0

并按下列方式定义X上算子：

D(A)xX|x*X,limAtxx*,

t0A:xx*

1算子A成为T(t)|tR上的无穷小生成元。

无穷小生成元有以下比较好的性质： （1）稠定性，线性性

（2）T(t)将D(A)映入到D(A)内，并且当xD(A)时，

dT(t)xAT(t)xT(t)Ax dt容易看出对于上面的第一个例子，矩阵A是算子半群T(t)|t0的无穷小生成元。在第二个例子中，这个问题变得不明显。实际上，对于一般的问题，Hille-Yosida-Philips定理给了一个很好的回答。

1（Hille-Yosida-Philips）为了一个线性稠定闭算子A成为一个强连续算子半群T(t)|tR的无穷小生成元，必须



且仅须：

（1）00，使得

(0,)(A)；

（2）M0，使得当0时，

(A)nM()n,n1,2...

我们利用Hille-Yosida-Philips定理再来考虑热传导方程。

2记A2，令XL2([0,])，D(A)C0((0,))，则A可以扩张成一个X的闭算子，记为A，此时定义

x11域为H2((0,))H0((0,))， ((0,))。由Garding不等式，存在常数00，00，使得uH2((0,))H0Re(Au,u)0u10u，

其中1是H1((0,))模。于是当0时，

22Re((A)u,u)0u1，

从而

2222(A)u(')2u2(')Re(('A)u,u)('A)u，

其中'0。所以

(')2u(A)u。

1因此(0,)(A)。于是由Hille-Yosida-Philips定理知A是一个强连续算子半群T(t)|tR的生成元。当

221f(x)H2((0,))H0((0,))时，初边值问题有解

u(t,x)(T(t)f)(x)

事实上，

du(x,t)d(T(t)f)(x)2uAT(t)fAu2 dtdtx即u(t,x)(T(t)f)(x)为原方程的解。于是这就从算子半群的角度证明了热传导方程初边值问题解的存在性。

从这个例子可以看出算子半群方法在偏微分方程中的威力。实际上，这也只是泛函分析方法在偏微分方程中的应用的冰山一角。相信随着数学的发展，会由越来越多的泛函分析工具为偏微分方程注入更强大的活力。

参考文献：

[1]泛函分析讲义（下册）.张恭庆 郭懋正.北京.北京大学出版社.2003 [2]现代偏微分方程导论.陈恕行.北京.科学出版社.2005

[3]线性偏微分方程引论.王元明 管平.江苏.东南大学出版社.2002