小学生数学“运算能力”存在的问题与改进策略

能力培养　小学生数学“运算能力”存在的问　题与改进策略　蒋敏杰　常州市教育科学研究院，江苏常州２１３００３　摘要　计算作为小学阶段数学学习的重要内容，其核心在于提升“运算能力”，同步实现数学思　维的发展。教学中教师可以有意识地从动作技能的形成方式入手，通过对运算过程的体悟与　反思、算理理解的探究与建模、算法分析的解构与迁移，从而帮助学生在具体问题中提升自主　认识，在形成“运算能力”主体建构中的挖掘数学思维，提升学科核心素养。　关键词　小学数学；运算能力；数感；算理；算法构造；策略　随着基础教育课程改革的不断深入，人们越来越关注学生核心素养的培养。就小学数　学学科而言，一线教师更习惯倾向于通过“综合应用数学知识解决简单的实际问题”　’的途　径加以实施，采用能较“明显地”体现数学思维的内容组织教学。其实，小学阶段每个内容　均承载着学生思维发展的目标，《义务教育数学课程标准（２０１　１）版》中，将“运算能力”定位　于义务教育阶段学生数学发展的核心概念，具体表述为：“运算能力是指能够根据法则和运　算律正确进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运　算途径解决问题。”《普通高中数学课程标准（２０１７版）》　’中，将“数学运算”定位为高中阶段　学生数学学科核心素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算　方法，设计运算程序，求得运算结果等。　正确理解并发展小学生的“运算能力”，有助于通过运算促进学生数学思维发展，解决　实际问题。因此，合理把握小学生“运算能力”培育的一般路径与策略，处理好算理与算法　的关系，提升学生运算的准确性、合理性与灵活性，是需要进一步思考与实践的问题。　作者简介：蒋敏杰（１９７８一），男，江苏常州人，中小学高级教师，大学本科。研究方向：小学数学课程与教学研究。　基金项目：本文系江苏省教育科学“十三五”规划“教师发展研究专项”立项课题《乡村小学数学教师学科素养　提升的策略研究》的阶段研究成果。　中小学教学研完２０１８．７　一、运算能力：小学生数学的关键能力　运算能力是小学生数学能力的核心要素，是数学学科独有的能力，运算能力的形成对　小学生整体数学能力的培养与提升起到了基石性的作用　。分析现行各版本小学数学教材　中相关内容，主要包括整、小数的四则计算及混合运算，分数的四则计算及混合运算，以及　运算律在计算中的应用，这部分内容的教学本身占了教材总体内容的２５％以上，而且在解　决问题的过程中都需要运用计算。小学数学试卷中，涉及计算内容的题目一般占８５％以上　，　运用“运算”考查学生的数学知识及素养形成，具有广泛的实践基础。　相关研究中，对于“运算能力”的内涵厘定也逐步清晰。从内容上看，运算中算理的分　析、数据的解读、方法的选择、算法的推理、过程的迁移等正体现了“数学技能就是从数学知　识掌握到数学能力形成和发展的中间环节”　。其主要体现在解决问题、理解问题、掌握法　则、探究思路、选择算法等。从内涵架构上看，运算能力并非是一种单一的、孤立的数学能　力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合，是以数学认知、数学思想、个人发展三个维度　融合架构形成　。从数学活动组织上看，“运算能力”包括运算、作图和推理三种基本活动，　“能算、会作图和会推理”基本涵盖了整个小学阶段数学学习的内容。在小学阶段占有较大　比重的计算教学，从理解算理到算法建构，就体现着学生思维发展的轨迹。某种意义上“运　算能力”（计算）的品质决定着小学生把握计算本质的内涵，丰富数学建模方式，形成一般数　学的认识方法，它是形成后续数学认知及基本思想方法的基础。　二、小学生“运算能力”的现状观察与分析　受传统教学影响，对于“运算能力”的分析诊断往往局限于对运算技能达成度、速度的　评价，较少关注不同数学内容中“运算”与“思维”的关联应用，从而造成班级学生运算技能　发展水平不一，会算不会思，只注重计算结果忽视数据体验与分析的现实状态，主要表现在　以下几方面。　（一）对数据的整体感知能力弱　由于过多关注计算的速度与正确率，练习形式单一，教师往往忽视了学生在具体问题　中对“数据”的体验，学生从整体上观察数据、分析数据物征、选择数据处理方式的能力较　弱。比如，四年级混合运算中，学生能解决较“直观”的第一步就能简算的计算问题，但往往　看不出第二步或第三步后可简算的环节，数据观察与分析的意识弱。学生对数据的局部、　特定的显性分析能力强于一般整体分析感知能力。归其实质，是教师在计算教学中算的　多、想的少ｉ校对多，讨论少，运算中较易形成相对机械的计算技能训练。　（二）问题解决中根据需求灵活选择计算的能力弱　当一个学生能正确地选择合适的计算方法来合理、灵活地解决实际问题时，我们认为　这个学生具备了良好的“运算能力”。而现实的情况中，学生更多地是以“具体明确要求”来　指导自己的计算行为。尤其是面对不同情境下的具体问题时，笔算出精确值成为学生解决　问题的唯一方式，忽视了估算、口算、用近似值表示等方法。这样，运算能力的培养“精简”　能力培养　成了竖式计算的“技能”，单一固化的技能培训使学生思维发展浅层与弱化。　（三）计算结果合理性的判断能力弱　学生计算出“一辆汽车的价格是１　０．８６８元”，分析这种问题的产生，浅层原因可能是由　于数量单位的分析不到位，审题中出现错误。但其实更为关键的是学生对“数”的结果合理　性认识不到位，缺乏对数据意义的数学认识，表现出对计算结果进行评价、诊断的“运算能　力”弱，算与思、算与用相脱节。　（四）算理分析中数学思想方法的诉求弱　计算作为一种解决问题的基本能力，在会算甚至达到自动化的基础上更需关注其运算　背后所承载的思想方法。比如计算“Ｘ”学生会算，但“为什么分子相乘作分子，分母相乘作　分母，算理是什么？”却是许多学生忽视的关键。缺乏算理理解支撑的计算，将使有意义的　“运算”走向机械的“计算”，这也是造成当下学生只会计算，不会通过计算分析数据，实现数　形转化，方法迁移的根本问题。　三、提升小学生“运算能力”的实践改进　（一）注重“运算”过程的感悟与思考　“运算能力”的形成不是一蹴而就的，而是在多种途径下对问题的深入思考逐步积累而　形成的。这样，对于“运算”目标达成，首先应定位于对“运算”过程的体验，因为只有当学生　面对具体的运算问题，在丰富的体验分析中感悟，才能真正触及对计算中的相关方法（算　法、算理）的深入理解。　１．借助“数感”体验，思考“数据”　“数”及“数感”是新课改以来十分关注的核心能力，运算中对数的理解与应用正是增强　“数感”体验的重要环节。“数感”包括“对数字关系和数学模型的意识，以及应用这种意识灵　活解决数字问题的能力，其核心是指计算策略中的灵活性和创造性，而非“没有思维”的计　算程序　。就“运算能力”的形成，教学中教师引导学生对计算数据进行分析与选择，并在过　程上针对数据“左顾右盼”与“瞻前顾后”，即不局限于结果的准确性，而更在于对得出结果　中的思考过程的悟，比如根据数据特点选择计算的最优化方式、进行算法的水平或垂直迁　移、类比感悟一类问题的共性等。如此，教师要精选计算问题，选择适合于学生多元思维的　计算，引发学生对一类问题的思考，并在过程中逐步感悟其合理性。　２．着眼计算整体，感悟“方法”　感悟“方法”，其核心是选择能提升高质量“运算能力”的载体。当学生对数据产生敏　感，尝试数据的合理化分析时，教师要实现过程主导，帮助学生由观察思维向操作、推理思　维发展。同时，注重计算问题的整体性分析，将单一结果运算，转化为一类相关联的“问题　组”，学生可从多维度分析算理，形成多元、个性地算理解构与应用，帮助学生有效打开数学　思维核心，实现经验“创造”。这种“创造”一般是从问题整体切入的，可能是迁移形成，可能　是“类比”形成，可能是“突发奇想”，但这种过程中的提炼，教师充分引领去思考其合理性，　中小学教学研宄２０１８．７　从而悟出“方法”。　比如计算　×导一　÷　，指导学生观察算式，如何找到相同因数进行简算。学生能发现　“化除为乘”转化为　６×今一　×　使计算简便。再提供：　×詈＋号×｛指导学生观察，分母都　是７、５，有些相似，现在能否快速计算。此时学生大多比较迷茫，尝试计算中发现结果是　号，再指导观察，能否转化为相同因数呢。　×　＋号×　＝号×　＋号×　＝号×（　＋　）＝号。　两步的分析都从观察因数入手，不断帮助学生能从整体上分析数据的构造，提升计算的灵　活性，积累“方法”的体验。　３．辨析应用分析，体验“过程”　过程感悟指不能仅停留于抽象的运算及数据，而是要引导学生结合现实数据，通过综　合的分析运算过程，实现数与数量关系、数与空间形式、数与抽象概念的融合，提升应用意　识。使运算分析成为解释现象的工具，成为交流、加工、解释信息的量化方法。　比如“一个商店每天的营业额约５０００元，那么一个月（按３０天）计算，平均每月的营业　额是多少元。”一位学生的答案是１５０００元。教师引导学生观察数据，“你能怎样来进行检　验？”　生１：我是通过计算检验的。先算５ｘ３＝１　５，再加４个０，也就是１　５００００元。　生２：我是想３个５０００元是１　５０００元，那这个结果一定是错的，因为一个月有３０天。　生３：我觉得一个商店如果一个月的营业额只有１　５０００元，早就关门了。　学生１是通过计算法则来分析，学生２是通过数据分析来解决的，而学生３具有现实的　数据感知能力，通过意义来判断。三种检验谈不上好与坏，但从“运算能力”的角度分析，学　生２与学生３的检验更体现出灵活“运算能力”中对抽象数学的应用价值。　（二）优化“算理”理解的探究与建模　理解“算理”是解构算法，形成“计算技能”，提升“运算能力”基础与关键。算理的理解　不等同于知道怎样算，而是明理、会意、成型，知道“为什么”这样算的过程。教学中，教师要　立足整体，打破单一的知识点的教学设计方式，从平行式推进转变成递进式拓展，从而在课　堂时空中，借助具体学习内容实现学生认知、能力、思维等方式的提升。　１．多元表征，从模型视角理解算理　算理的理解离不开对问题构造的数学模型抽象。教师对于计算中算理的分析，需要通　过多种形式，打开学生的思路，借助学生已有认知经验的迁移与再创造，帮助学生在头脑中　清晰过程，形成计算模型。这种帮助一般表现为设置一定的思维支架，算理的理解，不再仅　是“教学”与“操作＋思维”的简单方式，而是适时引导学生在操作中发现问题、解决问题、激　活思维、丰富经验。例如，五年级转化策略教学中典型的　１　４－　＋　４－　的计算，教师如果只　４　＾　ｌ　ｎ　是针对题目“教”“数形结合”，让学生看（简单画）图后直接解决问题，此时的思维支架仅仅　能力培养　成为学生解题的一个特殊的外在方法。但如果教师能帮助学生观察数据的特点（后一个数　是前一个的２倍）、提供可供操作的图形（正方形看作“１”）、组织议一议　、　、吉、　的表示、　二叶。上Ｕ　启发思考“是否可以换个角度来思考”……一系列的分析与操作的协同过程，必将引领学生　对为什么需要“数形结合”，怎样实现形与数的联系等等解决问题方式的思考，最终形成认　识上的飞跃，同步实现数学活动经验不断丰富与递增。如果教师能更进一步启发操作：“如　果是吉＋吉－－Ｉ　１－Ｉ－击或　＋吉＋　＋壶又可以怎样操作分析呢？从中可以发现哪些规律？”　带着问题引领的操作分析将带着学生走入更为理性与规律变化的数学世界，获得不一样的　数学思维经验。因此，从形象的计算，到抽象的算理解构，教师通过多样化比较与呈现，可　引导学生意识到算理的合理性、必要性与联系性，启发学生探寻实质，体会计算存在方式的　合理逻辑。　２．同化顺应，在意义联接中理解算理　同概念形成的一般规律一致，“算法”的认识过程也涉及形成与同化两个方面。形成阶　段学生经历对具体数学现象的观察，对特定（特殊）问题进行分析，从而形成对操作规范的　形象感知；同化阶段学生经历丰富素材的比较过程，教师聚焦不同现象中的相似性，帮助学　生对“算理”进行主体性构造分析，实现具体特殊原理向一般化的转化。因此，教学中，教师　要选择具有典型特征的现象，启发学生从多种角度（式、图等）进行分析，借助丰富个案的沟　通，帮助学生对“算理”体验与理解。比如小数乘法教学中，Ｏ．８（元／千克）×３（千克）就是通　过买卖问题中“货币单位”的转换获得最初的直观认识，进而结合“位值制”原则，启发学生　借助已有经验进行分析，并在多个例证中的应用使学生对于整数乘小数的“算理”与整数乘　法“算理”相通，明晰“转化”原理，形成意义建构。　同时，教师需要不断清晰学生算理理解的困难，即“小数乘整数的计算，从儿童心理接　受、认知迁移层面等方面，明显受到原有经验的影响：小数点要上下对齐，乘出的结果要与　原有结果相一致”。教师在引导问题解决，理解算理中，可有意识呈现新算法建立的数学背　景，从而以形式入手再到算理分析，进而实现简单算法建模，为后续学习提供思维方式的心　理基础。教师可围绕问题引导学生反思过程：　①借助加法模型、经验（口算）迁移，从形式上看出变化。（小数点点在哪里）　②借助现象解读本质，引导学生去思考为什么小数点要点在这里。　⑧找寻理由，打通知识联系进行简单演绎推理，自主建构算法，明确算理。　事实上，通过上述三个方面的联系，学生不光形成了小数乘整数的算法，对于小数乘小　数的算法构造从整体上将有进一步的感知理解。　３．双向沟通，借助横纵比较理解算理　小学生数学知识、技能的习得与原理及数学经验的积累是相互交织、循序渐进、螺旋上　升的，学生运算能力形成也是如此。在相关“算理”理解的活动中，一方面要横向沟通，注重　８７　中４、学教学研宄２０１８．７　激活学生已有的知识、经验，并将新计算的“算理”理解与解析建立在与原有相关知识发生、　发展与联系的基础之上，使得新旧知识得以在多角度、多侧面共通，并在灵活应用这些知识　过程中，理解新产生的“算理”，使得“算理”在学生认知结构中“扎根”。比如，口算是在“位　值制概念”与运算意义的基础上直接形成的“算理”认识与应用，笔算的“算理”则是由口算　演化形成的“规范”过程，复杂笔算又是在简单笔算基础上延伸与发展的。而分数加减法算　理来源于整数运算的类推，分数乘、除法的算理则来源于分数乘、除法意义。　另一方面，要注重纵向激活，注重为学生提供现实的应用场景，在基于经验的运算中，　借助多样方式，理解算理。比如“二步混合运算”的教学，运算顺序的算理理解就需要以解　决问题的过程展开。教师提出“每本笔记本１　５元，每个书包２０元，小军买３本笔记本和１个　书包，一共用去多少钱？”学生尝试解决，教师收集资料。“５ｘ３＝１　５（元），１　５＋２０＝３５（元）”　“５ｘ３＋２０”　师：不同的列式解决过程，你能看懂吗？　生：都先算３本笔记本的价钱，再加上１个书包的价钱，就是一共的价钱。　师：其实他们都是在算３本笔记本的价钱，再加上１个书包的价钱，就是一共的价钱。　那它们之间有什么不同０－５＂？（贴移动板书：３本笔记本的价钱，１个书包的价钱）　师：像这样用两个算式的叫分步算式，而像他这样合并成一个算式的，我们称之为综合　算式。像这样的综合算式你该怎么计算呢？（板书：３ｘ５＋２０＝１　５＋２０＝３５元）　师：数学上还有另外一种书写方式（移动数量关系的板书，先算３本笔记本的价钱“３ｘ　５”写上＝１　５＋２０，再加１个书包的价钱，：１　５＋２０＝３５），现在你能结合数量关系，理解递等式　运算的步骤吗？请来说一说。　抽象的运算顺序用直观的数量关系呈现，帮助学生突破了认知难点，更为重要的是教　师如果能在不同“算理”的认识节点激活相应的知识、经验，通过横纵向意义的联系，就能使　“算理”理解成为一个整体综合的内循环过程。　（三）突出“算法”分析的解构与迁移　计算能力中包含着对算法的构造、设计、选择　。因此，“算理”的理解与应用不能仅停　留于“会算”的阶段，按照算法规则进行逻辑推理而获得正确结果是计算的一个方面，更重　要的，通过算法的构架与应用，提升运算能力。一般的，数运算教学中，要将“算理”与“算　法”整体规划，从而达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”。其基本流程可描述为：　提出问题－—◆理解算理——◆归纳法则—◆算法选择——◆灵活应用　表征与分析Ｔ　形式构造　比较、深化　ｌ　１．基于学情，促进“算法”的节点生成　算法是运算过程的程序性法则，就小学生而言，算法的认识与形成离不开生活中的过　能力培养　往经验。因此引导学生从自我认知中去发现、解构算法，将有助于学生对具体问题的数学　化思维发展。“异分母分数加、减法”教学中，教师把着力点放在基于数据体验的算法认识，　在对比选择中合理选择不同类型异分母分数加、减法的方法，提升对于“算”的认识。　教师呈现　＋昙。　师：你能独立解决这个问题吗？想一想，可以怎样来计算，求出结果。教师巡视，收集　学生资源：　第一种通分，将异分母分数化成同分母分数就可以解决问题吾＋吾＝　＋　＝　。　第二种化成小数：　＋昙＝０．４＋０．３７５＝０．７７５。　小结：同样的一个计算问题，分析数据的特点，利用通分，化成同分母分数进行计算，也　可以根据分数的特点，化成小数计算，从多种不同的思维路径解决问题。　师：想想分别可以用哪些方法来解决？试着简要地写一写。　４．３　５。４　３　ｌ　４　３　９　１９　２Ｏ　５Ｏ　８　５　１２　１５　学生进行分析并计算后，教师组织横向比较：　师：为什么　一　都选择通分？——无法化成有限小数　为什／ｚ，　一　却有多种通分方法？哪种更合理呢？　追问１：为什么这４个异分母计算，大家在方法应用上有差异？　追问２：通过上述计算，对你在计算上有什么启示，有什么经验可与同学分享？　小结：同样是通分，还要根据数据的特点，选择合适的方法。有时先约分后再通分能使　计算简便。　上述过程，教学没有拘泥于“算法”建构，而是借助数学问题分析，突出了“结合数据特　征，合理选择算法”的运算能力培育。在“分析数据、选择算法、比较优化”的多样化问题情　境下，师生的学习活动不断深入，推动了学生数学思维的提升。　２．利用同化，促进“算法”的构造分析　同概念形成的一般规律一致，“算法”的解构过程也涉及形成与同化两个方面。形成阶　段学生经历对具体数学现象的观察，对特定（特殊）问题进行分析，从而形成初步操作规范：　同化阶段学生经历丰富素材的比较过程，教师聚焦不同现象中的相似性，帮助学生对算法　进行主体性构造分析，实现特殊向一般的转化　。因此，教学中，教师要选择具有典型特征　的现象，启发学生从多种角度（式、图等）进行分析，借助丰富个案的沟通，帮助学生对“算　法”进行自主解构。如《异分母分数加、减法》中对＋算法的分析，往往老师会忽视主题图的　应用，对折演示实质对异分母“化异为同”算法的直观化理解，指向于形成统一分数单位的　初步直观感悟。教学中，教师要能较充分展开“解读”的过程，通过数与形的（下转第９６页）　中小学教学研究２０１８．７　和表现形式，更重要的是，在上述各种教学案的设计、编排和使用过程中都包含着老师备课　的因素。备课是一种教学准备活动，年轻教师需要笔备规规矩矩写教案，有经验的教师以　及水平高的教师善于定目标、抓重点、突难点，在心里备好“教案”就行了。何况五种教学案　中，无论哪种形式，本身都经过了大家集体初备的过程，年段目标和教学主要目标已经涵盖　其中。教师再以学生学的角度在上述五种“教学案”上备课和开展教学，教师备课只需要在　其上稍稍圈点勾勒——做到对教材教学要求的充分把握，教师开展教学时自然根据教学案　的完成情况调控教学、施展教学。无论哪种教学案，都更能体现教师的教学个性和灵活性，　体现“教皈依学”的教学案核心表征。　［参考文献】　［１】蔡洋洋，石鸿云．“教学案”在小学语文高段教学中的实践尝试［Ｊ１．当代教研论丛，２０１４（２）．　［２］姚文俊主编．小学语文（３—６年级）导学案点评［Ｍ］．济南：山东文艺出版社，２０１１．　［３］刘跃夫．语文综合性学案的编制与使用［Ｊ］．语文教学与研究（教师版），２０１１（２）．　［４】王益辉．“导学案”之思与辨ｆＪ］．教育科学论坛，２０１１（９）．　（责任编辑：符洁）　（上接第８９页）结合，帮助学生理解统一分数单位对计算的重要性，并随之与整数、小数计算　沟通，为后续“算理”深入理解提供认识基础与构造迁移经验。　小学生“运算能力”，其本质在于展现运算背后的数学思维品质，使学生经历观察、分　析、推理、迁移的数学活动过程，同样能促进学生在解决问题中的算理解构、算法优化，走出　单一运算思维的局限，进而形成个性化的数学思维，提升“运算能力”，彰显小学阶段学生的　基本数学素养。　【参考文献】　［１］国家教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１１．　［２］国家教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．　【３］潘小福．学科关键能力的厘定、评价及培养——以小学数学为例【Ｊ］．上海教育科研，２０１５　（１１）．　［４］此数据为笔者对本区域内２１所自主命题学校２０１８学年秋学期各年级试卷分析结果，不　代表其他地区．　【５】曹才翰，章建跃．数学教育心理学【Ｍ】．北京：北京师范大学出版社，２００７．　［６］王永春．小学数学核心素养体系下的运算能力［Ｊ］．小学教学研究，２０１７（３）．　［７】徐文彬，喻平．数感及其盛开－９发展　】．数学教育学报，２００７（５）．　［８】曹才翰，章建跃．数学教育心理学［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００７．　［９】蒋敏杰．小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略【Ｊ］．中小学教师培训，２０１６（７）．　（责任编辑：李雪虹）