一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1．下列实数中，属于无理数的是（ ） A．﹣
B．3.14
C．
D．
2．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB于点D，表示点A到直线CD的距离的是（ ）
A．线段CD的长度 C．线段AD的长度 3．下列计算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5
B．a2•a3＝a6
B．线段AC的长度 D．线段BC的长度
C．（2a）3＝6a3 D．（a2）3＝a6
4．若A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn，则代数式A的值为（ ） A．m
B．mn
C．mn2
D．m2n
5．下列各式中，能运用完全平方公式分解因式的是（ ） A．﹣x2﹣4
B．x2﹣4x+4
C．﹣x2+4x+4
D．4x2+4x+4
6．若x＞y，下列不等式中一定成立的是（ ） A．mx＜my
B．x2＞y2
C．xc2＞yc2
D．x﹣a＞y﹣a
7．计算（x2+mx）（4x﹣8）的结果中不含x2项，则m的值是（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
8．如图，下列条件能判定AD∥BC的是（ ）
A．∠MAD＝∠D C．∠B＝∠DCN
B．∠D＝∠DCN
D．∠B+∠BCD＝180°
9．在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒
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入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），则此正方体容器的棱长是（ ） A．2cm 10．若|x+y﹣5|+A．19
B．4cm
C．6cm
D．8cm
＝0，则x2+y2的值为（ ） B．31
C．27
D．23
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝37°，则∠2的度数是 ．
12．因式分解：3ax2﹣3ay2＝ ．
13．如图，将周长为12cm的三角形ABC沿边BC向右平移5cm，得到三角形A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长是 cm．
14．已知关于x的分式方程+＝﹣2．
（1）如果该方程的解是x＝2，那么m的值等于 ； （2）如果该方程的解为正数，那么m的取值范围是 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：（π﹣2021）0+16．解不等式：
﹣（）﹣2．
﹣x≥﹣1．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知x+7的平方根是±3，2x+y﹣13的立方根是1，求
的值．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段AB的端点及点
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C都在格点（网格线交点）上．
（1）将线段AB向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段A′B′，在图中画出线段A′B′；
（2）在图中画出经过点C且平行于AB的直线l，并简单的说明画法．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知代数式T＝（x﹣2﹣（1）化简T；
（2）当T2＝9时，x＝ ． 20．如图，已知EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：DG∥AC；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
）÷
．
六、（本题满分12分） 21．已知关于x的不等式组
．
（1）当a＝5时，求该不等式组的解集；
（2）若该不等式组的解集是空集（无解），求a的最小值；
（3）若该不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围是 ．
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七、（本题满分12分） 22．【问题景】
多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性．例如，（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．
【问题解决】
（1）直接写出图2中所表示的等式： ； （2）画出适当的图形，以表示等式（3x）2＝9x2； （3）利用图2中所表示的等式分解因式： ①3x2+4x+1＝ ； ②2m2+8mn+6n2＝ ． 八、（本题满分14分）
23．超市分两次购进甲、乙两种商品若干件，进货总价如下表：
第一次 第二次
甲 1200元
乙 900元
总共不超过1262元
（1）第一次购进甲商品件数是乙商品件数的2倍，且甲商品的单价比乙商品的单价便宜10元/件，求甲商品的单价；
（2）第二次共购进50件，两种商品的单价与第一次相比，甲提高了10%，乙降价了10%，问此次最多购进乙商品多少件？
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参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1．下列实数中，属于无理数的是（ ） A．﹣
B．3.14
C．
D．
解：A、﹣是无理数，故本选项符合题意；
B、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、
＝2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB于点D，表示点A到直线CD的距离的是（ ）
A．线段CD的长度 C．线段AD的长度
解：点A到CD的距离是线段AD的长度． 故选：C．
3．下列计算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5
B．a2•a3＝a6
B．线段AC的长度 D．线段BC的长度
C．（2a）3＝6a3 D．（a2）3＝a6
解：A、a2与a3不是同类项，故A不符合题意． B、原式＝a5，故B不符合题意． C、原式＝8a3，故C不符合题意． D、原式＝a6，故D符合题意． 故选：D．
4．若A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn，则代数式A的值为（ ） A．m
B．mn C．mn2
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D．m2n
解：∵A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn＝m（m2﹣3n）， ∴A＝m． 故选：A．
5．下列各式中，能运用完全平方公式分解因式的是（ ） A．﹣x2﹣4
B．x2﹣4x+4
C．﹣x2+4x+4
解：A、多项式﹣x2﹣4无法分解因式，故此选项不合题意； B、多项式x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故本选项符合题意； C、多项式﹣x2+4x+4无法分解因式，故此选项不合题意； D、多项式4x2+4x+4不是完全平方式，故此选项不合题意． 故选：B．
6．若x＞y，下列不等式中一定成立的是（ ） A．mx＜my B．x2＞y2
C．xc2＞yc2
解：A、∵x＞y， ∴当m＝1时，mx＞my， ∴选项A结论不一定成立； B、∵x＞y，
∴当x＝2，y＝﹣3时，x2＜y2， ∴选项B结论不一定成立； C、当c＝0时，xc2＝yc2， ∴选项C结论不一定成立； D、∵x＞y， ∴x﹣a＞y﹣a，
∴选项D结论一定成立． 故选：D．
7．计算（x2+mx）（4x﹣8）的结果中不含x2项，则m的值是（A．﹣2
B．2
C．﹣1
解：（x2+mx）（4x﹣8） ＝4x3﹣8x2+4mx2﹣8mx ＝4x3+（4m﹣8）x2﹣8mx， ∵不含x2项，
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D．4x2+4x+4
D．x﹣a＞y﹣a D．1
）
∴4m﹣8＝0， ∴m＝2． 故选：B．
8．如图，下列条件能判定AD∥BC的是（ ）
A．∠MAD＝∠D C．∠B＝∠DCN
B．∠D＝∠DCN
D．∠B+∠BCD＝180°
解：A、∵∠MAD＝∠D，∴DC∥AB，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠D＝∠DCN，∴AD∥BC，故本选项正确，符合题意； C、∵∠B＝∠DCN，∴DC∥AB，故本选项错误，不符合题意； D、∵∠B+∠BCD＝180°，∴DC∥AB，故本选项错误，不符合题意； 故选：B．
9．在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），则此正方体容器的棱长是（ ） A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
解：由于装满水的长方体，倒入正方体容器中，恰好倒满， 所以它们的体积相等， 设正方体棱长是acm， 则a³＝8×4×2， 解得a＝4． 故选：B． 10．若|x+y﹣5|+A．19
＝0，则x2+y2的值为（ ） B．31
C．27
D．23
解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0， ∴x+y＝5，xy＝3，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
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∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19． 故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝37°，则∠2的度数是 53° ．
解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣37°＝53°， 故答案为：53°．
12．因式分解：3ax2﹣3ay2＝ 3a（x+y）（x﹣y） ． 解：3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）． 故答案为：3a（x+y）（x﹣y）
13．如图，将周长为12cm的三角形ABC沿边BC向右平移5cm，得到三角形A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长是 22 cm．
解：由平移的性质可知，A′C′＝AC，AA′＝BB′＝5cm，B′C′＝BC， ∵△ABC的周长为12cm， ∴AB+BC+AC＝12（cm），
∴四边形AA'C'B的周长＝AB+BC′+A′C′+A′A＝AB+BB′+B′C′+A′C′+A′A＝12+10＝22（cm）， 故答案为：22．
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14．已知关于x的分式方程+＝﹣2．
（1）如果该方程的解是x＝2，那么m的值等于 1 ；
（2）如果该方程的解为正数，那么m的取值范围是 m＜5且m≠3 ． 解：（1）去分母得：﹣3+m＝﹣2x+2， ∵该方程的解是x＝2， ∴﹣3+m＝﹣4+2， 解得：m＝1； 故答案为1．
（2）去分母得：﹣3+m＝﹣2x+2， 解方程﹣3+m＝﹣2x+2， 得：x＝
，
＞0，且
≠1，
根据分式方程的解为正数，得到解得：m54且m≠3． 故答案为m＜5且m≠3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：（π﹣2021）0+解：原式＝1+4﹣9 ＝﹣4． 16．解不等式：解：
x+3﹣3x≥﹣3， x﹣3x≥﹣3﹣3， ﹣2x≥﹣6， x≤3．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知x+7的平方根是±3，2x+y﹣13的立方根是1，求解：根据题意得：x+7＝9，2x+y﹣13＝1， 解得：x＝2，y＝10，
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﹣（）﹣2．
﹣x≥﹣1． ，
的值．
则即
＝的值是
＝．
，
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段AB的端点及点C都在格点（网格线交点）上．
（1）将线段AB向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段A′B′，在图中画出线段A′B′；
（2）在图中画出经过点C且平行于AB的直线l，并简单的说明画法．
解：（1）如图，线段A′B′即为所求． （2）如图，直线l即为所求．
作法：取格点T，作直线CT即可．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知代数式T＝（x﹣2﹣（1）化简T；
（2）当T2＝9时，x＝ 5或﹣1 ．
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）÷．
解：（1）T＝＝＝＝x﹣2；
（2）当T2＝9时，（x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝±3， 解得：x＝5或x＝﹣1， 故答案为：5或﹣1．
20．如图，已知EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：DG∥AC；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ECD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠ECD， ∴GD∥AC；
（2）解：由（1）得：GD∥AC， ∵∠A＝40°，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2， ∵DG平分∠BDC， ∴∠2＝∠BDG＝40°， ∴∠ACD＝∠2＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝80°． 六、（本题满分12分）
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21．已知关于x的不等式组．
（1）当a＝5时，求该不等式组的解集；
（2）若该不等式组的解集是空集（无解），求a的最小值；
（3）若该不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围是 21≤a≤25 ． 解：（1）
，
解不等式①，得x＜9， 当a＝5时，4x+1＞5， 解得：x＞1，
所以不等式组的解集是1＜x＜9；
（2）解不等式①，得x＜9， 解不等式②，得x＞
， ∵该不等式组的解集是空集， ∴
≥9，
解得：a≥37， ∴a的最小值是37；
（3）∵不等式①的解集是x＜9，不等式②的解集是x＞，
又∵该不等式组有且仅有3个整数解（整数解是6，7，8） ∴5≤
＜6，
解得：21≤a≤25， 故答案为：21≤a≤25． 七、（本题满分12分） 22．【问题景】
多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性．例如，（a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．
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a+b）2＝
【问题解决】
（1）直接写出图2中所表示的等式： （a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ； （2）画出适当的图形，以表示等式（3x）2＝9x2； （3）利用图2中所表示的等式分解因式： ①3x2+4x+1＝ （3x+1）（x+1） ； ②2m2+8mn+6n2＝ 2（m+n）（m+3n） ．
解：（1）观察图2，从总体来看，大矩形的长为：3a+b，宽为：a+b， ∴大矩形面积可表示为：（a+b）（3a+b）；
从局部来看，各小矩形的面积依次相加，可得：a2+ab+ab+a2+b2+ab+a2+ab＝3a2+4ab+b2；故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2； （2）
如上图，从整体来看：3x•3x＝（3x）2，从局部来看：9•x2＝9x2， ∴（3x）2＝9x2；
（3）①3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），
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②2m2+8mn+6n2＝（2m+2n）（m+3n）＝2（m+n）（m+3n），
故答案为：（3x+1）（x+1），2（m+n）（m+3n）． 八、（本题满分14分）
23．超市分两次购进甲、乙两种商品若干件，进货总价如下表：
第一次 第二次
甲 1200元
乙 900元
总共不超过1262元
（1）第一次购进甲商品件数是乙商品件数的2倍，且甲商品的单价比乙商品的单价便宜10元/件，求甲商品的单价；
（2）第二次共购进50件，两种商品的单价与第一次相比，甲提高了10%，乙降价了10%，问此次最多购进乙商品多少件？
解：（1）设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为（x+10）元， 依题意得：解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意． 答：甲商品的单价为20元．
（2）设购进乙商品m件，则购进甲商品（50﹣m）件，
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＝2×，
依题意得：20×（1+10%）（50﹣m）+（20+10）×（1﹣10%）m≤1262， 解得：m≤32． 又∵m为整数， ∴m的最大值为32．
答：此次最多购进乙商品32件．
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