任军;严子成;吴正虎;赵大兴
【摘 要】针对RV减速器中的针摆传动,建立了一种考虑摆线轮齿廓曲率半径变化的等效扭转啮合刚度计算模型,分析了输入力矩的变化对针摆传动等效扭转啮合刚度的影响.基于Hertz公式,推导了RV减速器中摆线轮与单个针齿啮合刚度随啮合点位置变化的函数关系式,利用摆线针轮传动模型计算实际参与啮合的齿数,进而建立针摆传动等效扭转啮合刚度模型.通过MATLAB软件对模型进行数值仿真,分析了3种不同输入力矩条件下等效扭转刚度曲线的变化规律,分析结果对RV减速器动力学模型研究有一定的理论和工程价值. 【期刊名称】《机械设计与制造》 【年(卷),期】2019(000)005 【总页数】4页(P22-25)
【关键词】RV减速器;针摆传动;等效扭转啮合刚度;Hertz公式 【作 者】任军;严子成;吴正虎;赵大兴
【作者单位】湖北工业大学机械工程学院,湖北 武汉 430068;湖北工业大学机械工程学院,湖北 武汉 430068;湖北工业大学机械工程学院,湖北 武汉 430068;湖北工业大学机械工程学院,湖北 武汉 430068 【正文语种】中 文
【中图分类】TH16;TH132.414
1 引言
RV减速器是一种用于机器人关节的新型精密减速器，与传统的减速器相比，它具有体积小、传动比高、传动力矩大、效率高、稳定性高等优点，在国外得到广泛的使用，重载RV减速器用于重型机器人、坦克装甲运动、航空航天精密传动、船舶推进等特殊领域。在RV减速器的研究中，动力学分析一直是研究热点，对RV减速器的动力学研究能够得到整机的固有频率，避免减速器内部零件产生共振，减小减速器的噪声和损耗。在对RV减速器进行动力学分析时，刚度矩阵是求解整机固有频率以及振动特性的必要条件，得到准确的刚度对RV减速器的动力学研究有重要意义。
摆线针轮减速是RV减速器中的第二级减速部分，理论情况下，摆线轮在传动过程中，有一半的针齿参与啮合。实际情况下，摆线轮与针齿间为了预留油膜空间，会对摆线轮进行修形，导致实际参与啮合的针齿数并未达到理论上的一半齿数。文献[1-2]通过对摆线轮受力分析得到的摆线轮实际啮合齿数计算公式。为了得到摆线轮的刚度矩阵，文献[3]利用Hertz公式对RV减速器中摆线轮刚度进行了计算，并得到等效扭转刚度相对时间的变化曲线。文献[4]计算了多种修形条件下摆线针轮啮合传动的等效扭转接触刚度。文献[5]通过仿真软件对RV减速器整机扭转刚度特性进行分析，计算出曲柄轴自转一周整机的扭转刚度的变化规律，同时得到影响减速器扭转刚度的主要原因。文献[6]对摆线轮的相关研究进行整理，有着较为详细的阐述。在计算摆线轮与单个针齿的啮合刚度时，需要考虑到摆线轮与各针齿的接触位置不同，摆线轮与针齿存在凹凸接触和凸凸接触两种状态，同时摆线轮齿廓曲线上各点的曲率半径不尽相同，所以各针齿与摆线轮的啮合刚度各不相同。 重点考虑在摆线轮与针齿啮合时，啮合点处摆线轮的曲率半径对其啮合刚度的影响，从而计算得到更加准确的针摆传动啮合刚度。根据摆线轮理论齿廓曲线可求得摆线
轮曲率半径与针齿接触点的函数关系式，判断各针齿与摆线轮的接触状态，并求得该处的曲率半径，利用Hertz公式对啮合刚度进行求解，将其转换为单个针齿对摆线轮的啮合扭转刚度，最后将数值叠加得到摆线轮的等效扭转啮合刚度。利用MATLAB编程计算计算摆线轮等效扭转啮合刚度，通过改变输入力矩，研究输入力矩与刚度变化曲线关系。 2 摆线轮与针齿啮合刚度计算
理论上摆线轮与针齿是通过线接触传递运动，实际情况下摆线轮在与针齿啮合的过程中发生了弹性形变，近似的可以认为摆线轮与针齿接触时是两个圆柱面进行接触，则可以利用赫兹公式进行计算，如图1所示。
图1 Hertz公式圆柱接触变形Fig.1 Hertz Formula Cylindrical Contact Deformation
当两圆柱体接触时，由赫兹公式可得到接触面的半宽为：
式中：F—为针齿与摆线轮接触力；b—为针齿与摆线轮接触面的宽度；μ1，μ2—针齿和摆线轮的泊松比；E1，E2—针齿和摆线轮的弹性模量；ρ1，ρ2—针齿和摆线轮曲率半径。
由于摆线轮与针齿的材料相同，则可将公式简化如下L=（计算时 ρ、ρ2始终为正值），ρ1为针齿的曲率半径为定值rrp，摆线轮的理论曲率半径由文献[6]可知：
式中：rp—针齿中心圆半径；rrp—针齿半径；zp—针齿数；K1—为短幅系数且 K1=a·zp/rp；a—偏心距。
摆线轮的理论曲率半径用于判断摆线轮的凹凸性，摆线轮的实际曲率半径为：ρ2=ρ0+rrp
当ρ0为正值时，曲线向内凹，针齿与摆线轮凹凸接触，曲率求和为负号，当ρ0
为负值时，曲线向外凸，针齿与摆线轮凸凸接触，曲率求和为正号。 由图 1 可知
式中：cr—为针齿挤压变形量。 化简后可得，针齿的挤压变形量为：
将ρ代入式中可得，当ρ2＞0时：
同理可求得单个摆线轮的刚度：
式中：cc—为摆线轮挤压变形量。
则可求得单个摆线轮齿的啮合刚度为：
当 ρ2＜0 时：
由式（13）、式（14）可知，当 ρ2＜0时，啮合刚度为定值。 图2 摆线轮与针齿接触Fig.2 Cycloid Wheel Contact with Pin Teeth 3 摆线针轮传动模型 3.1 啮合齿数的计算
在实际的制造过程中，摆线轮会经过齿形修形，无论是等距修形或移距修形，都会引起初始啮合间隙，使得同时啮合的有效传力的齿数减少，实际啮合齿数达不到针齿数的一半，当摆线轮上的第一个齿进入啮合时，其余各齿与摆线轮之间都存在相应的间隙。
图3 摆线轮与针齿啮合计算模型Fig.3 Cycloid Wheel and Pin Gear Meshing
Calculation Model
如图所示，第i对轮齿沿待啮合点法线方向的初始间隙为Δ（φ）i可按下式计算：
式中：φi—第 i个针齿对于转臂 OpOc的转角（°）；K1—短幅系数且 K1=a·zp/rp；Δrrp—等距修形量；Δrp—移距修形量。
令Δ（φ）i=0，由上式可解得φ0=arccosK1该解为初始间隙为零的角度，空载时，只有在最接近φ0处的一对齿参与啮合。
摆线轮在转矩Tc的作用下，产生摆线轮与针齿的接触变形W以及针齿与针齿壳接触变形f，同时摆线轮转过一个转角β（忽略针齿壳以及曲柄轴的较小的变形量），则可知摆线轮各啮合点在公法线方向上的总变形W+f或在待啮合点法线方向的位移为：
式中：β—为加载后，由于接触变形而引起的摆线轮的转角（rad）；li—第i个针齿啮合点的公法线或待啮合点的法线至摆线轮中心Oc的距离（mm）。
式中：rc—摆线轮的节圆半径（mm）。
当 δi＞Δ（φ）i时摆线轮与针齿接触[7]，并求得对应角度区间 φm和φn，只有在（φm，φn）区间内的针齿才参与啮合。 摆线轮在传动中实际参与啮合齿数的计算公式为：
式中：m—初始啮合齿号；n—最后啮合齿号。 3.2 等效扭转刚度计算
当摆线轮与针齿啮合时，第i对齿产生的扭转啮合刚度计算公式如下：
式中：Δsi—摆线轮与针齿啮合时产生的位移量；ki—第i对齿处的啮合刚度—第i对齿产生的摆线针轮的扭转啮合刚度。
摆线轮与针齿啮合传动的等效扭转啮合刚度为：
定义y方向上最高点处齿的齿号为1，其余各齿齿号沿逆时针方向递增。 4 实例计算
以RV-550E型重载减速机为例，对其摆线轮等效扭转啮合刚度进行计算，减速器主要参数，如表1所示。
表1 减速器参数Tab.1 Reducer Parameter针齿齿数zp摆线轮宽 b（mm）针齿中心圆半径rp（mm）针齿半径rrp（mm）移距修形量（mm）2.06×1011 0.3 0.02 0.03量E（Pa）泊松比μ等距修形量（mm）偏心距 a（mm）60 165 5 25 2.2弹性模
为得到针摆传动等效扭转啮合刚度，首先根据式（19），求得单个针齿与摆线轮扭转啮合刚度曲线，如图4所示。
图4 单对齿扭转啮合刚度曲线Fig.4 Single Pair Tooth Torsion Meshing Stiffness Curve
研究不同输入力矩条件下等效扭转刚度的变化规律，给定3组输入力矩
（4607N·m、6866N·m 和 9310N·m）。根据式（15）、式（16）以及摆线针轮啮合模型，利用MATLAB编程，得到3种输入力矩的条件下摆线轮的初始间隙曲线和变形量曲线，如图5所示。根据图5中初始啮合间隙曲线与变形量曲线交点对应的横坐标，进而利用式（18）得到实际参与啮合的齿数，如表2所示。由图5可知：（1）增大输入力矩后，参与啮合的齿数增多。（2）输入力矩的改变对初始参与啮合的齿的位置影响较小，对最后一个参与啮合的齿的位置影响较大。由于摆线针轮传动时，曲柄轴的旋转会导致摆线轮的位移，摆线轮与针齿啮合点是在
受曲柄轴的转动变化的，因此等效扭转刚度也是随曲柄轴转动而变化的，且每个参与啮合齿的初始位置不同，所以对应的单对齿扭转刚度啮合曲线的初始刚度也不同，将各齿的扭转啮合刚度叠加，得到以曲柄轴转角为变量的等效扭转啮合刚度变化曲线。利用所描述的方法，将得到的齿数范围代入到MATLAB程序中进行求解，程序框图，如图6所示。
图5 初始啮合间隙曲线和变形量曲线Fig.5 Initial Meshing Gap Curve and Deformation Curve
表2 输入力矩及参与啮合齿数Tab.2 Input Torque and Number of Engaged Teeth输入力矩（N·m） 啮合齿数力矩1 4607 17力矩2 6866 19力矩3 9310 20
图6 MATLAB计算流程框图Fig.6 MATLAB Calculation Flow Diagram
以RV-550E型重载减速机进行研究，定义曲柄轴初始位置为曲拐朝向y轴正方向，得到其扭转刚度变化规律，如图7所示。
图7 等效扭转啮合刚度变化曲线Fig.7 Equivalent Torsional Meshing Stiffness Curve
由图7可知：（1）针摆传动等效扭转啮合刚度呈周期性变化，变化的周期与曲柄轴的旋转周期相同。随着力矩的增大，针摆传动的最大等效扭转啮合刚度也增大。（2）图中三条曲线在（35～95）°以及（230～265）°出现等效扭转啮合刚度相同的情况，由于增大输入力矩后参与啮合的齿数会增加，但在曲柄轴转到（35～95）°以及（230～265）°时，增加的齿的扭转啮合刚度处于最小值区间，对整体的等效扭转啮合刚度影响较小。（3）在曲柄轴转到（265～350）°间时，各齿的扭转啮合刚度变化较大，部分齿的扭转啮合刚度在变小而其余齿的扭转啮合刚度在变大，导致等效扭转啮合刚度产生振荡，且力矩越大参与的齿数越多，振荡的范围也越大。
5 结论
（1）在计算摆线轮与针齿啮合刚度的过程中，考虑了摆线轮上各接触点曲率半径的变化对接触状态的影响，对准确求解的等效扭转啮合刚度有重要意义。（2）通过改变输入力矩，分析了输入力矩对参与啮合齿数的影响以及对针摆传动等效扭转啮合刚度的影响，也进一步验证了该计算模型的准确性。 参考文献
【相关文献】
［1］李力行.摆线针轮行星传动的齿形修正及受力分析［J］.大连交通大学学报，1984，22（4）：29-40.（Li Li-xing.The modification manner for tooth profile and the analy is of forces on the cycloid disk of a cycloid speed reducer［J］.Journalof Dalian Railway Institute，1984，22（4）：29-40.）
［2］李力行，洪淳赫.摆线针轮行星传动中摆线轮齿形通用方程式的研究［J］.大连铁道学院学报，1992（1）：7-12.（Li Li-xing，Hong Chun-he.The general equations for the teeth profile of cycloidal gear［J］.Journalof Dalian Railway Institute，1992（1）：7-12.）
［3］张大卫，王刚，黄田.RV减速机动力学建模与结构参数分析［J］.机械工程学报，2001，37（1）：69-74.（Zhang Da-wei，Wang Gang，Huang Tian.Dynamic formulation of RV reducer and analysis of structural parameters［J］.Chinese Journalof Mechanical Engineering，2001，37（1）：69-74.）
［4］陈鹏飞，秦伟，徐波.摆线针轮啮合传动的等效接触扭转刚度计算［J］.机械科学与技术，2014，33（4）：506-510.（Chen Peng-fei，Qin Wei，Xu Bo.Calculation of equivalent contact torsional stiffness for cycloid meshing drive［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2014，33（4）：506-510.）
［5］杨玉虎，朱临宇，陈振宇.RV减速器扭转刚度特性分析［J］.天津大学学报：自然科学与工程技术版，2015（2）：111-118.（Yang Yu-hu，Zhu Lin-yu，Chen Zhen-yu.Analysis of the characteri-stics of torsional stiffness of RV reducer［J］.Journal of Tianjin Univer-sity：Science and Technology，2015（2）：111-118.）
［6］徐灏.机械设计手册［M］.北京：机械工业出版社，2000.（Xu Hao.Mechanical Design Manual［M］.Beijing：China Machine Press，2000.）
［7］Liu J，Chen B，Matsumura S.Design of a novel cycloid drive with a cycloid-arc gear
and analysis of its meshing characteristic［J］.Jamds-m，2012，6（2）：310-322.
［8］关天民，张东生.摆线针轮行星传动中反弓齿廓研究及其优化设计［J］.机械工程学报，2005，41（1）：151-156.（Guan Tian-ming，Zhang Dong-sheng.Inverse arch-shaped teeth profile and its optimization in a cycloid drive［J］.Chinese Journalof Mechan-ical Engineering，2005，41（1）：151-156.）
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