2021年四川省绵阳市中考数学真题及答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。
1．整式﹣3xy的系数是（ ） A．﹣3 2．计算A．6
×
B．3 的结果是（ ）
B．6
C．6
D．6
C．﹣3x
D．3x
2
3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（ ）
A．2
B．3
C．
D．
5．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
6．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ）
A．60件 7．下列数中，在A．3
与
B．66件 C．68件 D．72件
之间的是（ ） B．4
C．5
D．6
8．某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ） A．众数是36.3 C．方差是0.08
B．中位数是36.6 D．方差是0.09
9．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，
P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（ ）
A．22°
B．23°
C．25°
D．27°
10．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4
2
B．11.6 C．12.4 D．12.6
11．关于x的方程ax+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（ ） A．1
B．
2
C． D．2
12．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.
13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝28°，则∠2＝ ．
14．（4分）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为 ． 15．（4分）若x﹣y＝
，xy＝﹣，则x﹣y＝ ．
2
2
16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 元．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝
，则AB＝ ．
18．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，且CD＝2
+
＝，∠C的角平分线交AB于点D，
，斜边AB的值是 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（16分）（1）计算：2cos45°+|
﹣
|﹣2021﹣
0
；
（2）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝1.12，y＝0.68．
20．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°． 分段
成绩范围 90～100 80～89 70～79 70分以下
频数
频率
A B C D
a
20
m b
0.3
c
10
n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同． （1）在统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21．（12分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
22．（12分）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，
x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值； （2）连接BE，求△MBE的面积．
24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1． （1）求证：△DBC∽△AMD；
（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）； （3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．
25．（14分）如图，二次函数y＝﹣x﹣2x+4﹣a的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、
2
2
B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出
发，沿射线OB分别以每秒
和2
个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩
形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
2021年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。 1.A． 2. D． 3.C． 4.D． 5.C． 6.B． 7.C． 8.C． 9.A． 10.A． 11.D． 12.A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.
13． 152°． 14． 9.1×10． 15． 0． 16． 145． 17． 4． 18． 3
．
7
三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．
（1）原式＝2×＝
+
﹣1﹣
＝﹣1， （2）原式＝
﹣
﹣
＝
＝＝
，
当x＝1.12，y＝0.68时：20．
＝＝2．
解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人）， ∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人）， ∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人）， 故答案为：5，0.4，15；
（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5， 随机选出的这个班级总人数为50， 设该年级成绩在90～100之间的人数为y， 则
，
解得：y＝200，
（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3， 选出2名学生的结果有：
男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1， 男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3， 共10种结果，并且它们出现的可能性相等， 其中包含1名男生1名女生的结果有6种， ∴P＝21．
解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，
＝，即选到1名男生和1名女生的概率为．
根据题意，得可解得50≤x≤55， ∵x为整数，
∴x＝50，51，52，53，54，55；
，
答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55； （2）设获得利润为y元，
由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+8﹣[2x+6（150﹣x）]， 即y＝﹣220x+87000， ∵﹣220＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），
答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元． 22．
解：（1）结论：点N在直线AB上，理由如下：
∵∠CMH＝∠B，∠CMH+∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BMC＝90°，即CM⊥AB，
∴线段CM逆时针旋转90°落在直线BA上， 即点N在直线AB是上， （2）作CD⊥AB于点D，
∵MC＝MN，∠CMN＝90°， ∴∠MCN＝45°， ∵NC∥AB， ∴∠BMC＝45°， ∵BC＝6，∠B＝30°， ∴CD＝3，MC＝
2
，
∴S＝MC＝18，即以MC．MN为邻边的正方形面积为S＝18． 23．
解：（1）由题意得点A的坐标为（
，2），点B的坐标为（1，k），
又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形， ∴点C的坐标为（1，2）， 又CE＝1，
∴点E的坐标为（2，2）， ∵点E在线段AB的垂直平分线上， ∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB＝BC+CE， ∴1+（k﹣2）＝∴k＝2或，
当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去， ∴k＝，
∴C（1，2），E（2，2），k＝；
（2）由（1）可得，AC＝，BC＝，CE＝1， 设AB的中点为D，
2
2
2
2
，
AB＝＝，BD＝＝，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°， ∴△BDM∽△BCA， ∴
＝
，
∴BM＝×＝，
∴S△MBE＝＝×1＝．
24．
解：如图1，
（1）∵AM是⊙O的切线， ∴OA⊥AM， ∴∠CAM＝90°， ∴∠MAD+∠DAC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝90°， ∴∠MAD＝∠BAC， 对于
：
∠BAC＝∠BDC， ∴∠MAD＝∠BDC， 又∠MAD＝∠BDC＝90°， ∴△DBC∽△AMD； （2）如图2，
取CD的中点N，连接ON， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO， ∴ON∥AD，ON＝
，
∴∠CNA＝∠ADC＝90°， ∴ON⊥CM，
由（1）知：△DBC∽△AMD， ∴
＝
， ＝x，
22
∴DM＝
∴CM＝DM+CD＝x+1， ∴S△COM＝CM•ON＝（x+1）•＝
；
2
（3）如图3，
作DF⊥AC于F，延长DB交MA的延长线于G 在Rt△ADC中，AD＝x，CD＝1， ∴AC＝
，
∴OD＝OC＝AC＝
DF＝，
CF＝＝，
∴OF＝OC﹣CF＝∵DF∥AG， ∴△DOF∽△GOA， ∴
＝
，
，
∴AG＝＝＝
＝，
∴AG＝
2
，
在Rt△ACM中，由射影定理得，
AM2＝DM•MC＝x2（x2+1），
∵∠AOE＝∠COD， ∠AOG＝∠COD， ∴∠AOE＝∠AOG， ∵OA＝OA， ∠OAM＝∠OAG， ∴△AOM≌△AOG（ASA）， ∴AG＝AM， ∴∴x1＝∴AD＝
＝x（x+1）， ，x2＝﹣，OD＝＝
（舍去）， ， ，
2
2
DF＝
OF＝，
作EH⊥OA于H，设OE＝a， ∴EH＝OE•sin∠AOE＝a•sin∠DOF ＝a•
＝
a，
∴OH＝a，
AH＝＝＝a•＝a，
由AH+OH＝OA得，
a+
∴a＝
＝， ，
即：OE＝25．
．
解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x﹣2x+4﹣a， 解得：a＝﹣
，
2
22
抛物线解析式为：y＝﹣x﹣2x+2， 当t＝1秒时，OP＝则
，设P的坐标为（x，y）， ，
解得或（舍去），
∴P的坐标为（1，﹣2）； （2）经过t秒后，OP＝
t，OQ＝2t，
由（1）方法知，P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），
由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t）， 矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1， 然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2， 将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x﹣2x+2，得2t+t﹣1＝0， 解得：t＝，或t＝﹣1（舍），
将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x﹣2x+2，得（t﹣1）＝3， 解得：t＝1+
或t＝1﹣
（舍）．
2
2
2
2
所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时， 时间t的取值范围是：≤t≤1+
；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n）， 当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1）， 过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3， 则R'M＝
2
＝
2
，
又∵n＝﹣m﹣2m+2得（m+1）＝3﹣n， 消去m得：R'M＝
＝＝＝
，
，
当n＝时，R'M长度的最小值为此时，n＝﹣m﹣2m+2＝， 解得：m＝﹣1±
，
2
∴点R的坐标是（﹣1±，）．
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