教学内容
二次根式的概念及其运用 教学目标
知识与技能目标： 理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键
1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念.
2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。
2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法 让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法 将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
3，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标xAB 老师点评：
C
2
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以所求点的坐标（3，3）． 问题2：由勾股定理得AB=10. 二、探索新知
很明显3、10，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“称为二次根号． 议一议：
1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、、x（x>0）、0、
4”
1x2、-2、
1、xy（x≥0，y≥0）． xy”；第二，被开方数是正数
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“或0．
解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是二次
根式的有：33、114、2、．
xyx 例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，3x1才能有意义．
解：由3x-1≥0，得x≥
当x≥
1. 31时，3x1在实数范围内有意义． 31在实数范围内有意义？ x1三、应用拓展
例3．当x是多少时，2x3+分析：要使2x3+
1在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的2x+3≥0和x11中的x+1≠0． x1 解：依题意，得 由①得：x≥-
2x30
x103. 2 由②得：x≠-1. 当x≥-
13且x≠-1时，2x3+在实数范围内有意义．
x12x2+5，求
例4 (1)已知y=2x+x2的值．(答案:) y520182018
(2)若a1+b1=0，求a+b的值．(答案:2)
四、归纳小结
本节课要掌握：
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 五、布置作业 一、选择题
1．下列式子，是二次根式的是（ ）
A．-7 B．37 C．x D．x 2．下列式子，不是二次根式的是（ ） A．4 B．16 C．8 D．
1 x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B．5 C． 二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时，
3
1 D．以上皆不对 52x32
+x在实数范围内有意义？ x 3．若3x+x3有意义，则x2=_______．
4.使式子(x5)有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值． 答案:
一、1．A 2．D 3．B
二、1．a（a≥0） 2．a 3．没有
2
三、1．设底面边长为x，则0.2x=1，解得：x=5．
232x30x 2．依题意得：，2
x0x0∴当x>-
2x332
且x≠0时，＋x在实数范围内没有意义．
x23.
1 4．B 5．a=5，b=-4 3板书设计：
16.1二次根式（1） 情境引入 例2 学生板演 二次根式的定义 例3 例1 例4 小结
16.1 二次根式(2)
教学内容
1．a（a≥0）是一个非负数；
2．（a）=a（a≥0）．
2
教学目标
知识与技能目标：理解a（a≥0）是一个非负数和（a）=a（a≥0），并利用它们进行
2
计算和化简．
过程与方法目标：复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
2
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键
1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）=a（a≥0）及其运用．
2
2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导
2
出（a）=a（a≥0）．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；
2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生理解a（a≥0）是一个非负数和
2
（a）=a（a≥0），形成有效的学习策略。
2、阅读的方法 让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法 将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他
检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知
议一议： a（a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：
a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
2222
（4）=_______；（2）=_______；（9）=______；（3）=_______；
（12722
）=______；（）=_______；（0）=_______． 32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）=4．
2
222
同理可得：（2）=2，（9）=9，（3）=3，（121727）=，（）=，（0）32322
=0，所以
2（a）=a（a≥0） 例1、 计算 1．（72 52322
） 2．（35） 3．（） 4．（）
2622
分析：我们可以直接利用（a）=a（a≥0）的结论解题．
解：（3232222
）=，（35）=3·（5）=3·5=45，
2272(7)27525． （）=，（）=222466 三、巩固练习 计算下列各式的值：
3529 18 3422227 0 4822 例2、 计算
53
2 四、应用拓展
222
1．（x1）（x≥0） 2．（a2） 3．（a22a1）
4．（4x212x9）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a≥0；（3）a+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x-12x+9=（2x）-2·2x·3+3=（2x-3）≥0．
2
所以上面的4题都可以运用（a）=a（a≥0）的重要结论解题．
2
2
2
2
22
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0，
2
（x1）=x+1.
（2）∵a≥0，∴（a2）=a.
2
2
2
2
2
（3）∵a+2a+1=（a+1）,（a+1）≥0，∴a+2a+1≥0 ，∴a22a1=a+2a+1.
2
2
2
（4）∵4x-12x+9=（2x）-2·2x·3+3=（2x-3）,（2x-3）≥0,
∴4x-12x+9≥0，∴（4x12x9）=4x-12x+9.
2
2
2
22222
2例3、在实数范围内分解下列因式: （1）x-3 （2）x-4 (3) 2x-3
分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：
2
4
2
1．a（a≥0）是一个非负数；
2．（a）=a（a≥0）;反之:a=（a）（a≥0）．
2
2
六、布置作业 一、选择题
1．下列各式中15、3a、b21、a2b2、m220、144，二次根式的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题
2 1．（-3）=________．
2．已知x1有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算
122
（1）（9） （2）-（3） （3）（
2 (5) (2332)(2332) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）
3．已知xy1+2
6）2 （4）3.321 （4）x（x≥0） 6x3=0，求xy的值．
4．在实数范围内分解下列因式: （1）x-2 （2）x-9 (3)3x-5
答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数
22
三、1．（1）（9）=9 （2）-（3）=-3 （3）（
2
4
2
126）2=
13×6= 4222（4）3=9×=6 (5)-6 33222．（1）5=（5） ；（2）3.4=（3.4） ；（3）
21122
=（） ； （4）x=（x）（x66≥0） 3．xy10x3y4
x=3=81 x30y42
4.（1）x-2=（x+2）（x-2）
4222（2）x-9=（x+3）（x-3）=（x+3）（x+3）（x-3）
(3)略 板书设计：
16.1.二次根式（2） 情境引入 例1 学生板演 1．a（a≥0）是一个非负数； 例2 2．（a）=a（a≥0）; 2反之:a=（a）（a≥0）． 例3 小结 2
16.1 二次根式(3)
教学内容:a2＝a（a≥0） 教学目标
知识与技能目标：理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
过程与方法目标： 通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键
1．重点：a2＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；
2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟a2＝a（a≥0），形成有效的学习策略。
2、阅读的方法 让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法 将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程:一、复习引入
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)＝a（a≥0）．
2
那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 填空：
1 22=_______；0.012=_______；=______；
1023 =________；02=________；=_______．
37 （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
222112233 22=2；0.01=0.01；=；=；02=0；=．
101033772222 因此，一般地：a2=a（a≥0） 例1、化简
22 （1）9 （2）(4) （3）25 （4）(3) 分析：因为（1）9=3，（2）（-4）=4，（3）25=5，
（4）（-3）=3，所以都可运用a2=a（a≥0）去化简．
2
2
2222
22解：（1）9=3=3 （2）(4)=42=4 222（3）25=5=5 （4）(3)=3=3 三、应用拓展
例2、 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若a2=a，则a可以是什么数？ （2）若a2=-a，则a可以是什么数？
（3）a2>a，则a可以是什么数？
分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）”中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(a)2，那么-a≥0．
2
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│大于或等于a，只有a<0时才能使a2>a． 解：（1）因为a2=a，所以a≥0. （2）因为a2=-a，所以a≤0.
（3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a,所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，a<0.综上，a<0.
例3、当x>2，化简(x2)2-(12x)2． 分析：(略) 四、归纳小结
本节课应掌握：a2=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a2＝－a的应用拓展．
五、布置作业 一、选择题
11 1．22的值是（ ）．
33 A．0 B．
2222 C．4 D．以上都不对 332 2．a≥0时，a2、(a)、-a2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A．a2=(a)≥-a2 B．a2>(a)>-a2 22 C．a2<(a)<-a2 D．-a2>a2=(a) 22 二、填空题
1．-0.0004=________．
2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求a+12aa2的值，甲、乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+(1a)2=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+(1a)2=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+a2000=a，求a-1995的值．
2
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)2+x210x25。
答案:一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5
三、1．甲 甲没有先判定1-a是正数还是负数
2．由已知得a-|2000|≥0，a≥2000
2
所以a-1995+a2000=a，a2000=1995，a-2000=1995，
所以a-1995=2000．
3. 10-x 板书设计：
2
16.1 二次根式（3） 情境引入 例2 学生板演 ． 例3 a2＝a（a≥0） 例1 练习 小结
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