电路-状态方程

1、状态和状态变量 状态 电路在tk时刻的状态是指在该时刻电路所必须具 有的一组独立完备数据，这组数据不仅反映了tk 时刻以前所有输入对电路的作用效果，而且结 合（tk，t）期间的输入就能够完全确定t时刻电 路的特性。 2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 2

状态变量 一组独立的网络变量 (1这组变量在t=t0时刻的值和从t=t0开始的输入能唯一 决定这组变量在任何时刻t>t0时的值。 (2 t时刻的这组变量值和t时刻的输入值能唯一决定网 络的任一变量在时刻t的值。 则这组变量称为状态变量,由这组变量构成的集合称为网 络的状态。 通常选独立的电容电压和电感电流作为网络的 状态变量 2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 3

2. 状态方程和输出方程 t R L iL uC d uC C = iL dt uS uR uL C d uC 1 = iL d 2 uC d uC + RC + uC = uS LC dt C 2 dt dt d iL 1 R 1 = − u C − iL + u S dt L L L d iL uS = RiL + L + uC dt t >0 ⎡ d uC ⎤ ⎡ ⎢ dt ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ d iL ⎥ ⎢ − 1 ⎢ dt ⎥ ⎢ L ⎣ ⎦ ⎣ 2010/11/1 1 ⎤ ⎡0⎤ C ⎥ ⎡ uC ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ + 1 [uS ] R ⎥ ⎣ iL ⎦ ⎢ ⎥ − ⎣L⎦ ⎥ L⎦ 电路 自动化科学与电气工程学院 4

⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = A ⎢ x ⎥ + B [ uS ] ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ 状态方程的标准形式： χ=A χ+B ν 状态方程是状态向量的一阶微分方程，描述了 电路中有记忆元件的输入－输出关系，体现了 电路的动态特性。 2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 5

S

输出方程描述了电路输出与状态变量之间的关 7

3. 状态变量法概述

4. 状态方程的直观编写法步骤: 对含有电容的结点列KCL ; 对含有电感的回路列KVL ;

3. 消去非状态变量:利用KCL 或KVL 方程;1. 选独立的电容电压、电感电流为状态变量;2. 列写状态方程,方程中包含一个状态变量的一阶导数:

4. 整理成标准的状态方程。

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−− u i i u S

【例7-13】 已知图示电路， R = 1Ω, L = 1H, C1 = C2 = C3 = 1F, 写出状态方程。 解 L R iL , uC2 , uC3 为状态变量 LiL = RiR + u C1 C 2 u C 2 = i R − iC 1 C 3 u C 3 = iL + iC1 + iS uS L R C1 iS C3 C2 iL iR uC2 a uC1 C1 iC1 b uC3 uS iS C2 C3 iR , iC1 , uC1 为非状态变量 2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 11

LiL = RiR + u C1 C 2 u C 2 = i R − iC 1 C 3 u C 3 = iL + iC1 + iS uS − uC2 iR = R uC1 = uC2 − uC3 iL , uC2 , uC3 R L iR iL a uC1 C1 iC1 b uC3 uS uC2 iS C2 C3 iC1 = C1uC1 = C1 uC2 − uC3 ⎡i ⎤ ⎡0 L ⎢ ⎥ 1⎢ ⎢uC2 ⎥ = ⎢1 ⎢ ⎥ 3 ⎢2 ⎣ ⎣ u C3 ⎦ 2010/11/1 0 −2 −1 ( iL = u S − u C 3 2u C 2 = u S − u C 2 + u C 3 2u C 3 = iL + u C 2 + iS 电路 自动化科学与电气工程学院 − 3 ⎤ ⎡ iL ⎤ ⎡3 0⎤ ⎥ ⎢u ⎥ + 1 ⎢ 2 1 ⎥ ⎡uS ⎤ 0 ⎥ ⎢ C2 ⎥ ⎢ ⎥⎢i ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢1 2⎥ ⎣ S ⎦ 0 ⎥ uC ⎦⎣ 3⎦ ⎣ ⎦ 12

状态方程的直观编写法 1. 选独立的电容电压、电感电流为状态变量； 2. 列写状态方程，方程中包含一个状态变量的 一阶导数： 对含有电容的结点列 KCL； 对含有电感的回路列 KVL； 3. 消去非状态变量：利用KCL或KVL方程； 4. 整理成标准的状态方程。 2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 13

作业20 第7章补充题6（基本题） • 7-42 （消去非状态变量） • 7-43 2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 14