28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦
01 基础题
知识点1 已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝5，BC＝3，则sinA＝(A)
3434
A. B. C. D. 55432．(2019·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)
3434A. B. C. D. 5543
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若2a＝3c，则∠A的正弦值等于54．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为．
135．分别求出图1，图2中∠A，∠B的正弦值. 图1 图2
解：图1中AC＝AB2－BC2＝62－22＝42， BC122
∴sinA＝＝，sinB＝.
AB33
图2中AB＝AC2＋BC2＝（2）2＋（6）2＝22，
BC21AC63∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝.
AB222AB222
6．(教材P64练习T1变式)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶c＝2∶3，求sinA和sinB的值． 解：在Rt△ABC中， ∠C＝90°，a∶c＝2∶3. 设a＝2k，c＝3k(k>0)， ∴b＝c2－a2＝5k. a2k2
∴sinA＝＝＝，
c3k3b5k5sinB＝＝＝.
c3k3
知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长
37．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝(D)
5
A．4 B．6 C．8 D．10 4
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝15，求△ABC的周长．
5解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC4AB＝15，sinA＝＝，
AB5∴BC＝12，
AC＝AB2－BC2＝152－122＝9. ∴△ABC的周长为9＋12＋15＝36.
3． 2第1页/共33页
易错点 点的位置不确定
252139．已知，正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点．若DP＝1，则sin∠BPC的值是或 .
51302 中档题
10．(教材P65练习T2变式)将Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(A)
A．不变
1
B．缩小为原来的
3
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(C)
123
A. B. C. D．1 222
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值为(C)
2433A. B. C. D. 3345
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD的值为(A)
A.
52552 B. C. D. 3523
2． 214．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝6．
15．(2019·山西百校联考三)如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinC的值为16．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝5. 53
17．如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sinA＝，求DE的长和菱形ABCD的面积．
5解：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°.
DE3DE在Rt△AED中，sinA＝，即＝. AD510
解得DE＝6.
∴菱形ABCD的面积为10×6＝60(cm2)．
18．如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求sin∠OPA的值． 解：作OC⊥AB于点C. 根据垂径定理，得 AC＝BC＝4.
∴CP＝4＋2＝6(cm)． 在Rt△OAC中， OC＝52－42＝3(cm)．
在Rt△OCP中，根据勾股定理，得 OP＝CO2＋CP2＝32＋62＝35(cm)． OC35
故sin∠OPA＝＝＝.
PO355
03 综合题
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点
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F处，连接FC，则sin∠ECF＝(D)
A.34 B.43 C.345 D.5
第2课时 锐角三角函数
01 基础题 知识点1 余弦 1．(2019·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)
A.35 B.434
5 C.4 D.3 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23
，则BC的长为(A)
A．4 B．25 C.181313 D.121313
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(D)
A.34 B.43 C.35 D.45
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB＝10，cosA＝35.
知识点2 正切
5．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是(C)
A.
5
5
B.5 C.1
2
D．2 6．(2019·广州)如图，旗杆高AB＝8 m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16 m，则tanC＝12．
7．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为115. 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.若BC＝2，AB＝3，求tan∠BCD. 解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠A＋∠ACD＝90°.
又∵∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠A.
在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝32－22＝5. ∴tanA＝BC225AC＝5＝5.
∴tan∠BCD＝tanA＝25
5
.
知识点3 锐角三角函数
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(A)
A．sinA＝1213 B．cosA＝1213 C．tanA＝512 10．(2019·滨州)在△ABC中，∠C＝90°.若tanA＝1252，则sinB＝5．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24.
(1)求AB的长；
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D．tanB＝12
5
(2)求sinA，cosA，tanA的值． 解：(1)由勾股定理，得
AB＝AC2＋BC2＝72＋242＝25. BC24AC7
(2)sinA＝＝，cosA＝＝，
AB25AB25tanA＝
BC24＝. AC7
02 中档题
12．(教材P69习题T6变式)如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(C)
BDBCA. B. BCABADCDC. D. ACAC
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是(D)
1
A. B．3 3C.2
D．22 4
14．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点，P是弧上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(C)
A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα) C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα)
15．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为(D)
A.3 B.
5 5
25C. D．2
5116．如图，∠1的正切值等于．
317．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.如果AD＝1，那么tan∠BCD＝2－1．
3
18．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
2解：在Rt△ACD中， 3
CD＝6，tanA＝，
2∴
CD63＝＝， ADAD2
即AD＝4.
又∵AB＝12，∴BD＝AB－AD＝8. 在Rt△BCD中，BC＝CD2＋BD2＝10. CD63BD84
∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝. BC105BC105
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347
∴sinB＋cosB＝＋＝. 555
03 综合题 19．(2019·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是(B)
A．2 B．3 C．4 D．5 20．(2019·山西百校联考二)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF5＋1沿EF所在直线折叠得到△EB′F′，连接B′D，则当B′D取得最小值时，tan∠BEF的值为第3课时 特殊角的锐角三角函数值
01 基础题
知识点1 特殊角的锐角三角函数值 1．tan60°的值等于(D)
A. 12 B.33
3 C.2 D.3 2．(2019·天津)cos30°的值等于(B)
A.
23
2 B.2
C．1 D.3 3．(2019·白银)计算：2sin30°＋(－1)2 018－(1
2)－1＝0．
4．计算：tan45°＋2cos45°＝2. 5．在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝1. 6．计算： (1)sin30°＋cos45°； 解：原式＝121＋22＋2＝2
.
(2)cos30°·tan30°－tan45°； 解：原式＝
3311
2×3－1＝2－1＝－2. (3)sin260°＋cos260°； 解：原式＝(32)2＋(12
)2
＝1. (4)
2
2
sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22322＋6
2×2＋2×2＝4
. 知识点2 由锐角三角函数值求特殊角
7．在△ABC中，若|sinA－12|＋(cosB－1
2
)2＝0，则∠C的度数是(D)
A．30° B．45° C．60° D．90° 8．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝
2
2
，那么下列最确切的结论是(C) A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形
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2．
D．△ABC是锐角三角形
9．满足tanα＝1的锐角α的度数是45°． 知识点3 用计算器计算锐角三角函数值
10．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)
A.2 × cos5 5 ＝
B. 2 cos 5 5 0 ＝
C. 2 cos 5 5 ＝
D.2 5 5 cos ＝
11.已知sinA＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数)
12．利用计算器求∠A＝18°36′的三个锐角三角函数值．(结果保留四位小数) 解：sinA＝sin18°36′≈0.319 0， cosA＝cos18°36′≈0.947 8， tanA＝tan18°36′≈0.336 5. 02 中档题
13．下列各数中为无理数的是(C)
A．－1 B．3.14 C．cos30° D．0 14．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)
A．40° B．30° C．20° D．10° 15．式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)
A．23－2 B．0 C．23 D．2
16．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C)
A．(2，1) B．(1，2) C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)
17．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tanA的值为(A)
A.3 B.332
C. D. 322
A118．(2019·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin＝．
2219．正比例函数y＝20．计算：
(1)8×sin45°－2 0170＋2－1；
3
x的图象与x轴的夹角为α，则α＝30°． 3
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解：原式＝22×1
＝2－1＋ 23＝. 2
21－1＋ 22
1
(2)|－3|＋2sin45°＋tan60°－(－)－1－12＋(π－3)0.
32解：原式＝3＋2×＋3－(－3)－23＋1
2＝3＋1＋3＋3－23＋1 ＝5.
21．已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3＝0的一个根，求2sin2α＋cos2α－3tan(α＋15°)的值． 解：解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3. ∵tanα＞0，∴tanα＝1.∴α＝45°. ∴2sin2α＋cos2α－3tan(α＋15°) ＝2sin245°＋cos245°－3tan(45°＋15°) ＝2sin245°＋cos245°－3tan60° ＝2×(222
)＋()2－3×3 22
3＝－.
2
03 综合题
22．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan 15°的值．(结果保留根号，提示：
2－31
＝＝2－3) 2＋3（2＋3）（2－3）
解：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°， ∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝15°. ∴AD＝DB.
设BC＝x，在Rt△BDC中，∵∠BDC＝30°， ∴DB＝2BC＝2x，DC＝BD2－BC2＝3x. ∴AD＝BD＝2x，AC＝AD＋DC＝(2＋3)x. BCx在Rt△ABC中，tan15°＝＝＝2－3. AC（2＋3）x
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山西常考题型专题(七) 求锐角三角函数值的常用方法
山西中考注重考查构造直角三角形求锐角三角函数，如2019T10.
类型1 构造直角三角形
若要求的三角函数值的角不在直角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决． 1．(2019·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)
2551
A. 2 B. C. D.
5522．在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于(A)
A.
5531
B. C. D. 5222
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D
为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是(B)
A.
3333 B. C. D. 12632
4．(2019·山西信息冲刺卷)如图是由一个角为60°且边长为1的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点A，23B，C都在格点上，则tan∠BAC＝．
35．(2019·贵港)如图，点P 在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°3得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为．
5类型2 等角转换法
若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值． 6．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处．若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则tanB′的值为(B)
1112A. B. C. D. 2344
7．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝(D)
1343A. B. C. D. 2455
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕．若1AE＝3，则sin∠BFD的值为．
39．(2019·温州)如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上． (1)求证：AE＝AB；
1
(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．
3解：(1)由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， ∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC. ∵∠ABD＝∠AED， ∴∠ABD＝∠ACD. ∴AB＝AC.∴AE＝AB.
(2)过点A作AH⊥BE于点H， ∵AB＝AE，BE＝2， ∴BH＝EH＝1.
1
∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，
31BH1
∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝.∴＝. 3AB3
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∴AC＝AB＝3. ∵∠BAC＝90°， ∴BC＝32.
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28.2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形
01 基础题
知识点1 已知两边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(C)
A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出 C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出 2．(2019·日照)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(B)
512512
A. B. C. D. 13131253．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝202，则∠A＝45°，∠B＝45°，b＝20．
4．(教材P73例1变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝26，AC＝62，解此直角三角形． BC263解：∵tanA＝＝＝，
AC623
∴∠A＝30°. ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°， AB＝2BC＝46.
知识点2 已知一边和一锐角(或锐角的三角函数值)解直角三角形 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为(B)
A．10tan50° B．10cos50°
C．10sin50° D.
10
cos50°
6．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为(B)
A．4.5 cm2 B．93 cm2 C．183 cm2 D．36 cm2
157．(2019·广州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝17．
8
8．(教材P73例2变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°，解这个直角三角形． 解：∵∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°. a∵sinA＝，
c
3
∴a＝c·sinA＝83×sin60°＝83×＝12.
21
∴b＝c＝43.
2
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位) 解：∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°. AC∵tanB＝，
BC
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∴BC＝
AC4
＝≈2.8. tanBtan55°
AC
∵sinB＝，
AB∴AB＝
AC4
＝≈4.9. sinBsin55°
易错点 忽视钝角三角形而漏解
10．在△ABC中，AB＝23，AC＝2, ∠B＝30°，则∠C＝60°或120°，BC＝2或4． 02 中档题
11．在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cosB＝
2
，则BC边长为(D) 2
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
1
12．(2019·湖州)如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是2．
3213．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE＝9，BC＝12，则cosC＝．
314．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝6，则AE＝2．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝102，AB＝20.求∠A的度数． 解：在Rt△BDC中， BC∵sin∠BDC＝，
BD
∴BC＝BD·sin∠BDC＝102×sin45°＝10. 在Rt△ABC中，∵sinA＝
BC101
＝＝， AB202
∴∠A＝30°.
16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.求： (1)sinC；
(2)AC边上的高BD.
解：(1)作AE⊥BC交BC于点E. ∵AB＝AC，∴BE＝EC＝3.
在Rt△AEC中，AE＝92－32＝62， AE6222
∴sinC＝＝＝.
AC93BD
(2)在Rt△BDC中，sinC＝，
BC∴
BD22＝.∴BD＝42. 63
17．阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A(∠A＜45°)，∠C＝90°，AB＝1，请用sinA，cosA表示sin2A. 解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于点D，
11
则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝AC·sinA，AC＝AB·cosA＝cosA.
22
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CDAC·sinA
在Rt△CED中，sin2A＝sin∠CED＝＝＝2AC·sinA＝2cosAsinA.
CE1
2根据以上阅读，请解决下列问题： (1)如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sinA，sin2A的值； (2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A. 解：(1)在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝1，∠C＝90°， ∴AC＝AB2－BC2＝22. BC122∴sinA＝＝，cosA＝.
AB3342
∴sinA＝2cosAsinA＝.
9
1
AC·cosA－
2DE
(2)cos2A＝cos∠CED＝＝＝2AC·cosA－1＝2cos2A－1.
EC1
2
周周练(28.1～28.2.1)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC中，∠C＝90°，则下列等式成立的是(B)
ACBC
A．sinA＝ B．sinA＝ ABABACBC
C．sinA＝ D．sinA＝ BCAC
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝2，AC＝1，则tanA的值为(D)
133
A. B. C. D.3 2233．计算sin245°＋cos30°tan60°，其结果是(A)
55A．2 B．1 C. D.
24
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，下列结论成立的是(C)
125
A．sinA＝ B．cosA＝ 513512
C．tanA＝ D．cosB＝ 1213
4
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果cosA＝，那么tanA的值为(C)
5
3534A. B. C. D. 534326．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是(A)
3
4
A.5 B．3 C. D.13
3
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.若BD∶CD＝3∶2，则tanB的值为(D)
32
A. B. 23C.66 D. 23
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8．在△ABC中，若sinA＝cosB＝
3
，则△ABC是(C) 2
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5
9．如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD＝13 cm, cosB＝，则AC的长等于(D)
13
A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
10．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα－cosα＝(D)
55A. B．－ 131377C. D．－ 1313二、填空题(每小题3分，共15分) 11．计算：(π－3.14)0＋tan60°＝1＋3．
112．如图，将∠AOB放在由边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．
2313．如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，则tanα＝．
414．如果等腰三角形的三边长分别为1，1，3，那么它的一个底角为30°．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处．若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为10． 10第13页/共33页
三、解答题(共45分) 16．(10分)计算： cos45°(1)－tan45°； sin45°22
解：原式＝－1
22＝1－1 ＝0.
(2)(－1)2 019＋2sin60°＋(π－3.14)0＋|－3|. 3
解：原式＝－1＋2×＋1＋3 2＝－1＋3＋1＋3 ＝23. 3
17．(10分)如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．
4解：过点C作CD⊥AB交AB于点D. ∵∠B＝30°，BC＝12， ∴CD＝6.
在Rt△BDC中，BD＝BC2－CD2＝63. CD3
∵tanA＝＝，∴AD＝8.
AD4∴AB＝AD＋BD＝8＋63.
在Rt△ADC中，AC＝AD2＋DC2＝10.
18．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA3
＝.求： 5
(1)DE，CD的长； (2)tan∠DBC的值． 3
解：∵DE⊥AB，cosA＝，
5∴AE3＝. AD5
又∵AE＝6，∴AD＝10，∴DE＝8.
又∵BD平分∠ABC，∠C＝∠DEB＝90°， ∴CD＝DE＝8，即DE＝8，CD＝8. (2)由(1)知AC＝AD＋DC＝10＋8＝18， AC3183
cosA＝＝，∴＝，解得AB＝30.
AB5AB5∴BE＝AB－AE＝30－6＝24.
在Rt△BCD和Rt△BED中，
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BD＝BD， CD＝DE，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)． ∴BC＝BE＝24.
CD81
∴tan∠DBC＝＝＝.
BC243
19．(13分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
33
(2)若EB＝，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．
25解：(1)证明：连接OD，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD. ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB. ∵DE⊥AB，∴OD⊥EF. 又∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线．
(2)在Rt△ODF中，sin∠OFD＝设OD＝3x(x>0)，则OF＝5x， ∴AB＝AC＝6x，AF＝8x. 在Rt△AEF中，∵sin∠AFE＝324
∴AE＝×8x＝x. 55
243
∵BE＝AB－AE，∴6x－x＝. 52
5245515
解得x＝.∴AE＝×＝6，OD＝3×＝，
4544415
即⊙O的半径为，线段AE的长为6.
4
AE3＝， AF5OD3＝， OF5
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28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题
01 基础题
知识点1 利用解直角三角形解决简单问题 1．(2019·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于(C)
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 3
2．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC＝3米，cos∠BAC＝，则梯子AB的长度为4米．
43．如图，身高1.6 m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树高为(其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)(23＋1.6)m．
4．如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP＝α，地球半径R为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP＝－R．
sinα5．(2019·台州)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84) 解：过点A作AC⊥OB于点C， 在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米， ∴AC＝sin∠AOC·AO≈0.64×1.2＝0.768(米)．
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙． 知识点2 利用视角解直角三角形 6．(2019·山西)如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为(A)
A．1003 m B．502 m C．503 m 1003D. m
3
7．(2019·天津)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数，参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)． 解：作AE⊥CD交CD的延长线于点E.则四边形ABCE是矩形， ∴AE＝BC＝78，AB＝CE. 在Rt△ACE中，
EC＝AE·tan58°≈125(m)． 在Rt△AED中，DE＝AE·tan48°， ∴CD＝EC－DE＝AE·tan58°－AE·tan48°＝78×1.6－78×1.11≈38(m)． 答：甲、乙建筑物的高度AB为125 m，DC为38 m. 02 中档题 8．(2019·凉山)无人机在A处测得正前方河流两岸B，C的俯角分别为α＝70°，β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为(A)
A．h(tan50°－tan20°) B．h(tan50°＋tan20°)
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11
C．h(－) tan70°tan40°D．h(
11
＋ tan70°tan40°
9．(2019·黄石)如图，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别为60°，45°，如果无人机距地面高度CD为1003米，点A，D，B在同一水平直线上，那么A，B两点间的距离是100(1＋3)米．(结果保留根号) 10．(2019·山西省适应性考试)如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4 m．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°.求树高AB.(结果保留根号)
解：过点D作DE⊥AB于点E，
设BE＝x，则BA＝x＋4，B′E＝x＋8. ∵∠EDB′＝45°， ∴DE＝B′E＝x＋8. ∵∠BDE＝30°， BEx3∴tan30°＝＝＝，解得x＝4＋43. DEx＋83∴AB＝(8＋43)m.
11．(2019·内江)如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα3
＝6，tanβ＝.求灯杆AB的长度．
4
x3
解：过点B作BF⊥DE于点F，过点A作AG⊥BF于点G.设AB＝x，由题意得BG＝，AG＝x.
22xBFBF
∴BF＝＋11，DF＝，EF＝. 2tanαtanβxx
＋11＋1122
∵DE＝18，∴＋＝18.
63
4
∴x＝2.
答：灯杆AB的长度为2米． 12．(2019·晋中模拟)如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1 m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为1.78 m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20 m时，安装起来比较方便． (1)求每条踏板间的垂直高度；
(2)请问他站立在梯子的第几级踏板上安装比较方便？，请你通过计算判断说明． (参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70) 解：(1)过点A作AE⊥BC于点E. ∵AB＝AC，AE⊥BC于点E， 1
∴CE＝BC＝0.5.
2
AE
在Rt△AEC中，∵tan78°＝，
EC∴AE＝EC·tan78°≈0.5×4.70＝2.35.
47
∴每条踏板间的垂直高度为2.35÷7＝(m)．
140
(2)设他站立在梯子的第n级踏板上安装比较方便，此时他的头顶距天花板h m.
第17页/共33页
4747
由题意，得h＝2.9－1.78－n＝1.12－n，
140140∵0.05≤h≤0.2， 47
∴0.05≤1.12－n≤0.2.
140
解得2.74≤n≤3.19. ∵n为整数， ∴n＝3.
答：他站立在梯子的第3级踏板上安装比较方便．
第2课时 与方位角有关的解直角三角形应用题
01 基础题
知识点 与方位角有关的应用问题
1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(A)
500
A．250米 B．2503米 C.3米 D．5002米
3
2．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是103米．(结果保留根号)
3．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)
4．如图，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°.求A，B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93) 解：由题意，得AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°. 在Rt△ABC中，∵∠A＝90°， ∴AB＝AC·tan∠ACB≈36×0.93≈33.5(海里)， 答A，B两岛之间的距离约为33.5海里．
5．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短． (1)请在图中作出该船在点B处的位置；
(2)求钓鱼岛C到B处的距离．(结果保留根号) 解：(1)如图所示． (2)AB＝30×0.5＝15(海里)， 由题意知CB⊥AB，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， BCtan∠BAC＝，
AB
3
∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30°＝15×＝53(海里)．
3答：钓鱼岛C到B处的距离为53海里．
6．(教材P77练习T1变式)(2019·成都)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2019年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
第18页/共33页
解：由题意可知：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里． CD
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD≈80×0.34＝27.2(海里)．
ACBD
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，
CD
∴BD≈27.2×0.75＝20.4(海里)．
答：还需要航行的距离BD的长为20.4海里． 02 中档题 7．(2019·山西百校联考一)如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56 n mile的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4 h小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A)
A．72 n mile/h B．73 n mile/h C．76 n mile/h D．282 n mile/h
8．南海是我国的南大门．如图，某天我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只．问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414) 解：过点B作BD⊥AC，垂足为D. 由题意知∠BAD＝45°，∠DBC＝75°. 在△ABD中，AD＝AB·cos45°＝∴BD＝AD＝102海里．
在△BCD中，DC＝BD·tan75°≈53海里． ∴AC＝AD＋CD≈67海里．
答：海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．
9．如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两艘船均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57)
(1)求船P到海岸线MN的距离；(精确到0.1海里)
(2)若船A，船B分别以20海里/时，15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．
解：(1)过点P作PD⊥AB于点D. 由题意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP＝30， PD
在Rt△ADP中，sin∠PAD＝，得
AP
PD＝AP·sin∠PAD＝30×sin32°≈15.9.
答：船P到海岸线MN的距离约为15.9海里． PD
(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD＝，
BPPD15.9
∴BP＝＝≈19.4.
sin∠PBDsin55°
2×20＝102(海里)， 2
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30
A船需要的时间为＝1.5(小时)，
2019.4
B船需要的时间为≈1.3(小时)．
15
∵1.5＞1.3，
∴船B先到达船P处． 03 综合题 10．(2019·青岛)某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840 m，BC＝500 m．请求出点24724O到BC的距离．(参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈)
25257解：由O点向BC，AC作垂线，垂足为D，E.则四边形OECD为矩形．
设OD长为x，则AE＝AC－EC＝840－x. 在Rt△ODB中， ∠ODB＝90°， OD∵tan∠OBD＝，
BDOD7
∴BD＝＝x.
tan∠OBD247
∴CD＝500－x.
24
又∵∠OAC＝45°，∠OEA＝90°， ∴OE＝AE＝840－x. 7
∴840－x＝500－x. 24
解得x＝480.
答：点O到BC的距离为480米．
第3课时 与坡度、坡角有关的解直角三角形应用题
01 基础题
知识点 与坡度、坡角有关的应用问题 1．(2019·晋中期末)如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡的坡度为(A)
512
A. B. 1213513C. D. 1312
2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是(C)
11A．sinα＝ B．cosα＝ 661
C．tanα＝ D．以上都不对
6
3．(2019·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.18米．(结果保留两位小数，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)
4．如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，小辰上升了100米． 5．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为30°．
6．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长． 解：在Rt△ADC中，
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∵AD∶DC＝1∶2.4，AC＝13， 由AD2＋DC2＝AC2，得 AD2＋(2.4AD)2＝132. ∴AD＝±5(负值不合题意，舍去)． ∴DC＝12.
在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8， ∴BD＝5×1.8＝9.
∴BC＝DC－BD＝12－9＝3.
答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米．
7．数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC为38.7°，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1∶0.6，请你求出仙女峰的高度．(参考数据：tan38.7°≈0.8)
解：过点B作BD⊥AC交延长线于点D， ∵山坡BC的坡度为1∶0.6， ∴
BD1＝. CD0.6
则CD＝0.6BD. ∵∠BAC＝38.7°，
BDBD
∴tan38.7°＝＝. ADAC＋CD∵AC＝377米，tan38.7°≈0.8，
BD∴≈0.8. 377＋0.6BD
解得BD＝580.
答：仙女峰的高度约为580米． 8．(2019·太原二模)如图是一座人行天桥的示意图，CB⊥DB，天桥的高度CB为4.5米，斜坡AC的坡角为45°，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定拆除原斜坡，使新建斜坡DC的坡度i＝1∶1.8.若D处的左侧需留3米宽的人行道，问距A处7米的建筑物M是否需要拆除？(点B，A，D，M在同一直线上) 解：∵CB⊥DB，∠BAC＝45°， ∴AB＝BC＝4.5.
∵BC∶BD＝1∶1.8， ∴BD＝8.1. ∴AD＝3.6. ∵3＋3.6＜7，
∴距A处7米的建筑物M不需要拆除． 02 中档题
9．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是35m. 10．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)米，小军和小明同学分别从A处和B处向山顶匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为
2
米/秒．若小明与小军同时到达山顶C2
处，则小明的行走速度是多少？
解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米，小明的行走速度为v米/秒， CDCD
则AC＝＝2x，BC＝＝2x.
sin45°sin30°∵小明与小军同时到达山顶C处，
第21页/共33页
∴
ACBC2x2x＝，即＝. v2v2
22
又∵x≠0，∴v＝1.
答：小明的行走速度是1米/秒． 11．(2019·黄冈)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上． (1)求坡底C点到大楼距离AC的值； (2)求斜坡CD的长度． 解：(1)∵∠BCA＝60°，AB＝60， ∴AC＝
AB
＝203. tan60°
答：AC为203米． (2)设CD＝x， ∵∠DCE＝30°， x3∴DE＝，CE＝x.
22∵∠BDF＝45°，∴BF＝DF.
即AB－AF＝AC＋CE. x3∴60－＝203＋x. 22解得x＝803－120.
答：斜坡CD的长为(803－120)米．
12．(2019·太原二模)如图是某旅游景点的一处台阶，其中台阶坡面AB和BC的长均为6 m，AB部分的坡角∠BAD
为45°，BC部分的坡角∠CBE为30°，其中BD⊥AD，CE⊥BE，垂足为D，E，现在要将此台阶改造为直接从A至C的台阶，如果改造后每层台阶的高为22 cm，那么改造后的台阶有多少层？(最后一个台阶的高超过15 cm且不足22 cm时，按一个台阶计算，可有用到的数据：2≈1.414，3≈1.732) 解：延长CE交AD的延长线于点F，则DF⊥FE. ∵BD⊥AD，CE⊥BE，
∴∠BDF＝∠DFE＝∠FEB＝90°. ∴四边形EBDF为矩形． ∴EF＝BD.
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°. BD∴sin∠BAD＝. AB
2
∴BD＝6×sin45°＝6×＝32. 2
CE
在Rt△CBE中，∠CEB＝90°，∴sin∠CBE＝. BC1
∴CE＝6×sin30°＝6×＝3.
2∴EF＝BD＝32.
∴CF＝CE＋EF＝(3＋32)m.
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(3＋32)m≈7.242 m＝724.2 cm.
724．2÷22＝32……20.2. ∵15＜20.2＜22，
∴改造后的台阶层数为(32＋1)层，即33层．
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山西高频题型专题(八) 解直角三角形的实际应用
1．(2019·山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为15.3米(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.809 0，cos54°≈0.587 8，tan54°≈1.376 4)．
2．如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好．此时，路灯的灯柱AB高应该设计为(103－4)米. (结果保留根号)
3．(2019·太原一模)太极揉推器是一种常见的健身器材，基本结构包括支架和转盘，数学兴趣小组的同学对某太极揉推器的部分数据进行了测量：如图，立柱AB的长为125 cm，支架CD, CE的长分别为60 cm，40 cm，支点C到立柱顶点B的距离为25 cm，支架CD，CE与立柱AB的夹角∠BCD＝∠BCE＝45°，转盘的直径FG ＝ MN ＝ 60 cm，D，E分别是FG, MN的中点，且CD⊥FG，CE⊥MN.则两个转盘的最低点F，N距离地面的高度差为102cm.(结果保留根号) 4．(2019·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4 m．当起重臂AC长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53) 解：过点A作BD的平行线，过点C作BD的垂线，交点为点E，F. ∵∠HAC＝118°，∠HAE＝90°， ∴∠CAE＝28°.
∵AC＝9 m，∴CE＝AC·sin28°≈4.2 m. ∴CF＝CE＋EF＝4.2＋3.4＝7.6(m)． 答：操作平台C离地面的高度为7.6 m.
5．如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到1 cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73) 解：在Rt△ACO中，sin75°＝解得OC≈38.8.
OC38.81.73在Rt△BCO中，tan30°＝＝≈，
BCBC3
解得BC≈67.
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67 cm. 6．(2019·常德)如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．(精确到0.01米，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)
图1 图2 解：延长FE交CB的延长线于点M，过A作AG⊥FM于点G， AB
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
BC∴AB＝BC·tan75°≈0.60×3.732＝2.239 2. ∴GM＝AB＝2.239 2. 在Rt△AGF中，
FG
∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
AF
OCOC
＝≈0.97， OA40
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∴sin60°＝
FG3
＝.∴FG≈2.165. 2.502
∴DM＝FG＋GM－DF≈3.05.
答：篮筐D到地面的距离是3.05米． 7．(2019·绍兴)如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD＝40 cm. (1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数； (2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离．(精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732，6≈2.449) 图1 图2 图3 解：(1)延长DE交MN于点F，∵AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm， ∴四边形ACDE是平行四边形． ∴AC∥DE.∴∠DFB＝∠CAB. ∵∠CAB＝85°，∴∠DFB＝85°. (2)过C点作CG⊥AB于点G， ∵AC＝20，∠CGA＝90°，∠CAB＝60°， ∴CG＝103，AG＝10.
∵BD＝40，CD＝10，∴CB＝30. ∴BG＝302－（103）2＝106. ∴AB＝AG＋BG＝10＋106≈10＋10×2.449＝34.49≈34.5(cm)．
答：A，B之间的距离为34.5 cm. 8．(2019·岳阳)图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.
(1)求点M到地面的距离；
(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.73，结果精确到0.01米) 解：(1)过点M作MN⊥AB于点N，交BA的延长线于点N. 在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2， ∴∠M＝30°. 1
∴ON＝OM＝0.6.
2
∴NB＝ON＋OB＝3.3＋0.6＝3.9(米)． 答：点M到地面的距离是3.9米．
(2)在线段CB上取CE＝0.65，EH＝2.55， ∴HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7.
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于点P. ∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝∴GP＝
GP3
＝. OP3
31.73×0.7OP＝≈0.404. 33
∴GH＝3.3＋0.404＝3.704≈3.70＞3.5.
∴货车能安全通过． 9．(2019·山西一模)山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称．如图1是绵
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山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i＝1∶3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．(测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，2≈1.4，3≈1.7，10≈3.2) 图1 图2 解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F. ∵i＝1∶3，AP＝10，
设PE＝x米，则AE＝3x米． 在Rt△AEP中，x2＋(3x)2＝102， 解得x＝10或x＝－10(舍去)． ∴PE＝10米，则AE＝310米． ∵∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF.
设CF＝PF＝m米，则OC＝(m＋10)米，OA＝(m－310)米． OCm＋10在Rt△AOC中，tan75°＝＝，
OAm－310即m＋10＝tan75°·(m－310)．
解得m≈14.3.∴OC＝14.3＋10≈17.5(米)．
答：塑像的高度约为17.5米．
山西常考题型专题(九) 项目学习：利用三角函数测高
——2019山西中考T19的变式与应用
1.(2019·吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度．
数学活动方案
活动时间：2019年4月2日 活动地点：学校操场
填表人：林平
课题 活动 目的 测量学校旗杆的高度 运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示 意图 计算 过程 测量 步骤 (1)用测角仪测得∠ADE＝α； (2)用皮尺测得BC＝a米，CD＝b米. 解：计算过程：∵四边形BCDE是矩形， ∴DE＝BC＝a，BE＝CD＝b.
在Rt△ADE中，AE＝ED·tanα＝a·tanα， ∴AB＝AE＋EB＝a·tanα＋b.
2．某校“我爱应用数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆AC的高度”，下表是该课题小组成员在课外实践活动中的部分记录内容：
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课题 测量学校旗杆AC的高度 图示 小明：我站在远处EG处从点E看旗杆顶端点A，测得∠AEB＝30°. 小明：我从EG位置向旗杆方向前进12米到F，从点D看旗杆顶端点A，测 得∠ADB＝60°. 8小明：我的目高DF＝EG＝米. 5发言 记录 (1)设AB的长为x米，分别求BD，BE的长；(分别用含x的代数式表示) (2)将(1)中求出的结果代入等式BE－BD＝12中，求出x的值； (3)求出旗杆AC的高度．
解：(1)在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∠ABD＝90°，AB＝x， ∴BD＝AB·tan30°＝
3
x. 3
在Rt△ABE中，BE＝AB·tan60°＝3x. (2)∵BE－BD＝12， ∴3x－
3
x＝12. 3
解得x＝63.
8
(3)旗杆AC的高度为AB＋BC＝(63＋)米．
5
3．(2019·山西)祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把 “测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实验测量．测量结果如下表． 项目 课题 测 量 示 意 图 测量 数据 ∠A的度数 38° 内容 测量斜拉索顶端到桥面的距离 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖 直平面内. AB的长度 234米 ∠B的度数 28° .... ... ... ... (1)请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离； (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可)．(参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5) 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D.
设CD＝x米，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝38°. CDCDx5∵tan38°＝，∴AD＝≈＝x. ADtan38°0.84在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠B＝28°.
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CDCDx
∵tan28°＝，∴BD＝≈＝2x.
BDtan28°0.5
5
∵AD＋BD＝AB＝234，∴x＋2x＝234，解得x＝72.
4
答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．
(2)答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具、计算过程、人员分工、指导教师、活动感受等．
章末复习(三) 锐角三角函数
01 山西中考考点结构
本章知识在山西中考中以选择、填空、解答的形式出现，求锐角三角函数的值通常在选择题中设置，常常需要自己构建直角三角形，如2019T10；解直角三角形的实际应用主要以解答题的形式考查，根据实际情况建立数学模型，构建直角三角形，如2019T19、2019T14、2019T21、2019T21、2019T10. 02 山西中考分点突破
知识点1 利用定义求锐角三角函数值(山西中考2019选T10) 1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B所对的两条直角边，c是斜边，则下列选项中正确的是(D)
cb
A．sinA＝ B．cosB＝
acba
C．tanA＝ D．tanA＝
ab
2．(2019·德州)如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是5． 5知识点2 特殊角的三角函数值
3．若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(C)
1133A. B. C. D. 32324．在△ABC中，若cosA＝
2
，tanB＝3，则这个三角形一定是(D) 2
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 15．计算：2sin30°－sin245°＋tan60°＝＋3．
2知识点3 解直角三角形
6．如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝
3
，则边BC的长为(C) 3
A．303 cm B．203 cm C．103 cm D．53 cm 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，b＝1，则a＝3，∠B＝30°．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝52°，c＝14 ，解直角三角形．(结果精确到0.1，参考数据： sin52°≈0.788 0，cos52°≈0.615 7，tan52°≈1.279 9) 解：∠A＝90°－∠B＝90°－52°＝38°. AC＝c·sinB＝14×sin52°≈14×0.788 0≈11.0. BC＝c·cosB＝14×cos52°≈14×0.615 7≈8.6.
知识点4 解直角三角形的实际应用(山西中考2019解T19，2019填T14，2019解T21，2019解T21，2019选T10) 12
9．(2019·温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是(A)
13A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
10．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm
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5
长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是(B)
2
A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cm
11．今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1 040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°.已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求B点的海拔； (2)求斜坡AB的坡度．
解：(1)过点C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E，D为垂足． ∵在C点测得B点的俯角为30°， ∴∠CBD＝30°. 又∵BC＝400米， ∴CD＝400×sin30°＝400×0.5＝200(米)． ∴B点的海拔为721－200＝521(米)． (2)∵BE＝DF＝521－121＝400(米)， 又∵AB＝1 040米，
∴AE＝AB2－BE2＝960(米)． ∴斜坡AB的坡度为400∶960＝1∶2.4. 易错题集训
12．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)·(2sinA－3)＝0，则△ABC一定是(D)
A．等腰三角形
B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
313．已知等腰三角形两条边的长分别是3，7，底角为α，则cosα＝．
143
14．已知在△ABC中，tanA＝，AB＝5，BC＝4，那么AC的长等于4＋7或4－7．
403 山西中考题型演练
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠A的正切值是(A)
2551
A．2 B. C. D. 552
1
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径是4，sinB＝，则线段AC的长为2．
417．(2019·孝义市二模)如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40 cm(支架的宽度忽略不计)，四边形BQCP，DMEQ，FNGM是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B＝∠D＝∠F＝80°，这时A端到墙壁的距离约为102.88cm.(sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839)
ab
18．(教材P85复习题T14变式)(2019·贵阳)如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
sinAsinBab
∵sinA＝，sinB＝，
ccab
∴c＝，c＝. sinAsinB∴
ab＝. sinAsinB
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abc
根据你掌握的三角函数知识，在图2的锐角△ABC中，探究，，之间的关系，并写出探究过程．
sinAsinBsinCabc解：＝＝.
sinAsinBsinC
过点B作BM⊥AC于点M，设BM＝h. hh
∴sinA＝，sinC＝. ca∴即
aaccac＝，＝. sinAhsinChac＝. sinAsinC
ab
同理，过点C作AB上的高可以求得＝.
sinAsinB∴
abc＝＝. sinAsinBsinC
19．(2019·孝义市一模)如图所示，在斜坡BC的坡角处有一栋甲楼，在斜坡BC的坡顶处有一栋乙楼，“实践小组”的同学们在甲楼的顶端A处，测得乙楼底部C的俯角为10°，乙楼顶端D的仰角为38°，后来又测得斜坡BC的长度为20米，坡度为1∶3(坡度指斜坡的铅直高度和水平宽度的比)．请根据以上数据，求出乙楼的高度CD.(结果精确到0.1米，参考数据：sin10°≈0.17; cos10°≈0.98；tan10°≈0.18; sin38°≈0.62；cos38°≈0.79; tan38°≈0.78；10≈3.2) 解：过点C作CG⊥AB，垂足为G.过点A作AH⊥CD，垂足为H， ∵斜坡BC的坡度为1∶3，BC＝20米， ∴设BG＝x米，则CG＝3x米． 在Rt△BGC中，根据勾股定理，得 x2＋(3x)2＝202.解得x＝210. ∴CG＝3x＝610.∴AH＝CG＝610. 在Rt△AHC中，根据tan∠HAC＝得CH＝AH·tan∠HAC≈3.42米， DH在Rt△ADH中，根据tan∠DAH＝，
AH
得DH＝AH·tan∠DAH≈14.80米，
∴DC＝DH＋HC＝14.80＋3.42≈18.2(米)． 答：乙楼的高度为约18.2米． 20．(2019·山西)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．(结果保留根号) 解：过A作AG⊥CD，垂足为G.
1
则∠CAG＝30°.在Rt△ACG中，CG＝AC·sin30°＝50×＝25.
2由题意，得GD＝50－30＝20. ∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45.
连接FD并延长与BA的延长线交于点H，则∠H＝30°. CD在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90.
sin30°
CH， AH
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∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290. 在Rt△EFH中，
32903
EF＝EH·tan30°＝290×＝. 33
2903
答：支撑角钢CD和EF的长度分别是45 cm， cm.
3
04 核心素养专练 21．(2019·山西模拟)[关注地域文化]据史料记载，孟母仉氏，山西太谷县范村镇东西仉村人，孟母教子有方，“孟母三迁”、“断织喻学”、“教子明礼”、“厉子行道”的典故，不仅成就了孟子一代“亚圣”，也使孟母成为名垂千秋的中国贤母典范，2019年5月17日，一尊巨型孟母铜像在我省太谷县新建的孟母文化广场落成，小周同学为了测得孟母铜像的高度，现场进行了测量，并绘制了如图的铜像侧面截面图，已知AB＝43.46米，BC＝2米，∠A＝30°，∠B＝∠E＝90°，∠DCE＝60°，DE与地面垂直，请求出代表铜像高度的线段DE的长．(结果精确到0.1，2≈1.41，3≈1.73)
解：延长EC交AD于点F，作FG⊥AB于点G.则四边形FGBC是矩形， ∴FG＝BC＝2，CF＝BG， 在Rt△AFG中，∠A＝30°， FG∴AG＝＝23，BG＝AB－AG＝43.46－23≈40(米)．
tan30°∵∠DCE＝∠CFD＋∠CDF，∠DFC＝∠A＝30°，∠DCE＝60°， ∴∠CFD＝∠CDF＝30°. ∴CF＝CD＝BG＝40米．
在Rt△DCE中，DE＝CD·sin60°＝203≈34.6(米)．
答：代表铜像高度的线段DE的长约为34.6米．
章末自测(三) 锐角三角函数 (时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于(C)
1233
A. B. C. D. 22232．已知α为锐角，sin(α－20°)＝
3
，则α＝(D) 2
A．20° B．40° C．60° D．80° 3．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是(D)
A.
351
B. C. D．2 332
4．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列各式成立的是(D) A．b＝a·sinB B．a＝b·cosB C．a＝b·tanB D．b＝a·tanB
5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角∠A的三角函数值(A)
A．不变 B．扩大5倍
1
C．缩小至原来的 D．不能确定
5
1
6．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA的值为(D)
3
A.
1023310 B. C. D. 103410
7．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是(B)
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5721321A. B. C. D. 141457
8．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的
高为(B)
A．3米 B．63 米 C．3 3米 D．2 3米 9．坡度等于1∶3的斜坡的坡角等于(A)
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°.若学生的身高忽略不计，结果精确到1 m，则该楼的高度CD为(B)
A．47 m B．52 m C．53 m D．54 m 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．计算：sin60°－tan30°＝3． 612．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝53，AB＝10，则∠A＝30°．
3
13.如图，在▱ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝，则▱ABCD的面积是37．
41
14．在△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD＝6，sinA＝，则S△ABC＝162．
3
15.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处．若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成(73，－7)． 三、解答题(共55分)
1
16．(8分)计算：2cos245°－（tan60°－2）2－(sin60°－1)0＋()－2.
2解：原式＝2×(
22
)－|3－2|－1＋4 2
＝1－(2－3)－1＋4 ＝3＋2.
17．(9分)如图，已知AC＝4，求AB和BC的长． 解：作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中， ∵∠A＝30°， ∴∠ACD＝90°－∠A＝60°， 1
CD＝AC＝2，
2AD＝AC·cosA＝23.
在Rt△CDB中，
∵∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45°， ∴BD＝CD＝2. ∴BC＝22.
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∴AB＝AD＋BD＝2＋23.
18．(10分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，点O为AB的中点，求端点A到底面CD的距离．(精确到0.1 m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) 解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F. ∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，
∴AE∥OD.∴∠A＝∠BOD＝70°. 在Rt△ABF中，AB＝2.7，
∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)． ∴AE＝AF＋BC＝0.918＋0.15≈1.1(m)． 答：端点A到底面CD的距离约为1.1 m.
19．(12分)某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°.已知山坡AB的坡度i＝1∶3，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．
解：过点B作BF⊥AE，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G. 在Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝∴∠BAF＝30°.
1
∴BF＝AB＝5，AF＝53. 2∴BG＝AF＋AE＝53＋15.
CG
在Rt△BGC中，∵∠CBG＝30°，tan∠CBG＝，
BG∴CG＝BG·tan30°＝5＋53.
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，AE＝15， ∴DE＝AE＝15.
∴CD＝CG＋GE－DE＝5＋53＋5－15＝(53－5)m. 答：宣传牌CD高为(53－5)米．
20.(16分)(2019·河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm，低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm.已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长．(结果精确到1 cm，参考数据：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850) CE155
解：AE＝≈≈21(cm)．
tan82.4°7.500BF＝
DF234
≈＝40(cm)．
tan80.3°5.85
13＝. 33
∴CH＝EA＋AB＋BF＝21＋90＋40＝151(cm)． 答：高、低杠间的水平距离CH的长约为151 cm.
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