时域有限差分法常用吸收边界的性能分析

２０１６正　母羊航　工程罕阮罕报　２０１６　、厂０ｌ－３１　ＮＯ．５　第３１卷第５期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｖａｌ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　文章编号：１６７３—１５２２（２０１６）０５．０５０６—０７　ＤＯＩ：１０．７６８２￣．ｉｓｓｎ．１６７３－１５２２．２０１６．０５．００２　时域有限差分法常用吸收边界的性能分析　于涛，戚宗锋，李志鹏　（电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室，河南洛阳４７１００３）　摘要：文章对时域有限差分法常用吸收边界的性能进行了分析，包括Ｍｕｒ吸收边界、ＰＭＬ（Ｐｅｒｆｅｃｆｌｙ　Ｍａｔｃｈｅｄ　Ｌａｙ．　ｅｒ）、ｕＰＭＬ（ｕｎｉａ］【ｉａｌＰＭＬ）以及ＣＰＭＬ（ＣｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎＰＭＬ）。首先，简要介绍了几种吸收边界的理论基础；然后，根据　前面理论进行Ｍａｔｌａｂ仿真，通过采样二维情况下的高斯源和正弦源激励的电场值，分析比较４种吸收边界的性能；　最后，总结了各种吸收边界的优劣和特点。　关键词：Ｍｕｒ吸收边界；ＰＭＬ；ＵＰＭＬ；ＣＰＭＬ；时域有限差分法　中图分类号：ＴＮ０１１；Ｏ４４１．４　文献标志码：Ａ　在电磁场计算中，时域有限差分法（ＦＤＴＤ）是一　种常用的数值计算方法“。】，它由Ｋ．Ｓ．Ｙｅｅ于１９６６年首　次提出，是求解麦克斯韦方程组的直接时域方法。随　着计算机技术的不断发展，ＦＤＴＤ已被广泛应用于电　磁辐射、散射、微波器件研究以及电磁兼容等方面一　。　在ＦＤＴＤ分析中，吸收边界的设置是一项很重要　的工作，因为计算机容量的限制，ＦＤＴＤ计算只能在有　限区域内进行，在计算区域截断处设置吸收边界，就　是为了模拟自由空间或有耗无限大区域。１９８１年，　ＭｕｇｔＴＪ提出了在边界处的一阶和二阶吸收边界及其离　例，通过与在自由空间的波比较，考察各种边界的吸　收效果，为选用各种吸收边界时提供参考。　１吸收边界理论基础　ＦＤＴＤ吸收边界是为了截取有限计算空间模拟无　限大区域而人为限定的计算边界。在二维情况下，计　算区域一般为矩形区域；三维情况下，一般为立方体　区域。为了简单起见，本文以二维情况为例进行说　明。下面，简单介绍一下几种吸收边界的原理，具体　散形式，Ｍｕｒ吸收边界是一种有效的吸收边界条件，并　在后续发展中获得广泛应用Ｏ　１９９４年，Ｂｅｒｅｎｇｅｒ等【８】　将麦克斯韦方程扩展成场分裂形式，构成了完全匹配　层ＰＭＬ，它是一种性能优异的吸收边界。１９９５年，　Ｓａｃｋｓ等ｆ９］提出了各向异性介质的完全匹配层ＵＰＭＬ，　与Ｂｅｒｅｎｇｅｒ提出的不同，它并不是将场分量进行分　推导可以参见文献［１６】。　１．１　Ｍｕｒ吸收边界　Ｍｕｒ吸收边界是一种较为简单的吸收边界，参见　图１。　（０，ｂ）　裂，在吸收介质中，波方程仍为完整的麦克斯韦方　程。１９９４年，Ｃｈｅｗ等　引入了坐标伸缩中ＰＭＬ方程；　文献［１１】给出了一种具有严格因果关系的复频移ＰＭＬ　ｙ　（Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ—Ｓｈｉｆｔ，ＣＦＳ）Ｏ　２０００年，Ｒｏｄｅｎ等　采用卷积形式有效执行ＣＦＳ的方法，称为ＣＰＭＬ方　法。吸收边界问题一直是时域有限差分法研究的一　个热点　】。　（ｑ０）　图１　Ｍｕｒ吸收边界　Ｆｉｇ．１　Ｍｕｒ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　采用ＦＤＴＤ分析电磁辐射、散射问题时，计算区域　大多为自由空间的情况，在此基础上，本文就常用的　ＦＤＴＤ吸收边界，包括Ｍｕｒ、ＰＭＬ、ＵＰＭＬ、ＣＰＭＬ吸收　Ｍｕｒ吸收边界是对Ｅｎｇｑｕｉｓｔ－Ｍａｊｄａ吸收边界条件　边界展开性能分析，经过原理分析，Ｍａｔｌａｂ编程，分别　以高斯源、正弦源在自由空间内激励起的二维波为　进行泰勒级数展开，形成一阶、二阶Ｍｕｒ吸收边界，在　矩形４个边界上的二阶Ｍｕｒ吸收边界为（以ＴＭ波为　例）：　收稿日期：２０１６．０４．２５；修回日期：２０１６．０７．１２　基金项目：省部级预研基金资助项目（５１３３３０２０２０１）　作者简介：于涛（１９８６一），男，工程师，博士。　第５期　于涛，等：时域有限差分法常用吸收边界的性能分析　・５０７・　１　ＯＥ，　Ｃ　Ｏｔ　＝０　堕　＝０　一　＋　Ｃ　Ｏｔ　＋　一　（１）　１　ＯＥ，　ｃ　Ｏｔ　＝０　一２　～２　一堕　Ｃ　Ｏｔ　２　一２　＝０　式（１）分别对应着左、右、上、下４个边界条件，Ｃ　为电波传播速度，现一　上面吸收边界条件的ＦＤＴＤ更新方　程为（以左边界为例）：　Ｅ７”　＝Ｅ：　＋ｌ　＋　ｃａｔ－Ａ　ｘ［Ｅ　￣　＋１　一＋Ｅ：　一　瓦ｃ　２ｔｘＡ　ｔＡｘ）△），Ｌ［Ｈ　＂　√＋　∞一圭）＋　“　＋１ｊ＋吉）一　“　＋１ｊ－告）ｌ。　（２）　对于四个角点处，需要单独处理，以左下角点为　例，它的ＦＤＴＤ更新方程为：　。　＝　。＋　＋　＋　需　Ｉ　“　。＋１　＋１）一　。　）ｌ。　（３）　同样，其他边和角点的更新方程也可以得到。　１．２　ＰＭＬ吸收边界　ＰＭＬ吸收边界是在ＦＤＴＤ计算区域截断边界处　设置几层特殊介质层，通过阻抗匹配条件，使得入射　波无反射地进入介质层，介质层为有耗媒质，使得透　射波将迅速衰减，达到介质的吸波功能。　ＰＭＬ理论是基于Ｂｅｒｅｎｇｅｒ场分量分裂方程，经复　杂推导可得到，当满足阻抗匹配条件　＝一Ｏｒｍ．￣，　６ｏ　０　一　，ｒ　Ｖ　ｙ—＝　，Ｓｏ　／Ｘｏ　即可实现无反射传播，在二维自由空间情况　下，它的参数设置如图２所示。　（　，　，　，　）　（　，　，Ｏ＂２　，　）　（０，０，ａ２ｙ’，ｃｒ２　）　ＰＭＬ　ＰＭＬ　（　，　０　０）　（　，　，０．０）　ｆＬ　＿　（　，　雕，　，，　）（　，　，　，仃ｌ　）　图２　ＰＭＬ边界参数设置　Ｆｉｇ．２　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｅｔｔｉｎｇ　ｏｆＰＭＬ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　在实际编程中，通常取得　，　：　＝　。　＝　缸，　＝　＝ｏｒ　Ｏ＇Ｚ．．ｎｙ，注意只是数值上相等。各取值　可以参考相关文献。ＰＭＬ层为有限厚度，最外层为理　想导体。ＴＭ波在ＰＭＬ中的ＦＤＴＤ更新方程为：　Ⅲ　＋圭）＝　２／％－Ａｔｃｒ　ｒ・　＋　一　２Ａｔ／Ａ　ｙ　＂Ｅ…十。＂ｉ，＂＋１）一　；　（４）　＋　＝　＋圭　一　２Ａｔ／Ａｘ　．。…［Ｅ：（ｉ＋１　一　；　（５）　２Ａｔ／Ａ　ｘ　［。＋△ＬＨ，＂＋Ｉ　丢　一　“　Ｇ一吉羽；（６）　一　２Ａｔ／＋△Ａｙ　￣Ｈ　＂Ⅲ　）一　一　１）］；（７）　Ｅ７“（ｉｄ）－Ｅ＝“　＋　。　（８）　式（４）～（８）中，Ｅ　、　为２个场分量的分裂形式。　１．３　ＵＰＭＬ吸收边界　ＵＰＭＬ吸收边界由Ｓａｃｋ等人提出，它与ＰＭＬ类　似，需要设置几层介质，这些介质选择适当的单轴各　向导　忡介『肴的太桷　考　一维懵　由口图３　斤呆　计算区域　Ｓ　，地ｓ　ｆＬ　－＋　￡、ｓ　ｓｙ，　ｓ　图３　ＵＰＭＬ边界参数设置　Ｆｉｇ．３　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｅｔｔｉｎｇ　ｏｆＵＰＭＬ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　若ＵＰＭＬ表面垂直于　轴，相对本构参数为：　＝　，　：＝　，　，ｓ　＝　。　ｃ９，　同样，若Ｕｌ，ＭＬ表面垂直于ｙ轴，参数为：　占　＝占。ｓ　，ｐ：＝　。ｓ　，ｓ　：　］。　ｃ・。，　・５０８・　海军航空工程学院学报　第３１卷　对于ｓ　的取值，一般取作　，　面一侧为常规介质，参数为占。、　，另一侧为坐称伸　缩介质，参数为　：、　：、ｓ　ｓ　。当分界面垂直于　＋　。　）　轴时，只需８：＝占　、　：＝／ｚ，、ｓ打：１，同样，当分界面垂　Ｋ　、Ｏｒ　取值可参考文献【１６】，￣ｊ＂￣ＵＰＭＬ内的　更新方程，需要引入中间变量Ｄ、Ｂ，对于二维ＴＭ波　直于ｙ轴时，只需占：＝　，、　＝／ｚ，、ｓ　＝１，波在分界面　不会发生反射。对于没有限制的参数，一般取作：　似　…ｙ）。　（１９）　来说，其更新方程为：　ｎ＋ｌ　２Ａｔｅｏ　可以看出，ｓ　的选择－－￣ＵＰＭＬ参数相似，只是分母多　了个ａ　，主要是为了改善对倏逝波和低频波的吸收。　［上（　圭　一　圭　）一　专（　＋　一　（１２）　＝　・　＋　２８ｏ【　㈤一Ｄ：　。（１３）　可以看出，电场更新方程的推进步骤为　，　一　Ｄ　，Ｄ　Ｅ：。同样，　ｎ＋ｌ／２（ｆＪ＋圭）＝　・　：　Ｊ＋圭）一　（　：　）；（１４）　／／ｙ，￣　＝　＋　・　ｎ＋ｌ／２　√＋吾）一　・Ｂ：　Ｇ√＋圭）；（１５）　；“　＋　＝　・　：　＋圭　＋　击（Ｅ７（ｉⅧ　）；（１６）　ｎ￣ｌ／２　＋　・　ｒｏ￣＋圭　一２８ｏ　Ｋｒ－　Ａｔ。Ｂ　＋圭　。（１７）　磁场分量按照Ｅｚ　，Ｂ　Ｂ　，Ｂ　一　，　的步骤　推进，注意在更新过程中，，ｃ　、Ｋ　、Ｏｒ　、Ｏｒ，在ＵＰＭＬ　不同的位置上取值不同，并不是保持不变的。　１．４　ＣＰＭＬ吸收边界　ＣＰＭＬ吸收边界是基于坐标伸缩麦克斯韦方程导　出平面波在分界面的无反射条件，坐标伸缩麦克斯韦　方程是将原算子Ｖ定义成７　，即：　Ｖ　＝圣　击＋；１　Ａｙ＋　Ｓ，立ＯＺ。　（１８）　讨售　椎鼻ｎ－ｒ知　』一维情　．　俪ｌ－ｔ／ｔ￣集　界　对于Ｋ　、ｏｒ　、ａ　的数值选择，可以参考文献【ｌ６】。　由于ｓ　选用了式（１９）结构，伸缩坐标麦克斯韦旋　度方程的时域形式会出现卷积运算，以二维ＴＭ波为　例，波分量分别为：　＝去鲁一　等＋　一　＝　１　ＯＥ，　一　＝　一　一　等。　（２０）　式（２０）中：　（ｆ）　－－ｒｏ，￣ｅＸｐ（＿－　ｕ（ｆ）；仅　ｏｒｗ＋　。　将式（２０）第１式卷积项记为：　、…、　。　（２１）　通过递归卷积技术对式（２１）卷积进行处理，使之　具有迭代特性，为：　（ｎ）＝ｃ　ＯＨ　ｍ（ｎ）＋胁ｅｘ　（　（ｎ一１），（２２）　式中＾　［ｅｘｐ（＿－　△ｆ）＿　】。　因此，ＴＭ波在伸缩坐标介质中的ＦＤＴＤ更新方　程为：　＝　刚　＋　．　＋ｏｒ（ｉ＆Ａｔ　ｌ去（　吉　）一　。Ｋ）ＡｙｌＨ：　）一　一　＋　２Ａｔ‘（砂　，Ｊ）一　）。（２３）　式ｆ２３１中．　第５期　于涛，等：时域有限差分法常用吸收边界的性能分析　・５０９・　本文采用Ｍａｔｌａｂ平台，对这４种吸收边界进行了　编程分析，分别就高斯源和正弦源２种情况，讨论４种　ｃ　————　・＿———　一；（　）２４　　吸收边界的性能。　本文的算例为一自由空间，由８０Ｘ　８０个网格构　量“　（　√）＝ｅｘｐ（一　△ｔ）　“！　＋　ｔｎ／．　．＋　ＩＨｎ＋＿＿　成，单元网格为边长为１　ｍｍ的正方向网格。在自由　空间的中心放置　方向的外加电流源，定义取样ｚ向　；（２５）；（）　Ｈ￣＋　１１２￣＂￣－１＼Ｃｙ　。　—Ｏ　————　————　电场，位于源中心右上角２０个网格处，示意图如图４　所示。运行时间为ｌ　８００时间步。　Ｈｉ　（ｉｊ＋　１）＝　√＋囊　寺）＋　（　√＋吉）△￡　＋　．　疰　要　皇　２１￣（ｉｊ＋圭）＋　（ｉｊ＋圭）△ｆ　ｌ一古（　“）　）Ｉ＋　—２———　ｊｊ　２＝＿Ａｔ＋告　＃（ｉｊ　＋寺）＋　√）△￡　’（一ｌ　ｚ　√＋　））。（２６）　￣（２４）～（２６）中：ｘ　ＩＯ０刚格　图４算例示意图　Ｆｉｇ．４　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　（　√＋　１）＝ｅｘｐ（一　△￡）　。　√＋圭）＋　圭）　Ｈ　（　＋圭　＝　１　１　对于Ｍｕｒ吸收边界，不需要在自由空间外围添加　；　（２７）　介质层，对其他３种边界需要添加介质层，本文添加了　ｌ０个网格作为介质层，因而总的网格数为１００Ｘ　１００。　为了确定各边界的吸收性能，本文给出了一个参　考例子，该参考例子与算例相同，只是自由空间由　１　２００Ｘ　１　２００网格构成，并且四周为ＰＥＣ边界，由于自　由空间较大，反射波在ｌ　８００个时间步后不能达到取　样点，故取样点的电场可作为自由空间内的参考场。　１）高斯源激励。首先，采用高斯电流源激励，由　于电流为ｚ向，因而激励起ＴＭ波向外传播，通过构造　高斯源，使之频带范围为２０　ＭＨｚ～２０　ＧＨｚ。在参考例　子中，得到取样点的电场随时间的变化，如图５所示。　０　０２　＋　（　＋　√）＋　十六√）△￡　．　２１ｘ（ｉｉ＋　√）＋　√）＋ｏ＋　ｒ　＋－　＋　￣，ｊ）ａｔ　ｌ　（　）　）Ｉ＋　＾　＋　√）＋　（　＋　￣一ｊ）Ａｔ。（　＋　‘　８）　式（２７）～（２８）中：　２Ａｔ　０　０１　—　０　＿０　０１　（　＋圭　＝ｅｘｐ（一　△￡）　＋圭√）＋　＋　世　盟　。　（２９）　骠－ｏ　０２　．０　０３　可见，－ｂ自由空间相邻的ＣＰＭＬ中的步进步骤为　Ｅ－－，ｑ／　，，Ｅ、　一Ｈ，ｎ－－＇ｑ，　，Ｈ、　一Ｅ。　－ｏ　０４　０　１　２　３　４　ｔｉｎｓ　至此，已经简单介绍了４种吸收边界的原理，并给　出了二维情况下ＴＭ波的ＦＤＴＤ更新方程。对于ＴＥ　图５参考例子取样点电场　Ｆｉｇ．５　Ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｓａｍｐｌｅ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｘａｍｐｌｅ　２编程分析　分别采用４种吸收边界，在取样点得到的电场如　图６所示。从图６中可以看出，ＰＭＬ、ＵＰＭＬ以及　・５ｌＯ・　海军航空工程学院学报　第３１卷　ＣＰＭＬ的电场线条几乎重合在一起，通过放大图可以　看到Ｍｕｒ吸收边界与其他３种边界稍有不同，为了明　显表示出４种边界与参考例子的结果的差异，引入误　差函数：　ＥＡＢｅＥｉＴｏｒ＝２０・ｇ　。（３０）　式（３Ｏ）中：Ｅ　为吸收边界下的取样点电场；Ｅ　为无　穷大空间取样点电场。　Ｅｒｒｏｒ的时间函数如图７所示。　蓥　图６　４种吸收边界下取样点电场　Ｆｉｇ．６　Ｆｉｅｌｄ　ｏｆｓａｍｐｌｅ　ｐＯｉｎｔ　ｏｆｆｏｕｒ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ　图７误差函数随时间的变化　Ｆｉｇ．７　Ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　Ｅｒｒｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｖｅｒｓｕｓ　ｔｉｍｅ　从图７中可以看出，在波形变化最剧烈的时间段　里，吸收性能强弱依次为ＣＰＭＬ、ＵＰＭＬ、ＰＭＬ、Ｍｕｒ。　在本例中，取样点离边界比较远，ＣＰＭＬ、ＵＰＭＬ、ＰＭＬ　这３种吸收边界性能相差不是很大，但依然要比Ｍｕｒ　吸收边界要好的多。这里继续考察误差函数在频域　中的变化，即　Ｅｒｒｏｒ：＝２０ｌｇ　ｌＡＢＣ　ｔｅｌ［。（３１）　式（３１）中，Ｆ（．）表示傅里叶变化。　Ｅｒｒｏｒｆ图如图８所示。　图８误差函数随频率的变化　Ｆｉｇ．８　Ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　Ｅｒｒｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｖｅｒｓｕｓ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　从图８可以看出，ＣＰＭＬ在整个频域内都表现出　很好的吸收性能，ＵＰＭＬ在整个频域内表现出了吸收　的稳定性，而ＰＭＬ同样具有较好的吸收效果，但是在　低频时性能要差于ＣＰＭＬ和ＵＰＭＬ。对于Ｍｕｒ吸收边　界，依旧是这４种吸收边界最差的１种吸收边界。但　从消耗内存和时间方面来讲，Ｍｕｒ吸收边界由于不需　要额外介质层，建模时网格数要少，并且边界处理简　单，因而是消耗内存和时间最少的１种吸收边界。表１　展示了４种边界计算时耗费的时间。从中可以看出，　ＰＭＬ、ＵＰＭＬ、ＣＰＭＬ消耗时间相差无几。　表１　４种边界计算时间　Ｔａｂ．１　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｔｉｍｅ　ｏｆｆｏｕｒ　ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ　呈　ＵＰＭＬ　ＣＰＭＬ　１．６６　８　３－３８　０　２．９２　８　３．４５　ｓ　２）正弦源激励。将上个算例中的高斯源换成正　弦源，频率为１５　ＧＨｚ，同样，在取样点采样电场分量，　在自由空间内波形如图９所示。　图９参考例子取样点电场　Ｆｉｇ．９　Ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｓａｍｐｌｅ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｘａｍｐｌｅ　４种吸收边界取样点误差函数如图１０所示。从图　１０可以看出，当激励源为正弦波形时，误差函数呈现　出周期变化的形式，而且每一种吸收边界相对于高斯　波形，吸收性能都有所下降，例如ＣＰＭＬ在高斯波形　第５期　于涛，等：时域有限差分法常用吸收边界的性能分析　・５ｌ１．　时误差函数在一１００ｄＢ之下，在正弦波形中，误差函数　在一６０ｄＢ左右，其他３种也出现相同的特点，Ｍｕｒ吸收　型和正弦型信号传播进行分析，总体来说，Ｍｕｒ吸收边　界不如其他３种边界吸收效果，ＰＭＬ吸收边界在低频　段吸收性能变弱，ＬＩＰＭＬ对各频段电磁波的吸收具有　边界从一５０ｄＢ下降到一２０ｄＢ左右。究其原因，本文　认为相比高斯信号，周期信号变化剧烈，误差累积较　大引起的。而且ＰＭＬ、ＵＰＭＬ、ｃＰＭＬ这３种吸收边界　比较好的稳定性。ＣＰＭＬ的吸收性能在各个频段内都　具有比较好的吸收性能。对于正弦波信号，４种吸收　对正弦波信号的吸收没有太大差别。　边界的性能都有所下降，但还是具有比较好的吸收效　果，即便对于性能最差的Ｍｕｒ吸收边界。采用ＦＤＴＤ　分析电磁辐射或散射时，这４种边界选择可以是任意　的，也可以根据实际情况加以选择。如果对精度要求　不高，要求又快又省内存，可以考虑采用Ｍｕｒ吸收边　葛　界。如果对精度要求较高，且波源是宽带源时，可以　考虑采用ＣＰＭＬ吸收边界。随着算法深人研究，不同　场合下的吸收边界问题也被逐步研究，例如并行算　法、非均匀网格下的吸收边界问题ｎ　。　。　参考文献：　图１０误差函数随时间的变化　Ｆｉｇ．１０　Ｃｈａｎｇｅ　ｏｆｅｒｒｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｖｅｒｓｕｓ　ｔｉｍｅ　【１］ＴＨＥＮＧ　Ｈ　Ｇ，ＥＮＧ　Ｌ　Ｕｎｃｏｎｄｉｉｔｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｆｕｎｄａ－　ｍｅｍａｌ　ＬＯＤ－－ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗｉｈｔ　ｓｅｃｏｎｄ－－Ｏｒｄｅｒ　ｔｅｍｐｏｒａｌ　对于正弦波激励，还可以考察在整个网格内的等　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｎａｄ　ｃｏｍｐｌｙｉｎｇ　ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ　相位线。相比其他３种边界，以吸收性能较差的Ｍｕｒ　ｏｎＡｎｔｅｎｎａｓ　ａｎｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，２０１３，６１（５）：２６３０－２６３８．　吸收边界为例，如图１１所示，可以看到边界处吸收性　［２］ＡＬＯＫ　Ｋ　Ｓ，ＫＵＭＡＲ　Ｖ　Ｓ．Ａ　ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｎｃｏｎｄｉ－　能良好，等相位线呈同心圆分布，而且其误差函数呈　ｔｉｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｆｉｖｅ・ｓｔｅｐ　ＬＯＤ－ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　现稳定性能，可以迭代足够长的时间而不产生数值发　Ｔｒｎａｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎＡｎｔｅｎｎａｓａｎｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，２０１４，６２（３）：　散。由此可以看出，虽然各吸收边界的性能相比有强　１３２１．１３２９．　有弱，但都是性能比较好的吸收边界。　［３］ＳＴＡＮＩＳＬＡＶ　Ｏ，ＰＡＮ　Ｇ　Ｗ　ｎＡ　ｕｐｄａｔｅｄ　ｒｅｖｉｅｗ　ｏｆｇｅｎｅｒａｌ　ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｃｏｎｄｉｉｔｏｎａｌｌｙ　ａｎｄ　ｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ＦＤＴＤ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒｎａｓａｃｔｉｏｎ　ｏｎ　Ａｎｔｅｎ・　ｎａｓ　ｎａｄ　Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，２００８，５６（８）：２５７２－２５８３．　［４】胡晓娟．复杂目标电磁散射的ＦＤＴＤ及ＦＤＴＤ算法研究　【Ｄ】．西安电子科技大学，２００７．　ＨＵ　ＸＩＡＯＪＵＡＮ．Ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ＦＤＴＤ　ａｎｄ　ＦＤＴＤ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ　ｂｙ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｔａｒｇｅｔｓ［Ｄ］．　Ｘｉｄｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［５】常雷．超宽带天线及阵列的大规模并行模拟与优化研究　图１　１　Ｍｕｒ吸收边界正弦波等相位线　【Ｄ】．成都：西南交通大学，２０１３．　Ｆｉｇ．１　１　Ｓｉｎｅ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｌ　ｐｈａｓｅ　ｌｉｎｅ　ｏｆＭｕｒ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ＣＨＡＮＧ　ＬＥＩ．Ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｌａｒｇｅ　ｓｃａｌｅ　ｐａｒａｌｌｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕ－　ｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｕｌｔｒａ・ｗｉｄｅｂａｎｄ　ａｎｔｅｎｎａ　ａｎｄ　ｒａ－　３总结　ｒａｙ［Ｄ］．Ｃｈｅｎｇｄｏｕ：Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙｔ，２０１３．　（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　本文对ＦＤＴＤ常用的吸收边界进行了性能分析，　［６】郭潇菲．天线问题的ＦＤＴＤ研究［Ｄ］．西安：西安电子科　首先简要介绍了几种常用吸收边界（Ｍｌｌｒ、ＰＭＬ、　技大学，２００５．　ＵＰＭＬ、ＣＰＭＬ）的基本原理，从中可以发现Ｍｕｒ吸收　ＧＵＯ　ＸＩＡＯＦＥＩ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｎａｔｅｎａ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ＦＤＴＤ［Ｄ］．　边界原理最为简单，其他３种边界理论较为复杂。采　Ｘｉ’ａｎ：Ｘｉｄｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙｔ，２００５．（ｎｉ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　用Ｍａｔｌａｂ编程，考察各吸收边界的性能，通过对高斯　【７】ＭＵＲＧ．Ａｂｓｏｒｂｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｆｉｎｉｔｅｄｉｆ－　・５１２・　海军航空工程学院学报　第３ｌ卷　ｆｅｒｅｎｃｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆｔｈｅ　ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ　ｅｌｅｃｔｒｏ－ｍａｇ－　ＷＥＩ　ＢＩＮＧ，ＬＩ　ＸＩＡＯＹＯＮＧ，ＷＡＮＧ　ＦＥＩ，ｅｔ　ａ１．Ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［］ｊ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔ－　ｉｃ　Ｃｏｍｐａｉｔｂｉｌｉｔｙ，１９８１，２３（４）：３７７－３８２．　【８】ＢＥＲＥＮＧＥＲ　Ｊ　Ｒ　Ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ　ｍａｔｃｈｅｄ　ｌａｙｅｒ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ＦＤＴＤ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｗａｖｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎＡｎｔｅｎｎａｓ　ａｎｄ　Ｐｒｏｐａｇａｉｔｏｎ，１９９６，４４（１）：　ｌｌ０．１ｌ７．　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ　ｄｏｍａｉｎ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ－ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ　ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｐｈｙｓｉｃａ　Ｓｉｎｉ　ｃａ，２００９，５８（９）：６１７４．６１７８．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［１５】杨利霞，梁庆，于萍萍，等．三维新型非分裂场完全匹配　层吸收边界条件［Ｊ】．电波科学学报，２０１１，２６（１）：６７－７２．　ＹＡＮＧ　ＬＩＸＩＡ，ＬＩＡＮＧ　ＱＩＮＧ，ＹＵ　ＰＩＮＧＰＩＮＧ，ｅｔ　ａ１．Ａ　ｎｏｖｅｌ　３Ｄ　ｎｏｎ－ｓｐｌｉｔｔｅｄ　ｆｉｅｌｄ　ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ　ｍ￣ｃｈｅｄ　ｌａｙｅｒ　ａｂ—　【９】ＳＡＣＫＳ　Ｚ　Ｓ，ＫＩＮＧＳＬＡＮＤ　Ｄ　Ｍ，ＬＥＥ　Ｊ　Ｆ　Ａ　ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ　ｍａｔｃｈｅｄ　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ａｂｓｏｒｂｅｒ　ｆｏｒ　ｕｓｅ　ａｓ　ａｌｌ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ　ｉｎ　ＦＤＴＤ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｒａｄｉｏ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１１，２６（１）：６７－７２．　（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ａｎｔｅｎｎａｓ　ａｎｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，１９９５，４３（１２）：１４６０－１４６３．　【１０】ＣＨＥＷＷＣ，ＷＥＥＤＯＮＷＨ．Ａ　３－Ｄ　ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｃｈｅｄ　ｔｍｅｄｉｕｍ　ｆｏｒ　ｍｏｄｉｉｅｆｄ　Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｏｒｄｉ－　［１６】葛德彪，闰玉波．电磁波时域有限差分方法【Ｍ】．３版．西　安：西安电子科技大学出版社，２０１１：４５．１１５．　ＧＥ　ＤＥＢＩＡＯ，ＹＡＮ　ＹＵＢＯ．Ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ－ｄｏｍａｉｎ　ｎａｔｅｓ［Ｊ］．Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ　ａｎｄ　Ｏｐｔｉｃａｌ　ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＬｅＲｅｒｓ，　１９９４，７（１３）：５９０—６０４．　［１ｌ】ＫＵＺＵＯＧＬＵ　Ｍ，ＭＩＴＴＲＡ　Ｒ．Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｏｆ　ｈｅ　ｃｏｎｓｔｔｉｔｕｔｉｖｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆ　ｃａｕｓａｌ　ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ　ｍ￣ｃｈｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｒｆ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｉｔｃ　ｗａｖｅｓ［Ｍ］．３　ｅｄ．Ｘｉ’ｎ：ａＸｉｄ－　ｉｎ　ａＵｎｉｖｅｒｓｉｙ　ｔＰｒｅｓｓ，２０１１：４５－１１５．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［１７】姜彦南，葛德彪，魏兵．时域有限差分并行算法中的吸收　边界研究［Ｊ】．系统工程与电子技术，２００８，３０（９）：１６３６－　１６４０．　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ａｂｓｏｒｂｅｒｓ［１．Ｍｉｆｃｒｏｗａｖｅ　ａｎｄ　Ｇｕｉｄｅｄ　Ｗａｖｅ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，１９９６，６（１２）：４７—４４９．　［１２】ＲＯＤＥＮ　Ｊ，ＧＥＤＮＥＹ　Ｓ．Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ　ＰＭＬ（ＣＰＭＬ）：ａｎ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔＦＤＴＤｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆｔｈｅＣＦＳ－ＰＭＬｆｏｒ　ａｒｂｉ－　ＪＩＡＮＧ　ＹＡＮＮＡＮ，ＧＥ　ＤＥＢＩＡＯ，ＷＥＩ　ＢＩＮＧ．Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｉｎ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ＦＤＴＤ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｔｒａｒｙ　ｍｅｄｉａ［］．ＭｉＪｃｒｏｗａｖｅ　ａｎｄ　Ｏｐｔｉｃａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｌｅｔ－　ｔｅｒｓ，２０００，２７（５）：３３４—３３９．　［１３】ＢＥＲＥＮＧＥＲ　Ｊ　Ｅ　Ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ　ｍａｔｃｈｅｄ　Ｌａｙｅｒ（ＰＭＬ）ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ［Ｍ］．Ｓａｎ　Ｒａｆａｅｌ，ＣＡ：Ｍｏｒ－　ｇａｎ＆Ｃｌａｙｐｏｏｌ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，２００７：１－ｌ１７．　［Ｊ】．Ｓｙｓｔｅｍｓ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２００８，３０（９）：　１６３６．１６４０．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［１８】王文达．非均匀网格ＦＤＴＤ算法的研究与应用［Ｄ】．太　原：太原理工大学，２０１３．　ＷＡＮＧ　ＷＥＮＤＡ．Ｓｔｕｄｙ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｎｏｎ　ｕｎｉｏｒｍ　ｆ【１４】魏兵，李小勇，王飞，等．一种色散介质ＦＤＴＤ通用吸收　边界［Ｊ】．物理学报，２００９，５８（９）：６１７４－６１７８．　ｍｅｓｈ　ＦＤＴＤ［Ｄ］．Ｔａｉｙｕａｎ：Ｔａｉｙｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ　ｔｏｆＴｅｃｈｎｏｌ－　ｏｇｙ，２０１３．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　Ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ　Ｕｓｅｄ　Ｃｏｍｍｏｎｌｙ　ｉｎ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｔｉｍｅ　Ｄｏｍａｉｎ　ＹＵ　Ｔａｏ，ＱＩ　Ｚｏｎｇｆｅｎｇ，ＬＩ　Ｚｈｉｐｅｎｇ　（Ｓｔａｔｅ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ　Ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｎ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｙｓｔｅｍ，　Ｌｕｏｙａｎｇ　Ｈｅｎａｎ　４７１００３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ　ｏｆ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ　ｕｓｅｄ　ｃｏｍｍｏｎｌｙ　ｉｎ　ＦＤＴＤ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　Ｍｕｒ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ，ＰＭＬ，　ＵＰＭＬ，ＣＰＭＬ，ｗｅｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｓｅｖｅｒａｌ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ　ｗｅｒｅ　ｉｎ—　ｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｂｒｉｅｆｌｙ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ　ｗｅｒｅ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｕｓｉｎｇ　Ｍａｔｌａｂ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｐａｒｔ　ｂｙ　ｃａｐｔｕｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｉｃ　ｒｉｆｅｌｄｓ　ｏｆ　Ｇａｕｓｓ　ｓｏｕｒｃｅ　ａｎｄ　ｓｉｎｅ　ｓｏｕｒｃｅ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｏｕｒ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ　ｗｅｒｅ　ｓｎｍｍａｒｉｚｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｍｕｒ　ｂｓｏｒｂｉｎｇ　ａｂｏｕｎｄａｒｙ；ＰＭＬ；ＵＰＭＬ；ＣＰＭＬ；ＦＤＴＤ