4-1第一节 平面向量的概念及其线性运算练习题(2015年高考总复习)

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是( )

→－BD→＝CD→ A.BC

→＋DA→＝AC→ B.CD

→＋AD→＋BA→＝CD→ C.CB

→＋AC→＝BD→＋DC→ D.AB

→－BD→＝BC→＋DB→＝DC→，故A项错误；CD→＋DA→＝CA→，解析 BC

→＋AD→＋BA→＝CB→＋BA→＋AD→＝CD→，故C项正确；BD→故B项错误；CB

→＝BC→≠AB→＋AC→，故D项错误． ＋DC

答案 C 2.

如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个→＝( ) 三等分点，那么EF

1

1→1→A.2AB－3AD 1→1→B.4AB＋2AD 1→1→C.3AB＋2DA 1→2→D.2AB－3AD

→＝EC→＋CF→.因为点E为DC的中点，所解析 在△CEF中，EF

1→2→→→→以EC＝2DC.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝3CB.所以EF1→2→1→2→1→2→

＝2DC＋3CB＝2AB＋3DA＝2AB－3AD，故选D.

答案 D

→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则3．如图，已知AB→＝( ) AD

3

A．a＋4b 13B.4a＋4b 11C.4a＋4b 31D.4a＋4b

2

→＝AB→－AC→＝a－b，又BD→＝3DC→， 解析 ∵CB

→＝1CB→＝1(a－b)． ∴CD44

→＝AC→＋CD→＝b＋1(a－b)＝1a＋3b. ∴AD444答案 B

4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三→＝a，AC→＝b，则AD→＝( ) 等分点，AB

1

A．a－2b 1

B.2a－b 1

C．a＋2b 1

D.2a＋b

解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB→＝1AB→＝1a，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋1a. 且CD222

答案 D

→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→5．已知点O，N在△ABC所在平面内，且|OA→＋NC→＝0，则点O，N依次是△ABC的( ) ＋NB

A．重心 外心

3

B．重心 内心

C．外心 重心 D．外心 内心

→|＝|OB→|＝|OC→|知，→＋NB→＋NC→解析 由|OAO为△ABC的外心；NA＝0，知，N为△ABC的重心．

答案 C 6.

(2014·烟台高三诊断)如图，O为线段A0A2 013外一点，若A0，A1，→＝a，OA＝b，A2，A3，…，A2 013中任意相邻两点的距离相等，OA02 013→＋OA→＋OA→＋…＋OA，其结果为( ) 用a，b表示OA0122 013

A．1 006(a＋b) C．2 012(a＋b)

B．1 007(a＋b) D．2 014(a＋b)

→＋OA→＝2OA→，→→→…，解析 OAOA2 011＋OA2 013021OA3＋OA5＝2OA4，→＋OA×2 014OA02 013→→→＝2OA2 012，OA0＋OA1＋OA2＋…＋OA2 013＝＝1 2007(a＋b)．选B.

答案 B

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．(2014·北京东城区综合练习)设a，b，c是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于________．

→，b＝OB→，c＝OC→，由a＝b＋c可知，OA→＝解析 不妨设a＝OA

→＋OC→，→|＝|OB→|＝|OC→|＝1，OB又|OA故四边形OBAC为菱形，且∠BOA

4

＝60°，故向量a，b的夹角为60°.

答案 60°

8．(2014·无锡质检)设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝__________.

解析 因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零

8－λk＝0，向量，故解得k＝±4.

k－2λ＝0，

答案 ±4

9．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，3→→→若aGA＋bGB＋3cGC＝0，则A＝________.

→＋GB→＋GC→＝0，则GC→＝－GA→解析 由G为△ABC的重心知GA

33→3→→→→→－GB，因此aGA＋bGB＋3c(－GA－GB)＝(a－3c)GA＋(b－3333→＝0，→，→不共线，c)GB又GAGB所以a－3c＝b－3c＝0，即a＝b＝3b2＋c2－a2

c.由余弦定理得cosA＝2bc＝π＝6. π答案 6

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

3

＝，又05

10．(2014·东莞阶段检测)如图所示，在△ABC中，点D，F分别→＝2AD→，AB→＝a，AC→＝b. 是BC，AC的中点，AE3

→，AE→，AF→，BE→，BF→； (1)用a，b表示向量AD(2)求证：B，E，F三点共线．

1→→解 (1)延长AD到G，使AD＝2AG，连接BG、CG，得到▱ABGC，

→＝a＋b， 所以AG

→＝1AG→＝1(a＋b)， AD22→＝2AD→＝1(a＋b)， AE331→1→AF＝2AC＝2b，

1→→→BE＝AE－AB＝3(a＋b)－a 1

＝3(b－2a)，

11→→→BF＝AF－AB＝2b－a＝2(b－2a)．

6

2→→(2)由(1)可知，BE＝3BF，所以B，E，F三点共线．

11．(2014·临沂模拟)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b1

起点相同，则当t为何值时，a，tb，3(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？

1→→→解 设OA＝a，OB＝tb，OC＝3(a＋b)，

21→→→→＝OB→－OA→＝tb－a. ∴AC＝OC－OA＝－3a＋3b，AB→＝λAB→. 要使A，B，C三点共线，只需AC21

即－3a＋3b＝λtb－λa. 2－3＝－λ，∴13＝λt，

2λ＝3，

解得1

t＝2.

1

∴当t＝2时，三向量终点在同一直线上．

→＝a，AC→＝b，对于平面ABC上任意一点12．已知△ABC中，AB

→＝OA→＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹O，动点P满足OP是否过定点，并说明理由．

→＝OA→＋λa＋λb， 解 依题意，由OP→－OA→＝λ(a＋b)， 得OP

→＝λ(AB→＋AC→)． 即AP

7

如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，→＝λAD→， 则AP

∴A，P，D三点共线．

即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点．

8