一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是（ ）A．（0，2）2．复数A．1+i
B．（0，﹣2）
C．（4，0）
D．（﹣4，0）
的共轭复数是（ ）
B．1﹣i
C．2+2i
D．2﹣2i
3．已知双曲线A．4
＝1的离心率为B．2
，则m＝（ ）
C．
D．1
+（
﹣
）等于（ ）
4．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则
A．B．C．D．
5．若＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）A．垂直
C．直线l在平面α内
B．平行
D．相交但不垂直
6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的（ ）A．充分而不必要条件C．充分必要条件
B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（
）
A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是（0，
）
C．三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P
8．设F是椭圆
＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点Pi（i＝1，2，3，…），
|P1F|，|P2F|，|P3F|，…组成公差为d（d＞0）的等差数列，则d的最大值为（ ）A．
B．
C．
D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）
9．已知a，b∈R，i是虚数单位，（a+bi）i＝2+3i，则a＝ ，b＝ ．10．在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（﹣1，1，2），则线段MN的长度为 ．11．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则满足条件的一个双曲线的方程为 ．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则
等于 ．
13．已知椭圆
＝1（a＞b＞0）的离心率为e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P
使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为 ．14．已知曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．①请写出曲线W的一条对称轴方程 ；
②曲线W上的点的横坐标的取值范围是 ．
三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（15分）已知复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i为虚数单位）．（Ⅰ）若z1•z2是纯虚数，求实数a的值；
（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥AB，AB＝AC＝2，CC1＝4，D为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：A1C∥平面ADB1；
（Ⅲ）求平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
17．（13分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，F为抛物线的焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（，2），求|PA|+|PF|的最小值；（Ⅲ）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD＝AD，E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DE与平面PC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FM⊥BD？若存在，求明理由．
的值；若不存在，说
19．（13分）已知椭圆M： ＝1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2．若直线
y＝x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣
，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（﹣
，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN
为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．
2018-2019学年北京市房山区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是（ ）A．（0，2）
B．（0，﹣2）
C．（4，0）
D．（﹣4，0）
【分析】通过抛物线的标准方程，直接求出抛物线的焦点坐标即可．【解答】解：因为抛物线x2＝8y，P＝4，故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出抛物线的焦点坐标所在坐标轴以及方向．2．复数A．1+i
的共轭复数是（ ）
B．1﹣i
C．2+2i
D．2﹣2i
，所以抛物线x2＝8y的焦点坐标是（0，2）．
【分析】首先利用复数的除法运算化简，然后取徐不得相反数的其共轭复数．【解答】解：由所以
＝
．
的共轭复数为1﹣i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．已知双曲线A．4
＝1的离心率为B．2
，则m＝（ ）
C．
D．1
【分析】先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c，则双曲线离心率的表达式可得，最后根据离心率为2求得m的值．
【解答】解：根据双曲线∴c＝
，
＝1可知a＝，b＝，
∴e＝＝，
求得m＝2，故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．应熟练掌握双曲线标准方程中，a，b和c，及离心率e的关系．
4．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则
+（
﹣
）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出．【解答】解：连接AF，E，F分别是BC，CD的中点，则
+（
﹣
）＝
+
＝
+
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．若＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）A．垂直
C．直线l在平面α内
B．平行
D．相交但不垂直
≠0，得到
【分析】＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，由直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．【解答】解：∵＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，＝﹣4+6+0＝2≠0，
∴直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：D．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的（ ）A．充分而不必要条件C．充分必要条件
B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由双曲线的定义可知：“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件为：m≠0，得解．【解答】解：由双曲线的定义有：“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件为：m≠0，故“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件，故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义及充分必要条件，属简单题．
7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（
）
A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是（0，
）
C．三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P
【分析】在A中，由A1D1⊥平面A1AP，得平面D1A1P⊥平面A1AP；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝
；在C中，△B1D1C的面积是定值，P到平面B1D1C的距离是定值，从而三棱锥
B1﹣D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，由DC1⊥D1C，DC1⊥BC，得DC1⊥平面BCD1A1，从而DC1⊥D1P．
【解答】解：在A中，∵A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝
，∴∠APD1的取值范围不是（0，
），故B错误；
在C中，∵△B1D1C的面积是定值，P到平面B1D1C的距离是定值，∴三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值，故C正确；
在D中，∵DC1⊥D1C，DC1⊥BC，
D1C∩BC＝C，∴DC1⊥平面BCD1A1，∴DC1⊥D1P，故D正确．故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
8．设F是椭圆
＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点Pi（i＝1，2，3，…），
|P1F|，|P2F|，|P3F|，…组成公差为d（d＞0）的等差数列，则d的最大值为（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】由已知知这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8，又a21＝a1+20d，可得0＜a21﹣a1＝20d≤6，解得d的范围，则答案可求．
【解答】解：由椭圆＝1，得a＝5，b＝4，则c＝．
由已知可得等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8，∴a21＝a1+20d，∴0＜a21﹣a1＝20d≤6，解得0＜d≤
．．
∴d的最大值为故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）
9．已知a，b∈R，i是虚数单位，（a+bi）i＝2+3i，则a＝ 3 ，b＝ ﹣2 ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算变形，再由复数相等的条件求解．
【解答】解：由（a+bi）i＝﹣b+ai＝2+3i，得﹣b＝2，a＝3，即a＝3，b＝﹣2．故答案为：3，﹣2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
10．在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（﹣1，1，2），则线段MN的长度为 【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．
【解答】解：空间直角坐标系中，点M（1，0，1），N（﹣1，1，2），所以线段AB的长度为|MN|＝故答案为：
．
＝
．
．【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．
11．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则满足条件的一个双曲线的方程为 【分析】已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，可设双曲线方程为：
＝1 ．＝λ（λ≠0），即
＝λ（λ≠0）．
【解答】解：由双曲线系方程可得：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则双曲线方程为＝λ（λ≠0），即＝λ（λ≠0），
故答案为：＝1．
【点评】本题考查了已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，属简单题．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则
等于 1 ．
【分析】由＝++，得•＝（++）•＝＝1
【解答】解：∵∴
•
＝（
+
＝+
++）•
，＝
＝1
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
13．已知椭圆
＝1（a＞b＞0）的离心率为e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P
（可取大于
小于1的任意一个实数值） ．
使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为
【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可得结论．
【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，
当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，∴P0O＜OF2，即b＜c，∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞
，
∵0＜e＜1，∴
＜e＜1，
（可取大于
小于1的任意一个实数值）．
∴满足条件的一个e的值为故答案为：
（可取大于
小于1的任意一个实数值）．
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．14．已知曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．①请写出曲线W的一条对称轴方程 y＝0 ；②曲线W上的点的横坐标的取值范围是 [0，5] ．
【分析】①利用曲线方程，通过（x，﹣y）代入方程，推出过程中即可．②利用绝对值的范围，求解横坐标的范围．
【解答】解：①曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．（x，﹣y）代入方程，可得|﹣y|+x2﹣5x＝0，即|y|+x2﹣5x＝0，对称轴为：y＝0．
②|y|+x2﹣5x＝0，可得|y|＝﹣x2+5x≥0，可得：x∈[0，5]．故答案为：①：y＝0；②[0，5]．
【点评】本题考查函数与方程的应用，对称轴以及转化思想的应用，考查计算能力．三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（15分）已知复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i为虚数单位）．（Ⅰ）若z1•z2是纯虚数，求实数a的值；
（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解；（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部小于0且虚部等于0联立不等式组求解．【解答】解：（Ⅰ）由复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得z1•z2＝（a+2i）（3﹣4i）＝3a+8+（6﹣4a）i，由题意，3a+8＝0，6﹣4a≠0，即a＝﹣；
（Ⅱ）＝，
若复数在复平面上对应的点在第二象限，则，
解得﹣＜a＜．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥AB，AB＝AC＝2，CC1＝4，D为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：A1C∥平面ADB1；
（Ⅲ）求平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥平面ABC，从而AA1⊥AC，再由AC⊥AB，能证明AC⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结A1B，与AB1相交于点O，连结DO，由DO∥A1C，能证明A1C∥平面ADB1．
（Ⅲ）由AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，∴AC⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）连结A1B，与AB1相交于点O，连结DO，∵D是BC中点，O是A1B中点，
则DO∥A1C，A1C⊄平面ADB1，DO⊂平面ADB1，∴A1C∥平面ADB1．
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，4，0），D（1，0，1），＝（1，0，1），
＝（2，4，0），
设平面ADB1的法向量＝（x，y，z），
则
平面ACC1A1的法向量
，取y＝1，得＝（﹣2，1，2），＝（2，0，0），
cos＜＞＝＝﹣，
∴平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．（13分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，F为抛物线的焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（，2），求|PA|+|PF|的最小值；（Ⅲ）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．【分析】（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；（Ⅲ）由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得到所求中点坐标．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，F为抛物线的焦点，可得F（，0），即＝，p＝1，抛物线的方程为y2＝2x；
（Ⅱ）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（，2），如图，过A作AB⊥准线l，垂足为B，由抛物线的定义可得|PB|＝|PF|，则|PA|+|PF|＝|PA|+|PB|≥|AB|＝+＝4，当且仅当A，P，B三点共线，取得最小值4；（Ⅲ）由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣，代入抛物线方程y2＝2x，可得x2﹣3x+﹣＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3，即有MN的中点的横坐标为，纵坐标为﹣＝1，即有MN的中点坐标为（，1）．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD＝AD，E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DE与平面PC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FM⊥BD？若存在，求明理由．
的值；若不存在，说
【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥底面ABCD，从而PD⊥BC，由底面ABCD为正方形，得BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由此能证明平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面PAC所成角的正弦值．（Ⅲ）向量
＝（﹣2，﹣2，2），
＝
＝（2，2，0），
＝（1，2，0），由点M在棱PB上，设
＝
，（0≤λ≤1），从而＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），由FM⊥DB，能求出结果．
【解答】证明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵底面ABCD为正方形，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PD⊥底面ABCD，AD⊥CD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
设PD＝AD＝2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），＝（0，1，1），
＝（﹣2，2，0），
＝（2，0，﹣2），
设＝（x，y，z）为平面PAC的一个法向量，设DE与平面PAC所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，
∴直线DE与平面PAC所成角的正弦值为（Ⅲ）向量
＝（﹣2，﹣2，2），
．
＝（1，2，0），
＝（2，2，0），
由点M在棱PB上，设∴
＝
＝，（0≤λ≤1），
＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），
＝0，
由FM⊥DB，得
∴（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2＝0，解得
，∴
＝．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．（13分）已知椭圆M： ＝1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2．若直线
y＝x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．
【分析】（Ⅰ）根据已知条件求出b、c的值，再根据a、b、c的关系求出a的值，即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）将直线AB的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式并结合韦达定理求出|AB|，并计算出原点O到直线AB的距离作为△OAB的高，然后利用三角形的面积公式得出△OAB面积的表达式，利用函数思想求出△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，
，b＝1，由a2＝b2+c2，得
，
因此，椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程
，消去y得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
由直线与椭圆相交得△＝36m2﹣16（3m2﹣3）＞0，即m2＜4，解得﹣2＜m＜2，
由韦达定理可得，，
∴＝＝，
点O到直线l的距离为，
所以，
当m2＝2时，即当
＝
时，△OAB的面积取到最大值
．
，
【点评】本题考查椭圆的性质，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查了计算能力与推理能力，属于难题．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣
，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（﹣
，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN
为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由题意可得kPA•kPB＝﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P的轨迹为曲线C；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，设l：x＝my﹣理得（m2+2）y2﹣2
，代入椭圆方程整
my﹣2＝0，假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为
，则点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方
程．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），∵kPA•kPB＝﹣，则，
整理得
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝my﹣
（m2+2）y2﹣2
，代入椭圆方程整理得：my﹣2＝0，△＞0，
∴，
＝﹣．
假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为
．
则点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）．
⇒E（）．
把E的坐标代入得解得m2＝2．
∴直线l的方程为：x＝
y﹣
可得：m4﹣4＝0．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．
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