2017年春季《概率论与数理统计》期末考核

《概率论与数理统计》

满分100分

一、计算题（每题10分，共70分）

1、设X~N(3,42)，试求X的概率密度为f(x)。

解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的概率密度具有如下形式：

进而，将

代入上述表达式可得所求的概率密度为：

2、随机变量的密度函数为p(x)2x,0,x(0,A)，其中A为正的常数，试求A。

其他解： 依题意可得：

则：

因为A＞0 所以 A=1

3、设随机变量服从二项分布，即~B(n,p)，且E3，p1，试求n。 7解：n可以如下求解：E()np=3,n3/p=21

ˆ。 ˆaˆ4x，且x3，y6，试求a4、已知一元线性回归直线方程为y解：由题意得

ˆ4ˆ6 ˆybxb 故 5、设随机变量X与Y相互独立，且D(X)3,D(Y)4，求D(X4Y)。

解：因为随机变量X与Y相互独立，则：

D(X-4Y)=D(X)-D(4Y)=D(X)-16D(Y)=3-16×4=-61

6、设总体X的概率密度为

(1)x,0x1, f(x;)其它,0，式中>－1是未知参数，X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。

解：似然函数为

似然方程为

解得

即为θ最大似然估计值。

7、设X,X,,X是取自正态总体N(0,2)的一个样本，其中0未知。已知估计量

12nnˆkX2i1是

2i2的无偏估计量，试求常数k。 解：

1

ˆkXiEˆkEXknkni1i12n22n2i2

二、证明题（每题15分，共30分）

1．若事件A与B相互独立，则A与B也相互独立。

证明：P(AB）＝P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)=P(A)P(B) 所以A与B独立 2．若事件AB，则P(A)P(B)。

证明：P(B)P(ABAB)P(AB)P(AB)，

由于事件AB，

所以P(AB)P(A)，P(B)P(A)P(AB)。 从而P(A)P(B)