函授本科数学专业(参考答案)

专业名称 函授本科数学专业

《泛函分析》考试试题A卷（120分钟）

数学 题 号 题 分 得 分 复查人 一 20 评卷人 二 20 三 20 四 20 五 20 合分 年级、班级 得 分 一、单项选择题（3分×5=15分）

1、下列各式正确的是（ C ）

nn1kn2010级 （A）limAnAk; （B）limAnAk;

nn1kn（C）limAnAk; （D）limAnAk;

nn1knnn1kn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ D ）

学 号 （A）P c (B) mP0 (C) PP (D) PP 3、下列说法不正确的是（ B ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测 （B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测

' 4、设fn(x)是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A）若fn(x)f(x), 则fn(x)f(x) (B) supfn(x)是可测函数

n（C）inffn(x)是可测函数;（D）若fn(x)f(x),则f(x)可测

n5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）

姓 名 (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D)

'baf'(x)dxf(b)f(a)

得 分 评卷人 二. 填空题(3分×5=15分) 1、(CsACsB)(A(AB))( φ )

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2、设E是0,1上有理点全体，则E=（[0，1]）,E=（φ）,E= （[0，1]）.

'o3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有（m*Tm*(TE)m*(TCE)），则称E是L可测的。

4、f(x)可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为a,b上的有限函数，如果对于a,b的一切分划，使

n（|f(xi)f(xi1)|成一有界数集。）,则称f(x)为 a,b上的有界变差函数。 i1得 分 评卷人 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立, 则举反例说明.(5分×4=20分)

1、设ER1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。

错误……………………………………………………2分

例如：设E是0,1上有理点全体，则E和CE都在0,1中稠密

………………………..5分

2、若mE0，则E一定是可数集.

错误…………………………………………………………2分

例如：设E是Cantor集，则mE0，但Ec ， 故其为不可数集

……………………….5分

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。 错误…………………………………………………………2分

x,xE;例如：设E是a,b上的不可测集，f(x)

x,xa,bE;则|f(x)|是a,b上的可测函数，但f(x)不是a,b上的可测函数………………………………………………………………..5分 4．设f(x)在可测集E上可积分，若xE,f(x)0，则f(x)0

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错误…………………………………………………………2分

mE0时，对E上任意的实函数f(x)都有f(x)dx0…5分

E四、解答题（8分×2=16分）.

x2,x为无理数1、（8分）设f(x) ，则f(x)在0,1上是否R可积，是否L可积，

1,x为有理数若可积，求出积分值。

解：1．f(x)在0,1上不是R可积的，因为f(x)仅在x1处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

因为f(x)是有界可测函数，f(x)在0,1上是L可积的…6分 因为f(x)与xa.e.相等，进一步，

2、（8分）求lim20,11f(x)dxx2dx…8分

031ln(xn)xecosxdx

0nnln(xn)x解：设fn(x)ecosx，则易知当n时，fn(x)0

n …………………………..2分

lnt1lnt又因20，(t3)，所以当n3,x0时，

ttln(xn)nxln(xn)nxln3ln3(1x)………………4分 nnxnn33ln3从而使得|fn(x)|(1x)ex…………………………………6分

3但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的，故有

limfn(x)dxlimfn(x)dx0…………………………………8分

n00n' 五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.

证明：设E[0,1],AEQ,BE\\(EQ).

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B是无限集，可数子集MB …………………………2分 A是可数集，AMM. ……………………………….3分

BM(B\\M),EABAM(B\\M),且(AM)(B\\M),M(B\\M),…………..5分

EB,Bc.………………………………………………6分

2、（6分）设f(x)是,上的实值连续函数，则对于任意常数a,E{x|f(x)a}是闭集。

证明：xE,则存在E中的互异点列{xn},使limxnx……….2分

nxnE,f(xn)a………………………………………….3分

xE…………………………………………………………5分

E是闭集.…………………………………………………….6分

3、（6分）在a,b上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。 证明：对1，0，使对任意互不相交的有限个(ai,bi)(a,b) 当(biai)时，有f(b)if(ai)1………………2分

i1i1nn将[a,b]m等分，使

kxxii1ni1，对T:xi1z0z1zkxi，有

i1f(zi)f(zi1)1，所以f(x)在[xi1,xi]上是有界变差函数……………………………….5

分 所以

V(f)1,xi1xi从而

V(f)mab，因此，f(x)是[a,b]上的有界变差函

数…………………………………………………………..6分

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4、（6分）设mE,f(x)在E上可积，enE(|f|n)，则limnmen0.

n证明：f(x)在E上可积limmE(|f|n)mE(|f|)0……2分

n据

e积分的绝对连续性，0,0,eE,me，有

|f(x)|dx………………………………………………….4分

对上述0,k,nk,mE(|f|n)，从而nmen|f(x)|dxen，即

limnmen0…………………6分

n5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使f(x)在F上连续，且m(EF)，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理) 证

明

：

nN,存在闭集

FnE,mEFn1,f(x)n2在

Fn连

续………………………………………………………………2分

令Fk1nkFn，则

xFk,xFn,nk,xFnf(x)nk在F连

续…………………………………………………………4分 又对任意k,mEFm[E(Fn)]m[(EFn)]

nknkm(EFn)nk1…………………………………………….6分 2k故m(EF)0,f(x)在FE连续…………………………..8分 又m(EF)0,所以f(x)是EF上的可测函数，从而是E上的 可测函数………………………………………………………..10分

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