习题答案 第3章 静电场及其边值问题的解法

3.1 / 3.1-1 一个半径为a，壁厚d极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U0。当它破灭时假定

全部泡沫集中形成一个球形水滴。试求此水滴（drop）对无穷远处的电位Ud。若U0=20V，a=3cm，d=10μm，则Ud=? [解] Ud40aU43002aU3023103220101063ad3ad39104200V

ˆCr2（rC为常数。求：a)球体内的电荷分布；b)球体外的电场强度；c)球内外的电位分布；d)验证静电场的电位方程。

[解] a) vr0E0ar421dr2drr2Cr240Cr (rˆCb) Er (r>a)

c) 取 r处为电位参考点，得 ra:rEdrarCrdr2aCar4dr2Ca33Cr33Ca3C34a3r3

ra:rEdrCa4r

d) ra:2123C2r4Crv0 得证。 r2r3r1r2 ra:2rr2Car420 得证。

3.3 / 3.1.3空气中有一半径为a，体电荷密度为ρv的无限长圆柱体。请计算该圆柱体内外的

电场强度。 ˆ[解] a: Erv202

ˆa: Erva20

3.4 / 3.1-4 已知空气中半径为a的圆环上均匀地分布着线电荷，其密度为ρl，位于z=0平面，

试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与

之不同）。 [解] l402adr020laaz22

23

ˆEzzˆzlaz20az2232

3.5 / 3.1-5已知空气中半径为a的圆盘上均匀地分布着面电荷，其密度为ρs，位于z=0平面，

试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。

[解] asd20z0zˆz22s202az22z

ˆEz120szaz2 总等于该处体自由电荷密度ρv的3.6 / 3.2-1在均匀介质内部任意点处，体束缚电荷密度v1)倍，请证明之。

[证] 由式(3.2-6)，代入式(3.2-10)及式(3.1-2)知

(

0rPr0Ev v0Dv01v 得证。 3.7 / 3.2-2 已知空气中有一导体球，半径为a，带电量为Q，其外面套有外半径为b、介电常

数为ε的介质球壳。试求：a)rb各区域的D和E；b)介质球壳中

和其内外表面处的面束缚电荷密度s。 的体束缚电荷密度v[解] a)

rˆ arb: DrQ4r2ˆ,ErQ4r2

ˆ r>b: DrQ4r2ˆ,ErQ40r2

PD0Evb) v0v01v Q4a2sraˆPnraˆ0Erraˆrˆ0rQ10 24a srbˆ0ErrbQ10 24b

3.8 / 3.2-3平行板电容器的宽和长分别为a、b，两极板间距为d<24

a)电容器的左半空间（0~2）用介电常数为ε的介质填充， b)电容器的下半空间（0~

d2a）用介电常数为ε的介质填充；另一半均为空气。

请分别对a)、b)求下极板上的电荷密度及介质下表面的束缚电荷密度（参看题图3-1）。

xUdo(1)a2a0(2)0y(b)

ˆ x

(a)

题图3-1 二平行板电容器

[解] a) 介质交界面上 E1tE2t E1E2又 DE,

Udˆ, ˆ, D20E1xD1E1x下极板电荷密度：

ˆD snˆ(s1xUdˆ)xUdˆ(, s2x0Udˆ)x0Ud,

介质下表面束缚电荷密度：

nˆP,sPD0E

UUUˆ0xˆ, 0x P1D10E1-dddUUˆ0 P2D20E2-00xdd

UU当 x0 时,介质表面束缚电荷: s 1xˆˆ0x0dd20 sˆ方向，即介质表面外法线方向) ˆ为x(下极板n

b) 介质交界面上

ˆ D1nD2n, D1D2D, 方向: x25

又 E1D, E2D0

即 dE212U E2U, D110d2Ud 于是: D00ˆ; xE120Udˆ, xE22U0dˆ xˆDxˆ下极板电荷分布：sn下极板束缚电荷密度：

20U0dˆx20U0d

ˆ, 所以: x0时,介质表面外法线方向为xˆD0E1 sx200U0d

( xd

2时,束缚面电荷密度为:

ˆD10E1s1xx20U0d200U0d200U0d )

3.9 / 3.2-4 一均匀带电无限长直导线，其线电荷密度为ρl=10-8C/m2，已知距导线10cm处

的极化强度P=1.27×10-8C/m，求导线周围介质的介电常数ε。

12[解] r043.8610(法拉/米)

3.10 / 3.3-1对图3-1(b)所示平行板电容器，30，求：a)二区域的电场强度和电位函数；

b)电容，设平板面积为A0。

[解] a) D1nD2n 故 D1D2D

E1D , E2D0

UE1E2d11dD 202 得 D20U0dˆx

ˆ E1xD20U0dˆxU2dˆ, E2x2U0dˆx3U2d

26

取下极板为零电位，则 1 20xE1dx0x20U0ddx20Ux0dUx2d

d2xE2dx0d2E1dx2Uxd20d20Ud20dddd3U0dxx0d222d2b2U校： U0dU 10d22Ub) 极板上面电荷密度为

sE1其电荷量为 QsA0故电容量为 CQU20A030A02d20UA030UA02d20U0d

0d

0d

3.11 / 3.3-2 对图3-1（a）所示平行板电容器，ε=3ε0，求其电容，设平板面积为A0。 [解] E1tE2t 故 E1E2 极板上面电荷密度为 s1E1 其电荷量为

Qs1s2 故电容量为 CQU0A02d20A0dA020UA02dUd

Ud， s20E20Ud

3.12 / 3.3-3 对图3.1-3所示平行双导线，若左侧导线半径为a，而右侧导线半径为b，二者轴线相距d>>b>a，求其单位长度电容C1；若a=b，则C1=？

[解] 因d>>b>a，按例3.1-3同样的推导得空间任意点处电位为

l20ln12

27

双线间电位为 Uab 故单位长度电容为 C1l20lndaal20lnbdal20lndadbab

lUln20dadbab2lnd02

ab 若a=b，则 C122ln0daln0da

3.13 / 3.3-4对图3.4-2(a)所示同轴线，其内外导体半径分别为a、b，中间充填介电常数分别

为1,2的二层介质，分界面半径为c。求：a)二介质区域的电位函数1和2；

b)单位长度电容C1。

[解] a) 由例3.4-1知，二介质区域电场强度分别为

ˆ E1Uc1blnlnac2ˆ， E2U2cblnlnac1

取外导体为零电位，则 1cE1dbcE2dlnUca12lnbclncU21lncalnbclnbc

1c1blnln 1c1b12clnln1a2cU2bE2dU21lncalnbclnb

b) 由例3.4-1知，外导体表面线电荷密度为 l2U11lnca12lnbc

故单位长度电容为

28

C1l1a211lnca12lnbc

3.14 / 3.3-5 对图3.4-2(b)所示同轴线，其外导体半径分别为a、b，01部分填充介电

常数为1的介质，其余部分介电常数为2。求单位长度电容C1。

[解] 由例3.4-1知，二区域的电场强度和其导体表面线电荷密度分别为

ˆ E1E2Ulnba

l111Ulnba， l2212Ulnba

取外导体为零电位，则 12bE1dUlnbalnb

故单位长度电容为 C1l1l21a1121lnba2

当10，得

2ln2 C1ba

3.15 / 3.3-6 参看图3.3-5，设导线1为电力线，导线2为电话线，二者半径均为a，相距D，

架高h。设电力线1上电压为U1，求电话线上的感应电压U2；若a=5mm，D=30m，

h=12m，U1=5KV，则U2=？（参看例3.3-2）

[解] U2C12C12C22U1U11C22C12

由例3.3-2，

29

C22C12ln2halnln24hDD222

2hDDln4hDD2ha22故 U2lnU1138V

3.16 / 3.3-7 参看例3.3-3和图3.3-6，若图中导体2与电缆壳相连，在导体1、2间加电压120V，

求导体1、2上所带电量。

[解] 当导体2与电缆壳相连，C220，则导体1、2间工作电容为

CPC12C110.02150.0170.0385F 导体1、2上电量分别为

Q1CPU120.03851204.62C Q2C12C11C12Q10.02150.03854.622.58C

3.17 / 3.4-1无限长同轴线内、外导体半径分别为a、b，外导体接地，由导体加电压U。请通

过电位方程20，求解内外导体间的电位和电场分布。其单位长度电容C1=？

[解] 例2.2已求得此题电场分布，现通过解电位方程来求。已知电位的边界条件是（参看图2-3）

aU b0

内外导体间任一点的电位满足拉氏方程： 0

采用柱坐标，不随、z变化，因而拉氏方程化为

10 2

其通解为

AlnB

30

根据边界条件和积分常数：

UAlnaB0AlnbBUlnab

解得 A， BUlnblnab

故 UlnablnlnbUlnablnb

ˆ得 EˆUlnabˆUlnba 此结果与例1.2-2同。

内导体处面电荷密度为

sEaUalnba

则内导体单位长度线电荷密度为

l2as2Ulnba

故单位长度电容为

C1lU2lnba2

3.18 / 3.4-2参看例3.4-1和图3.4-2(a)，请由电位方程0求解二介质层区域①②的电位和电场强度。

[解] 两区域之电位分别满足方程

210220 即,

110120

将上

31

1AlnB2ClnD

根据边界条件确定常数A、B、C、D:

①b,12,1122;

② a,1U0; ③ C, 20

AlnbBClnbD111A2C则,  bbAlnaBU0ClncD0U0lna 解得, A BU011bb1bblnlnlnln2caca2CU021lnbalnbc DU0lnC21lnbalnbc

将常数代入1,2表示式得:

U0lnbU0lncbcbcb1lnlnba1221lnba

lnU0lnc2lncb21lnba

两区域的电场强度为:

ˆ E1111U0lnbaˆ 12lncb 32

ˆE2221U021lnbalncbˆ 

3.19 / 3.4-3 一球形电容器的内、外导体球面半径分别为a、b，中间介质的介电常数为ε。

设内球加电压U0，外球接地。试由电位方程20，求解电容器中的、E及内球面上的面电荷密度ρs。

[解] 因为节点常数均匀,为球对称,故电位、电场均仅与r有关.

电位满足方程, 20,

12r0 arb 2rrrArB

将方程积分两次,得解为： r由边界条件确定常数A、B:

①ra, AaBU0 AbB0

② rb, aUB0 解得,

ababU0BaU0

ababU0ab

ABbabABb则得:

abU0abraU0abb1bar002aUˆErnrarabUbarrraˆr

02rasabUbarbU0baa3.20 / 3.4-4二同心导体球半径分别为a、b，中间三个区域的 介电常数分别为ε1、ε2、ε3，如题图3-2所示。求中间介质区域的电位函数和电场强度E；此同心球的电容C=？ [解] 仿照由例3.4-2作举一反三处理，得

ˆ ErQ2r2123

题图3-2 充填三种介质的同心球

br11Edr

2123rbQ 33

CQraab112123 2123abba3.21 / 3.6-1 一无限长细传输线离地面高h，线电荷密 度为ρl（C/m），坐标如题图3-3所示。证明它在导电的地平面上感应的面电荷密度是

slh(xh)22(C/m)

2并证明地平面上沿y向的线电荷密度为－ρl（C/m）。 [证明] 因为l为无限长细直线,故该题是求解二维平面场.应用镜像原理:

地平面上面,空间任一点的电位为:

题图3-3 地平面上的线电荷

pl20lnR2R1

xzh222l20lnxzh2l40lnxzh222xzh2

ˆˆˆExyzp yzxl2x2xˆx222240xzhxzhˆDyˆDsnlh22zh2zhˆy2222xzhxzh(伏/米)_ y0xh2

地平面上沿y向的线电荷密度为 Qisdxlh2dxxh2lh1htg1x hl2lC/m 得证。 23.22 / 3.6-2 无限长细传输线半径为a=2mm，离地高h=10m，地面可视为无限大导体平面，

试求其单位长度电容。

[解] 采用镜像法求该问题

双导线在空间任一点的电位是: pl20lnl40lnxh2xh2

单根传输线的电位,当xha时,

34

1l20ln2haa

地面的电位为零, 20

lU12单位长度电容, C12l12ln202haa2ln02ha

每公里长的电容CC1228.85410ln2102103123.85109(法拉/公里)

3.23 / 3.6-3一导体劈的劈角α=60°，如图3.6-2(b)所示。角域内x=1,y=1处有一点电荷q。

请用镜象法求角域内的电位；并算出x=2，y=1点的电位值，设q=4.5×10-8C。

[解] n180603

镜像数N2n15

(1)源电荷位置: ① (x1,y1):(1,1), +q 镜象电荷位置: ② (x2,y2):(0.366,1.366),-q

③(x3,y3): (-1.366,0.366), +q

④ (x4,y4):(-1.366,-0.366), -q ⑤ (x5,y5): (0.366,-1.366), +q ⑥ (x6,y6): (1,-1), -q 角域内任一点(x,y)处的电位: x,yq40111111 RR2R3R4R5R61222其中: Rixxiyyizzii1,2,3,4,5,6

(2) 对于x=2，y=1点的电位值

R1212111

2 R2R3R4R520.366221.366221.366220.366211.3661.675

210.36610.36611.3662223.425 3.633 2.875

35

R6212q40112.236

22,11111112.89109q(V)130(V) RR2R3R4R5R613.24 / 3.6-4一无限长线电荷的线密度为ρl，在它的外面有一以它为轴线的无限长导体圆筒，

其内表面半径为a。求圆筒内任意点的电位和电场强度。 [解] 采用镜象法求该问题

设镜象线电荷在圆柱外,距轴线为d1.导体表面是等位面,则导体壳内任一点P的电位为:

pl20lnR2R1

若P点在导体表面上,必须

R2R1Const.

由相似三角形定理:d1a2R2R1add1aConst.

d――――镜象线电荷的位置.

(1) 壳内空间任一点的电位:

Pl40R2llnR4122202d122d1cosln2d22dcos22 2上式中: R22d12d1cos, R1d(2) 壳内任一点的电场强度: ˆEˆ12dcos,



式中:

22dcos22d1cos2d22dcos2d12d1cos2

2dsin2d22dcos2d1sin2d12d1cos2

3.25 / 3.7-1一矩形导体管的截面尺寸和四壁的电位如题图3-4所示。

(a)请证明管内任意点的电位是 (x,y)2U0n1,2,31(1)nshnabnshnxbsinnyby;

a (b)求管内任意点的电场强度； 00U00x 题图3-4 矩形导体管 b 36

o(c) 求x=0处内壁上的面电荷密度ρs|x=0，

管内媒质为空气。

[解] (a) 该题为二维场,管内空间电位满足方程: 20

x22即 y220

通解为: x,yAchkxBshkxCcoskyDsinky

边界条件: ① 0,y0 ② a,yU0

③ x,00 ④ x,b0

由边界条件确定常数:

由①得, A=0; 由③得, C=0, x,ynbAshkxsinky

nxbnyb 由④得, k (n=1,2,…), x,yn1Anshsinn

由②得, a,ynybnabn1AnshnabsinnybU0

上式两边乘sin ,并从0b 对y积分,当nn 时得:

sin2baAnshnybdyb0U0sinnybdy

得, An2U01cosnnshnab , (n=1,2,3,…)

管内空间得电位分布是, x,yn12U011nnanshbshnxsinbnyb

ˆˆxy (b) E yx2U0b11nxnynxnyˆˆxchsinyshcos nabbbbn1shbn(c) 在x=0处，

37

sx0ˆDnx00Ex0,y20U0bsinshnyb nan1b3.26 / 3.7-2若上题中x=a处导体壁上的电位不是U0，而是下述电位分布：

,0yb/2,xaU0y/b U(1y/b),b/2yb,xa0其他条件不变，试证明矩形管内任意点的电位函数是

(x,y)4U02n1,3,52sinnsh2n2nabshnxbsinnyb

[证] 1)电位满足方程

22x22y20

kxky0, ky0 kx0

22得, kykxk 2) 通解

x,yA0xB0C0yD03) 由边界条件确定常数

Achkx1B1shkxC1coskxD1sinkx

由①, B00、 A10; 由③, D00、 C10; x,yA0C0xyB1D1shkxsinky

, (n=1,2,3…), x,y由④, A0C00, knbn1Bnshnxbsinnyb

由②, a,yn1Uy0yb2nany0b BnshsinbybbU012ybb上式两边乘sinnabbnyb2 ,并从0b 对y积分,当nn 时:

bBnsh0sinnybU0bdy2U0ybnyb0sinnybb2dy1ysinnydyU 0b2bbbBnb2shnabb20ysindybsinnybdyU0bb2bysinnybdy

Bn

b2shnab2U0bn22sinn2, (n=1,3,5,…)

38

得: x,yn1,3,5,...4U0n22sh1nabshnxbsinnyb

3.27 / 3.7-3 一矩形管的截面尺寸和四壁的电位

如题图3-5所示，管内媒质为空气。 (a)求管内任意点的电位和电场强度； (b)求y=0处内壁上的面电荷密度ρs|y=0。

[解] (a) 该题为二维场,满足二维拉普拉斯方程. 边界条件为:

① 0,y0;

② x,00;

③ x,b,y0;

xyy0b0o0,00aU0sin3y2bx ④ a,y,通解: x,yE0(常数)

AchkxBshkxCcoskxDsinky

由边界条件确定常数:

根据①得, A=0; 由②得, C=0, x,yAshkxsinky

由③得， kx,y2n12b （n=0，1，2，…）

n0Ansh2n12bxsin2n12by

由④得 a,yn0Ansh2n12basin2n12byU0sin3y2b

AnU0sh3a2b； 2n+1=3， n1

39

x,yU0sh3a2bsh3x2bsin3y2b

ˆˆ Exy xy3x3y3x3yˆchˆshsinycosx

3abbbbbshb03U (b) 在y=0处，

sˆDn0Eyx,030U0bsh3abyy0y0sh3xbU00,03.28 / 3.7-4半无限长矩形导体槽如题图3-6所示，

上板电位为U0，下板电位为零。 求槽中任意点的电位和电场强度。

[解] 该题为二维场,满足方程: 边界条件为: ① 0,z0;

② a,zU0

y,000ya2③ 

ayay,0U02y22aa2o0z z22题图3-6 矩形导体槽 0

④ y,通解为:

U0ay

y,zAyBCzD根据边界条件确定常数,

AcoskyBsinkyCekzDekz

由①得, B0,A0; 由④得, D0,C0,ADU0a

y,zU0ayAsinkyekz

40

由②得, kna, ( n=1,2,3,…)

y,zU0ayn1Ansinnyaenaz

U0ya由③得: U0yan1n1Ansinsinnyanya0,0yaU0,a2

An2ya上式两边乘sin

anya , 并在0a区间对y积分,当nn时,得:

20U0xa2n1nynyAnsindysinaaa2U0ya2aan1Ansinnynydysinaaa2aU0sinnyadya0AnsinnyadyaU0sinnyadyU0aa0ysinnyady

得 An2U0n (n=2,4,6,…) cosn2U0a该区域的电位为: y,zyn2,4,6,2U0ncosn2sinnayenaz

ˆˆEyz yzˆyU0a2U0an2,4,6cosn2en2znynxˆcosˆsinzy

aa3.29 / 3.7-5 一长方形导体空腔，边长分别为a、b、c，其边界均为零电位，空腔内充填体

电荷，密度为

vC0(sinxasinzc)y(yb)

求腔内任意点的电位（x,y,z）。

提示：需满足泊松方程v0。设可用三维傅里叶级数表示为

2m1n1l1Amnlsinmxasinnybsinlzc

代入泊松方程后，利用正弦函数正交性确定系数Amnl。

41

[解] 长方体内电位满足泊松方程2v0

mxanyblzc设该方程通解为：m1n1l1Amnlsinsinsin

将x,y,z代入泊松方程得：

Amnlm2n2l2Cmxnylzxz1sinsin0yybsinsinsinm1n1l1abcabc0两边乘sinmxnylasinbsinzc，

 从0a对dx、从0b对dy、从0c对dz 三重积分， 根据三角函数正交性，必须m1,l1， 得

A8b21n12， （n=1，3，5，7，…）

0n31n22abc2x,y,zCxz8b10sinasinc32sinnn1,3,5,0n22by

ancb3.30 / 3.7-6 已知在（x,y,z）空间中，z=0平面上电位分布为

x,y,0U0sinx

请确定空间中任意点的电位和电场强度。

[解] 1)B.C.（边界条件）： x,y,0U0sinx (1)

22 2）Eq.（方程）： x2z20

3) 解式： x,zXxZz

X： 取XxAcoskxxBsinkxx Z： 取 ZzCezDez

4) 定常数：因k22zkx，kzjkxj ，故kx 由（1）知， XxBsinkxx

42

ac 当z, Zz0,故

ZzCeZzDekxzkxz

,z0

kxz,z0,z0

从而得 x,zC1sinkxxe x,zD1sinkxxe当z=0，由（1）知，

kxz,z0

x,0C1sinkxxD1sinkxxU0sinx 得 kx C1D1U0 故 x,zU x,zU0sinxesinxez,z0 ,z0

z0ˆ Exxˆz zzˆcosxyˆsinx,z0 x 得 EU0ezˆcosxzˆsinx,z0 EU0ex3.31 / 3.7-7 沿z轴方向半无限长导体圆筒的半径为a，该圆筒接地，但在z=0处的筒底上

加电压U0，求筒内电位和电场强度。

[解] 1) B.C.： a,,z0 （１）

,,0U0 （２）

10 2）Eq.： 2z2 3) 解式： ,zRZz

R：由于轴对称性，圆柱函数必为零阶，n=0,且因区域中包括轴线

0,N0kl0，故只有J0k项，即

RAJ0k

43

Zz：ZzCe

4) 定常数：

kzzDekzz

由于z,Zz0，得D=0，即

ZzCekzz, kzkk

由(1)，RaAJ0ka0

x0ia k,i1,2,3,

式中x0i是J0x的第i根，于是

,zi1x0iAiJ0eax0iaz

由(2)，



i1xAiJ00iU0

ax0j 为求系数Ai，对上式两边同乘J0a并对由0积分至a:



0iax0ix0jAiJ0J0daaa0x0jU0J0ad

 因

a0a22J1x0i,ijx0ix0jJ0J0d2 aa0,ij2ax0iJ0dJ1x0i

ax0i 得

a0 Ai 最后得

2U0x0iJ1x0i

,zix0iJ0ex0iJ1x0ia2U0x0iaz

44

ˆˆ Ez z 

2U0ai1J1x0iex0iazx0ix0iˆˆJzJ 01aa

3.32 / 3.7-8 在半径为a的无限长导体圆柱外侧包有一层半

径为b、介电常数为ε的介质，如题图3-7所示。

ˆE0，取导体 令其外空间外加一均匀电场E0x 圆柱表面处为电位参考点，求（1）区（a<ρ和（2）区（ρ>b）的电位函数。

[解] 区域（1）、（2）的电位均满足拉氏方程：

11110 b 2212120 ab 22题图3-7 包有介质层的导体圆柱

22电位通解： 1A1n1nB1nC1sinnD1cosn ab

2An12nB2nC2sinnD2cosn b

边界条件：

① 1,1,,2,2,

② 1a,0

③1a,2a,， 021 a④， 2,E0xE0cos

根据边界条件确定常数：

由①得， C1C20 由②得， A1B1a2n

45

由④得， n1,A2D2E0 由③及三角函数正交性得， nn1

 解重写为：1AB1cos （其中， ABa2） 2E0D1cos 当b时，Bba2BcosEbDcos

bb02 AB2cos0E0Dcosb

各区域的电位函数为：

1AB1cos ab

1 2E0Dcos 0b

20E0abb222 其中： A20E0bb220a22， B0a20

b D40E022b0a00ab2

3.33 / 3.7-9 一无限长扇形导体柱的三壁均为零电位，但ρ=a处壁电位为U0，如题图3-8所

示。求此扇形域内的电位分布。 [解1] 1)B.C.： ,00 （1）

,0 （2）

b,0 （3）

a,U0 （4）

110 题图3-8 扇形导体柱 2）Eq.： 222 3) 解式： ,RF

4) 定常数：

46

F：具有2周期性，取FAcosnBsinn R：电位解与z无关，kz0，必有k0，故取

RCnD

n 由（1），得A=0，FBsinn

m 由（2），得 sinn0,nmm,m1,2,3,

2m 由（3），得 CbDbm0,CDb2m

于是 ,m1Ambmsinm  将（4）式代入上式得

 U0m12mmmAmabasinm  为确定Am，对上式两边以sinn并对从0至积分，有

2mmmAmaba

0U0sinnd0m1sinmsinnd  右边仅当m=n时不为零，得

2nnn1cosmAnaba

nU0 2 An4U0n1b2n12naan, n=1,3,5,…

2n 最后得 ,n1,3,5,4U01bn1b2n2n2nnnasinna

3.34 / 3.8-1 无限大导体平板由一条细缝分布两块无限大平板，二板电位分别是U0与0，如

题图3-9所示。试用复位函数法，取对数复变函数为变换函数，求出平板上半

空间的电位函数和电场强度。

[解] 令，zej

j wclnzclneujv

根据物理状态，取v为位函数， 即， vc，

当 0,0; ,U0 题图3-9 二半无限大平板

47

cU0

UU则，电位函数 0 0， 改写成， 

电场强度 Eˆ11U0ˆU0ˆ 3.35 / 3.8-2 在长轴为2a的椭圆导体柱内，在其相距2c 的二焦点连线处是一极薄的导体片（宽2c），如题图3-10所示。试用复位函数法，取变换函数w=Acos1zc，证

明此片与椭圆柱面间单位长度电容为C201ch1a。

c[证] 取复位函数为

wAcos1zcB1jB2ujv 题图3-10 椭圆柱电容器

uA1zRecoscB 1Au1B1

zvAImcos1cB2Av1B2取v为电位函数，u为通量函数。 设导体片电位为U，椭圆柱电位为零。当v10,vU，得B2U,vAv1U.

令vch1a1c,v0, 得 AU

ch1ac当u10,u0, 得 B10,uAu1 当u12,u2A. 故

jv 00u2v=v Cu1220U0. ch1a0 c得证。

u 3.36 / 3.8-3 利用保角变换法再解3.8-2题。  0 v=v1  [证] 取变换函数 wcos1zcujv

令v为电位函数，边界与vv1和vv2一致， 题3.8-3 图

48

u 则z平面上的椭圆变换为w平面上的直线，如右图所示。矩形区域中电位为 AvB 当vv10,U, 得 B=U；

当vv2,0, 得AUv2Uv2

故 vv2

xjyc因 ujvcos1

xjyc

cosujvcosuchvjsinushv

xccosuchv ,ycsinushv由上二式消去u，得 x2sh2vy2ch2vc2sh2vch2v

即 x2sh2vy2y2sh2vc2sh2vc2sh4v c2sh4vx2y2c2sh2vy20

shv2x2yc22x2yc22224cy222c

1222xyc1得 vshx2yc22222c4cy222

1在椭圆短半轴（0,b）处，

22bc1v2shbc2c22224bc222sh1bc

单位长度电容为 C0u1u2v1v20sh1bc2sh10bc

设ch1222x，即xsh，则1x1shch，故

49

ch故 sh111x12ch1b1c2ch1bcc22ch1ac

bcchac

从而又有 C2ch10ac 得证。

yb2b1o3.37 / 3.8-4 两个共焦椭圆导体柱组成一电容器，二者长、短半轴分别是a1、b1和a2、b2，如题图3-11所示。试用保角变换法求其单位长度电容C1。 [解] 采用变换函数 wcos

zccosujvccosuchvjcsinushvxjy

xccosuchvycsinushv1zaujv，则

a1a2x 题图3-11 共焦椭圆柱

得

x222cchvx222y222cshvy221 （1）

ccosucsinu21 （2）

可见，vconst.代表一组共焦点椭圆，焦点在c,0处。 ucons.t代表一组共焦点双曲线，焦点在c,0处，它们与椭圆相交。

该二组曲线在w平面上都是直线，如右图所示。这样便简化了求解。

在w平面上，平板电容器的板间距离为

v2v1，极板宽为，因而其单位长度的电容为

2jv u1 u2 v2 v1 u 0 2 CA0d12 v2v1 由式（1）知， 题3.8-4 图

a1222cchv11, a1cchv1；

50

b1222cshv122； 1, b1cshv1故 a1b1c2 v1sh1b1bln1ccb1c22ab1 1ln1c同理 v2lna2b2c

得 v2v1lna2b2a1b1

Cln2a2b2a1b1

C14Cln2a2b2a1b1

校： 当a1b1a,a2b2b,得 C12lnba

3.38 / 3.8-5 一无限长矩形导体槽的横截面如题图3-12（a）所示，其底边宽为π（m），在其

中轴线上高h处有一无限长线电荷，线密度为ρl。试证明变换函数w=sinz可把

该z平面上宽π的带形区域变换为w平面的上半平面，如图3-12（b）所示。应用此变换，求此槽内的电位分布。

yZ平面vW平面l0o0220lxou

题图3-12 矩形导体槽的保角变换

[解] 利用变换函数wsinz，有

ujvsin(xjy)sinxchyjcosxshy

51

usinxchyvcosxshy 2这样，2x区域对应于w的上半平面v0，线电荷位于u00,v0shh 。

可见原边值问题化为无限大平面上方有一线电荷的情形。由例3.8-3知，w平面上半空间任意点u,v 的电位为 u,v故

x,y

l4lnuvv0222uvv02

l4lnsinsin22xchycosx1shy222xchycosx1shy222

52