作者：温州市瓦市小学课题组 发表时间：2011/3/30 17:16:57 访问次数：9411
摘要：
本文就小学数学研究性学习的理论与实践两个方面，对本课题组成员近三年来的学习、研究及实施成果进行较为全面的总结，着重阐述了小学数学研究性学习（或探究式学习）模式的建构与在教学过程中的体现及小学数学学科课程如何进行校本化实施的一些做法，并在此基础上，对课题研究效果进行评价，力求用案例来说明问题。 关键词：
小学数学 研究性学习 教学模式 校本化实施 课题的提出
本课题的研究是在社会发展、教育改革的强力推动和学校倡导的个性化学习的背景下提出的。
1. 社会发展的需要
专家认为：农业社会，会用记忆性的学习方法就行了，到了工业社会时代，仅靠记忆学习就不行了，所以后来就提倡理解性学习。现在是信息社会，知识多得学不完，新知识不断地涌现，旧知识不断地被更新，所以我们必须教会学生研究性学习。只有这样，才能为社会培养出高素质的创新型人才来。 2. 教育改革的推动
21世纪是知识经济时代，知识正在取代资本和能源，成为未来社会最主要的生产力要素，其结果必然是社会更加重视教育，重视人才。从20世纪80年代末开始，世界各国纷纷对本国的教育系统做出重大改革。“研究性学习” 正被国际教育界普遍推崇，法国的研究性学习课程于1995-1996学年，在初中二年级开始实验。称之为“多样化途径”（parcours diversifies）。美国的研究性学习第一次发生与19世纪末到20世纪初，主要倡导者为杜威（j，deway）。第二次发生在20世纪50-70年代主要倡导者为布鲁纳纳、施瓦布、费尼克斯等人，他们在理论上系统论证了“发现学习”“探究学习”的合理性，推动了课程改革运动——学习结构运用。第三次发生于20世纪90年代，倡导“以项目为中心的学习”和“以问题为中心的学习”。而我国教育部也于2000年1月颁布《全日制普通高级中学课程计划》（试验修订稿）第一次在基础教育课程中，提出了增设综合实践活动课。其中就包括研究性学习。在新一轮中小学课改中，又将综合实践活动扩展到小学三年级，且每周安排了3课时。并要求在各科的教学活动中要转变教师的角色和学生的学习方式，倡导研究性或探究性学习。
3. 学校倡导学生个性化学习 我校是浙江省首批创新教育试点学校，在五年的教育课题研究过程中，逐步形成了自己的办学特色与教学特色。其中个性化学习是我们的特色之一，如“对话式”课堂教学，研究性学习方式等。小学数学研究性学习课题，是对学校创新教育课题研究的深入与持续，目的在于转变学生的学习方式，变被动接受性学习，为主动探究性学习，提高学生的学习兴趣，培养
他们的数学能力。
课题的设计
一、 研究目标
1.构建小学数学研究性（探究性）学习的理论体系（包括概念、理论依据、学习策略、教学原则等）。
2. 构建小学数学研究性（探究性）学习的实践研究体系（包括教学模式、小学数学学科课程校本化实施、数学生活化综合探究活动等）。
3.通过本课题研究，转变教师教学角色和学生的学习方式，使学生形成个性化学习能力（包括发现问题的能力，主动探究的学习兴趣、独立思考的数学思维能力和解决生活中数学问题的实际动手操作能力等） 二、 研究方法
采用行动研究法，并辅之文献法、观察法、问卷调查法等。 三、 研究对象
瓦市小学三至六年级段学生 四、 研究内容与体系
（一）构建小学教学研究性（探究性）学习的理论体系。 1.小学数学研究性（探究性）学习的概念涵义。 2.小学数学研究性（探究性）学习的理论依据。 3.小学数学研究性（探究性）学习的策略。 4.小学数学研究性（探究性）学习的教学原则。
（二）构建小学数学研究（探究性）学习的课堂教学模式与研究体系 1.探究式课堂教学模式
2.探究式课堂教学研究体系与案例
（三）小学数学学科课程的校本化实施研究
（四）小学数学生活化综合探究生活化的实施研究 五、 研究步骤
（一）准备阶段（2003年8月—9月） 1. 学习“研究性学习”理论 2. 建立“研究性学习”理论 3. 制订研究实施方案
4. 开题论证、修订方案、争取立项
（二）实施阶段（2003年10月—2005年6月）
1. 对实验班级进行学习习惯和课堂教学现状调查 2. 按“研究性学习”教学模式进行备课上课
3. 每学期召开一次研讨会，上“研究性学习观摩课 4. 进行中期评估
5. 编教案集或研究案例集
6. 开展小学数学学科课程校本化实施研究 7. 开展小学数学生活化综合探究性学习活动 （三）总结阶段（2005年7月—2005年8月）
1. 汇编有关资料，进行资料整理和数据统计与分析 2. 撰写课题结题报告 3. 进行成果鉴定或参评
研究实施
一、 构建小学数学研究性学习的理论体系 （一）关于研究性学习概念界定
研究性学习的含义有广义与狭义之分。广义：泛指学生主动探究的学习活动。狭义：指学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行的研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动（教育部《研究性学习实施指南》）。也有不少学者把它描述为：指学生在教师的指导下，用类似科学研究的方式，主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。
（二）研究性（探究性）学习的理论依据： （1）儿童心理学的依据：
好奇、爱寻根究底是儿童与生俱来的天性。开展探究性学习，顺应了儿童的这种天性，如果引导适当，特别是不断融入探究成功的体验之后，这种不断增强的探究欲望，就容易转化为对知识的追求和对科学的热爱。 （2）认知心理学的依据：
在认知心理学中，认识结构论和有意学习论，对小学生探究性学习具有重要指导意义。认识结构论十分强调学习原有的知识经验，认为学习者的认识不断发生，深化的过程，也就是个体不断探究、内化、重组的过程。奥苏伯尔的有意义学习理论，揭示了意义学习的两个必备条件，他提出了“先行组织者”的概念，为探究教学中教学情境的创设，以及必要的复习与辅垫提供一定的理论支撑。 （3）建构主义学习的依据
建构主义重视学习活动中学生的主体性，重视学生面对具体情景进行意义建构，重视学习活动中师生间和学生之间的“协作”、“对话”和反思，从而主张建立一个民主、宽松的教学环境。这也是研究性学习所需要的环境。这些观点对于我们开展探究性学习，在其特定意义上具有一定的理论支撑作用。
（三）关于小学数学研究性（探究性）学习策略 1.教师有效干预策略 （1）问题情境创设策略
因为任何真正意义上的研究都是从问题开始的。问题情境的创设是研究性学习（探究性学习）的前提，教师首先要把学习目标转化为要探究的问题。有了好的问题情景，能激发学生强烈问题意识和探究动机，引发学生积极的思考。 小学数学教学中的问题情境创设常用的方法有： ①联系生活实际，创设问题情景：
如学习“小数的认识”，可创设商店购物、分饼等情景。 ②借助直观手段，创设问题情景：
如学习有余数除法，借助学具或实物的等分、引出有余数但不能继续等分，进而探究其中的规律。
③借助故事，创设问题情景：
如学习“循环小数”时，可给学生讲“庙里的和尚”这个故事，然后问学生，你们听出了什么问题。
④借助多媒体手段，创设问题情景：
如学习“圆的面积”，教师先用课件显示一幅美丽的草原牧羊挂图，然后点击文字说明：在一片绿茵茵的草地中央，有一根木桩上拴着一只雪白的小山羊，小山羊正在吃草。动脑筋爷爷问小朋友：“这只小羊吃草的最大面积是多少？”再显示所描述彩图。
⑤联系旧知，利用类比推理创设问题情景： 如学习乘法运算定律时，联系加法运算定理，让学生猜想乘法是否也存在像加法那样类似的定律，并提出验证要求。
（2）诱导学生主动探索策略： ①激活问题意识策略：
如在学习应用题时，让学生自己提出要解决的问题及解题思路等。 ②提供必要的辅助手段：
如提示学生选用图示、列表、列举等方式帮助探究等。 （3）课内向课外适当延伸策略：
指可以事先布置学生课前收集某些素材，数据及准备学具等。也可让学生带着问题，课后到图书馆、大自然等地方搜集有关数据、材料进行研究。 （4）课堂互动策略：
①建立学习小组②培养合作交流能力③做好讨论的启动与调控工作。 2.学生自主学习探究策略 （1）自主确定学习目标
研究性学习是一种基于教材又不被教材束缚的学习方式，其目标必须以积极的情感目标及一定的技能目标为基础。在变成基本的认知目标产生质的飞跃，从认知到发现，从发现到研究，从研究得出进一步的认识，进而推出更积极的学习情绪的产生。以这种研究性的思想为学习的教学目标，是具有弹性的，是变通的，是各异的，更是多层次的，这样可以使不同层次的学生通过研究性学习得到不同的发展。所以，开展数学研究性学习时，学生可以根据自己兴趣，学习能力，来确定自己的研究目标。 （2）研究内容选择策略
数学教材体系比较注重学生去发现知识，而没有特别地设计学生研究性学习内容。因此在引导形式学习时，需充分挖掘教材的研究性学习因素，采用新形式、活解法、开放性较强的学习内容，应多注意研究内容的探索性，题材选择的丰富性；信息表现形式的选择性；解题策略的多样性等。
① 研究性学习内容生活化
“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”从此观点我们可以看出，数学是来源于生活，只有让数学扎根于生活这个肥沃的土壤中，注意以学生的生活实践为基础，选择他们感兴趣的事，才能激发他们好奇心下的求知欲望，然后以这种求知欲望下的内容作为研究性学习的素材，学生才会觉得自己的数学学习是有意义的。这样更有益于学生对提出的问题产生想象，产生出积极的情感体验和开拓意识。
如大家一起去旅游时，到了一个景点后每人都会有一张景点地图，这上面不仅标明了地理方位，而且还有比例尺。通过比例尺，就可以知道这景点到底有多大，大概需要多少时间。这正是把数学问题转化为生活问题，即是“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。” 学生用具体的数学知识，去研究生活，服务生活，体现其生活化的一面，让数学与生活的关系更加紧密，也使研究性学习更有意义。 ②研究性学习内容数学化
“数学化”是指人们在观察数学时，运用数学方法观察研究各种具体现象，并加以整理和组织的过程，这个过程包括把现实问题转化为数学问题的过程。研究性学习的目标，就是让学生通过学习研究，掌握数学思想方法。所以教师在选题时应选那种数学性强，具有一定深度、广度的内容，让学生去研究，得出结论，加深对数学的理解。
如在学习圆周率后，有这样一个与生活有关的数学问题：有一个圆形的礼品盒，底面半径是
10厘米，外面要用包装纸来装饰一下，如何来包装，才是最佳方案呢？学生通过亲自动手，合作讨论，找到了最佳包装方案。这个问题就是把生活问题转化为数学问题，充分体现了数学的美学魅力及实用功能。 ③研究性学习内容广博化
数学学科和其他学科一样，都不是孤立存在的。它与学生学习的各科，如语文、自然、社会、音乐、美术、体育等有着千丝万缕的联系。学生在学习数学时无法与其他学科割裂开来，所以在研究问题时，也要注意学科的广博性，与其他学科的横向联系，做到各科之间相互渗透、相互补充。
如在教学对称图形时，教师可以采用多媒体展示出几幅图片，其中有关于名胜古迹的照片，还有植物与动物的图片，以及一些简单的数学几何图形。让学生找出对称的图形有哪些，接着可以出一组研究题：①这些图形各有什么特点？②你能说出照片中的名胜古迹各在何处吗？③每个图形是不是仅有一条对称轴？学生在研究过程中就进一步了解了地理和自然知识与数学的联系。
④研究性学习内容的开放化 罗伯逊指出：“限制和顺从不能养成创造性，权威主义的教育只能造就驯服的而不是创造性的学生。”所以开放性是创新性的重要方面，由于开放性内容知识容量大，思考方法多，解决问题活，极富挑战性，因而有利于激发学生的好奇心，调动学生的积极性与主动性，对学生创新能力的培养具有得天独厚的优势，学生能从各种不同的思考过程和问题解的特征中，总结出具有普遍性的东西，不同程度地发展了学生发散性思维，使得创造想象能力进一步加强。
如在三年级学习应用减法的运算性质简算后，就可以出这样一道题目作为研究题：68 -（ ）-（ ）= 68 -（ + ）；65 -（ + ）= 65 -（ ）-（ ）；在倒数的启发思考中，可以出这样一道题目（ ）×（ ）＝１。这种开放式的研究题，激发了学生创造的欲望，让学生通过自己的努力来取得成功。 （四）研究性学习的教学原则
1.主体性原则：指课堂教学中研究性学习要以学生为主体，以教师为主导，教师要多想想，学生在干什么？他们到底需要什么？更多地把关注点放在学生身上，真正地体现学生的主体作用。
2.探索性原则：指通过学生自主的探索，获取运算法则，概念性的结论及数学规律性的东西等。在教学中，教师要引导学生自己去发现，去探究，让学生亲历“做数学”的过程。 3.交互性原则：即教学中的师生，生生间的交往与互动。在教学过程中要通过相互启发、相互补充、相互合作，从而达到共识、共享与共进，实现共同发展的目的。
4.赏识与激励性原则：在教学中，适时、适当地给学生以赏识，鼓励学生质疑问难，能激其不断进取，积极探究的学习动机。
5.发展性原则：从生命全程的需要规划学生的发展目标，在教学中，始终用发展的眼光看待学生，帮助学生树立自信，尊重并支持差异性发展。
6.创新性原则：在教学中，要给学生留有充足的创新的时间与空间，激发学生在创新情趣，启迪学生的创新意识，发展其创新思维，培养其创新技能。
二、 构建小学数学研究性（探究性）学习的课堂教学模式与研究性体系 （一）小学数学探究式课堂教学模式
构建研究性学习（或探究性学习）的课堂教学模式：最关键的问题是如何正确把握教师、学生以及教材这三者之间的关系。从教材来说，不宜以权威的身份把既定的结论直接呈现给学生，而应尽可能创设和拓展学生探索问题的空间；教师作为学生数学学习的组织者，引导者和合作者，主要应承担探究目标的确定，内容的选择、情境的营造，问题的编制、活动的调
控、学习动机的激励等工作；学生是数学学习的主人，应该充分享受学习探究自主权。本模式就力图体现这三者的关系。其模式建构如下： 创设问 题情境 自主探究解 决问题 验证与 应 用
改变条件深入研究
基本环节： 明确探 究目标 提供评 价反馈 指导学生 操作实践 教给学 习策略
互动调控： 1. 创境激疑
“提出一个问题比解决一个问题更重要”为此我们把培养学生提问质疑能力作为一个重要的内容给予高度重视，在学习一个新知识点时的教师要创设认知需要情境，把学生的思维带入新的学习背景中，让他们感到学习是解决新的问题的需要，产生一种积极发现问题，积极探索的心理取向，使学生敢想、敢问、敢说，从而诱发“研究”的意识，激活“研究”的思维。因此，在教学中教师设法根据教学内容并联系实际创设种种问题情境，让学生产生知识冲突，形成悬念，激发学生提出问题。创设问题情境的方式多种多样：可以在新旧知识的边接点和生长点提出问题；可以通过学生观察“研究”的具体材料产生问题；也可以以游戏形式、直观演示、设置悬念、动手操作、模拟实验和竞赛、讲故事、猜谜语等形式产生问题。例如：教学《能被3整除的数的特征》时，先出示一组数：33、36、39，问：这些数能被3整除吗？（能。）能被3整除的数有什么特征？如果学生由于受能被2、5整除数的干扰，误以为能被3整除的数的特征就是个位上数是3、6、9。接着出示另一组数：23、26、29，问：这些数能被3整除吗？（不能。）那么能被3整除的数的特征是否就是个位上数是3、6、9？（不是的。）学生在认知矛盾冲突的情境中肯定会引发如此想探究的问题：（1）能被3整除的数跟什么有关系？（2）能被3整除的数有什么特征？在学生的讨论分析中产生了“研究”的问题，这时学生的探究目标明确了，教师应诱导学生主动积极地参与教学活动中来，激发学生迫不及待地去“研究”。
2. 自主探究
所谓自主探究，指的是在老师的引导下，每个学生根据自己的猜测，用自己的思维方式自由地、开放地去探究，去发现，去再创造有关数学知识的过程。其目的，不仅在于使学生获得数学知识，更在于让学生在探究的过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和新思维。这个环节是探究性学习的核心部分。
（1）让学生自己确定方法。如探索“圆周长的测量方法”，教师为每个小学提供了一些工具和学习材料：2个硬纸做的不同直径的圆、2个布做的不同直径的圆、2条绳子、2把尺，问：怎样才能知道这些圆的周长是多少？让学生自己的想办法、选方法：用绳子绕圆一周进行测量：在尺上滚动圆一周进行测量，把布做的圆对折后再测量。
（2）让学生自己收集材料。如教学《能被2、5整除数的特征》，要求各小组在限定的时间内分别写出能被2、5整除的数，比一比哪组写得多，让学生自己收集所观察的材料，有利于调动学生探究规律的积极性。
（3）让学生自己观察思考。如学习《分数的基本性质》，在呈现3/4=6/8=9/12后，教师问：上面的等式什么没有变？什么变了？是怎么变的？放手让他们观察思考，通过交流，学生从不同的角度发现了分子、分母的变化规律。
（4）让学生自己操作实验。如《长方形的面积计算》，先请学生用12个正方形（每个代表1平方米）纸片摆成长方形，接着，要求同桌合作用24个正方形，分别记录长、宽和面积数据，问：长方形的面积跟她的长和宽有怎样的关系？让学生自己通过实验、观察、归纳，发现长方形面积计算方法。
（5）让学生自己尝试解决。如计算45+29时，学生想出了如下方法：①40+20=60，5-9=14，60+14=74。②45+20=65，65+9=74。③45+30=75，75-1=74。④29+1=30，44+30=74。⑤45+5，50+24=74。⑥40+20=60，5+9=14，60+14=74。⑦用竖式计算。通过尝试，不仅解决了问题，使学会掌握了两位数的基本计算方法，而且发展了学生的创新思维，像第③、④、⑤种方法就具有一定的创造性。
在自主探究活动中，学生会遇到各种各样的困难，教师这时就要及时给予帮助，主要是教给学生学习策略。使学生的探究活动得以继续深入下去。 3. 改变条件，深入探究
我们以科学的方法探究新知识，获取新知识巩固内化，这是研究性学习的课时终点目标，使基本知识形成基本技能，更有利于创新意识的培养和创造能力的发展。当新知识获取后，学生参与本课时的基本练习、专项练习、综合联系后使之知识的内化，为防止学生思维定势，妨碍学生思维的发展，在研究中，我们重视了设计结构不全、条件不明、必须发挥创造性、结合有关经验才能解答的开放性练习。开放性练习设计。例如：在教学“长方形面积计算”这一课时，设计了这样一道很有答案的开放练习题：“有一块长方形空地，长6米，宽4米，要在这块空地上留出一半的面积种植花草。请问你是如何设计的？画出草图。”于是学生通过独立思考、合作交流得出了很多设计方案。研究性学习体现了学生的主动性、民主性、实践性、开放性、自主性，由于学生的学习基础、学习方式和个性潜质的不同，因此在这一环节中会产生丰富多彩的学习理念和个性化的创造性表现，我们在研究中也注重了对学生研究能力和学习水平的多元评价，主要学生充分参与了研究，对研究的态度和方法、乐趣和艰辛有所感悟、体验，就给予积极的评价，从而去推动学生整体、全面地发展。 4、应用拓展
研究性学习的过程，说到底是一种学习策略学习方法的感受、体验、训练的过程。新课程提倡学生初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。这一环节主要是用学生自己的语言归结、整理新知识，并引导学生应用新学的知识去解决新问题，进而去解决思考题、发展题和课后实践，使学到的知识延伸发展。
同时引导学生归纳学习方法，交流学习体会，提高“研究”能力。如在《长方形和正方形的认识》教学中，当归纳出长方形和正方形的特征后，可以组织学生完成了课后的练习和《课堂练习》中的基础性的巩固练习后，设计几道实践性很强的练习。 （二）小学数学研究性（探究性）学习课堂教学研究体系
在研究过程中，我们按概念、运算、集合图形、应用题等四大类型进行案例研究。 1、概念教学中“互动——探究”学习研究
概念教学是小学数学课堂教学的重要组成部分。省编义务教材中有关数学概念的定义，一般都是以结论的形式，直接用黑体字或方框标出来的。这不利于学生探究性学习能力的培养。如何弥补教材的缺陷？我以为采用“互动——探究”的学习模式组织课堂教学，能促使学生自己主动地去探究数学概念涵义。进而是提高学生的分析、综合的能力以及解决数学实际问题的能力。
（1）“质数”“合数”概念的“互动——探究”教学
学生在学习上“自然数”、“奇数”、“偶数”、“约数”、“倍数”等概念后，再来学习 “质数”与“合数”的概念时，往往会发生概念混淆。常常会把“合数”与“偶数”混淆起来，以为“合数”都是“偶数”，把“9”、“15”等等“奇数”排除在外。除了教师在教学过程中，没有把“概念”的涵义讲解透彻外，还有一个主要原因，那就是学生没主动参与概念涵义的教学过程的探究。
在学习“质数”、“合数”的概念时，我不急于要求学生从教科书上找答案，而是让学生亲历探索过程。
第一步：让学生写尽可能多的自然数的约数。（注：有的同学写出其10以内所有自然数的约数，有的同学写出20以内所有自然的约数，有的同学写得更多。） 第二步：我要求学生列出20以内所有自然数的约数表格： 自然数 约 数 约数个数 1 1 1 2 1、2 2 3 1、3 2 4 1、2、4 3 5 1、5 2
6 1、2、3、6 4 7 1、7 2
8 1、2、4、8 4 9 1、3、9 3
10 1、2、5、10 4 11 1、11 2
12 1、2、3、4、6、12 6 13 1、13 2
14 1、2、7、14 4 15 1、3、5、15 4 16 1、2、4、8、16 5 17 1、17 2
18 1、2、3、6、9、18 6 19 1、19 2
20 1、2、4、5、10、20 6
第三步：师生互动，教师提示学生：只有1个约数的自然数有几个？（1个）是几，（1）20以内只有2个约数的自然数有几个？它们都是几？这些约数有什么特点？（“1”与那个自然数本身）20以内有3约数以上（包括3个）的自然数共有几个，它们都是几？ 第四步：要求学生给“质数”、“合数”下定义。
学生经过上面列表、分组归类的探究后，就会明白：“1”最特殊，只有它本身一个约数，所以既不是“质数”，也不是“合数”。这样在“互动——探究”的学习过程中，首先把“1”排除在“质数”与“合数”之外，剩下来的问题就简单，学生从词义就可以做出判断：质数是素数，是不能分解的自然数，即它们的约数只有“1”与它本身。而“合数”，顾名思义，是可以用其它因数的“积”来表示的，即凡是约数在3个或3个以上的自然数，就是合数。 由于这堂课采用了“互动——探究式”教学，学生参与面广，且都亲历概念的探究的过程，所以对概念理解得透彻，从课堂练习反馈情况来看，学生都没有出差错。 （2）“整除”与“除尽”概念教学中的“互动——探究”教学
“整除”与“除尽”是学生容易混淆的概念之一，怎样让学生 明白这两概念的涵义，以及它们之间的关系，是我们要研究的问题之一。
在教学实践中，我设计了两套教学方法，即在五（1）班（对照班）以教材编排的内容为学习载体，采用传统的“讲授”方法为主进行教学，而在五（2）班（试验班），我自行设计教学内容，并采用“互动——探究”的教学模式进行教学。下面就两种不同的教学方法，做一个比较。
案例1：以教材为主，以“讲授”为主，学习数的整除和除尽的概念。 第一步：出示以下两组算式，让学生计算。
15÷5= 1.5÷5= ⅰ 24÷4= ⅱ 3.6÷0.9= 80÷20= 16÷3=
第二步：教师先告诉学生（或提示学生）ⅰ、ⅱ两组算式的最大区别在哪里： （如: ⅰ组，被除数，除数和商都是自然数，而ⅱ组里被除数、除数或商至少有一项是小数。） 第三步：给概念下定义（教材）
“像左边的三题这这样，数a除以数b，除得的商是整数，而且没有余数，我们就说a被b整除。“（教材这样下结论），ⅱ组中的前两道“1.5÷5=3，3.6÷0.9=0.4，都没有余数叫除尽，”而对于16÷3=……1的式子，教材没有做说明，只能向学生说商有余数，不能整除，也除不尽。
第四步：巩固练习，出示以下几道题让学生判断，那几道题能整除，那几道题能除尽，那几道题除不尽。
20÷4=5 3÷10=0.3 38÷5=7……3 2.4÷4=0.4 10÷3=3……1 4.8÷1.2=4 以下是我对学生所做的这6道算式判断进行统计： 学生判断
题目 能整除 能除尽 除不尽 错误率（%） 20÷4=5 50人 26人 0 24 2.4÷6=0.4 0人 50人 0 0 3÷10=0.3 0人 50人 .0 0 10÷3=3……1 0人 0人 50 0 38÷5=7……3 0人 0人 50 100 4.8÷1.2=4 0人 50人 0 0
错误原因分析：第一，学生对“整除”和“除尽”的概念未完全理解。凡是能整除的式子是一定能除尽的，但能除尽的式子却不一定能整除，这一点学生没有弄清楚。第二是教材误导所致，如“38÷5”这条式子如果把商写成小数形式“=7.6”，学生一定会判断它能“除尽”，如果把商写成余数形式则商“=7……3”，变成商有余数了。所以，学生误判断了38÷5除不尽。
案例 2，以“互动——探究”为教学模式，学习“整除”与“除尽“概念。
第一步：提出探究的问题，明确这节课的学习目标，学习“整除”与“除尽”的概念，即什么叫整除？什么叫除尽 ？
第二步：教给学习策略，探索解决方法与途径。 （1）课件显示下列式子，让学生算一算。
15÷5= 10÷4= 1÷3=
ⅰ 24÷4= ⅱ 6÷0.4= ⅲ 10÷3= 80÷20= 13.6÷0.9= 5÷7= （2）让学生观察这三组数的商有什么特点，可进行小姐讨论（互动）。
ⅰ组被除数、除数为自然数，商为整数，ⅱ组商为有限小数或整数，但被除数或除数中出现小数，ⅲ组商为无限循环小数。
第三步：要求学生找出规律性的东西做出判断。
经过“互动——探究”之后，学生给“整 除”“除尽”的概念下如下的定义。 ※ 给“整除”下定义“
生甲：被除数a，除数b，所得的商是整数，我们就说这道算式能整除。（不准确） 生乙：自然数a÷自然数b =自然数，我们就说a能被b整除。（准确） 生丙：……
※ 给“除尽”下定义：
生甲：被除数a，除数b，所得的商是整数或有限小数，我们就说a能被数b除尽。 生乙，在这里被除数、除数以是整数 ，也可以是有限小数 。 ※ 比较整除、除尽，除不尽三者的内在联系
生：能整除的算式，一定能除尽，能除尽的式子不一定整除。
生：除了除尽外，有的式子是除不尽的，如10÷3等。因为它的商里有余数。（化成小数为无限循环小数）
师：很好，同学对整除 、除尽、除不尽等概念理解得很透彻，以后学习大家要发扬这种互动——探究精神。
第四步：我也让学生做课后的作业，结果52名学生全部没有出现差错。 3、四则运算教学中的“互动——探究”教学研究
当前小学教学教材四则运算部分内容的编写太抽象太枯燥了。有关混合四则运算的规则都是用提示的法则或者结论形式呈现的。如省编义务 教材第7册第三单元例1： 66×38-987÷21
乘除可同时计算 又如省编义务数学教材第八册第三单元例3： 计算 118+1536÷〔12×（63-59）〕
先算小括号里面的 =118+1536÷〔12×4〕
再算中括号里的 然后让学生 ，填写这样的结论：
“在一个算式中，既有小括号，又有中括号，要先算 里面的，再算 的”等。
一般老师在教学这些内容时，都是采用注入式教学方法，而学生的学习则是被动地接受性学习方式。在教学中，学生出现计算顺序错误是常有的事，有些学生甚至屡屡出错。 如有的学生在计算350+250×2式子时，出现了如下的演算错误的式子： 350+250×2 =600×2 =1200
还有的把9279-279÷9+284的演算式子写成了： 9279-279÷9+284 =9000÷9+284 =1000+284 =1284
是什么原因至使学生屡屡出错呢？究其原因无非是两种情况，一种情况是学生对运算法则不理解，为什么要先算乘除再算加减，他们不清楚。另一种原因也许是疏忽，马虎造成的。对于第二种情况来说是学习态度的问题，这里不做讨论。对于第一种情况不得不引起我们的深思。是学生太笨呢？还是我们的教材编排与教学方法有问题？我认为主要原因是后者。因为我们的教材编写太抽象太枯燥了。教师的教法太乏味了。 为此笔者认为：在小学四则混合运算的教学中，应改变一下教学策略：应把“互动——探究”的学习策略引入课堂。以下我在教学中的一些具体做法。
（1）把抽象的运算式子，编成文字题，师生共同探究四则运算法则。 如教例1 66×38-987÷21时，我不急于向学生提示该 先算什么？再算什么？而是让学生说说这题算式所表示的实际意义，即解决什么问题，学生可以用编文字题的办法理解算式的意义：
生：这道题求66乘以28的积与987除以21的商，差是多少？ 师：这道题最终是求什么？
生：求“积”与“商”的“差”。 师：要求出两者的差，先要求做什么？
生：先求出66与38的积（乘法）和987除以21的商（除法）。 师：所以要先算什么？（乘与除），然后算什么？（两者的差）。 接着师生从 66×38-987÷21 =2508-47 =2461
这道式子中，计算过程中获得运算经验，并概括出计算法则：在一道算式里，乘、除和减少同时存在，应算乘、除，再算减法。在这道算式里乘、除可以同步计算。这样一来，由于课堂上师生充分进行“互动——探究，”学生理解这一运算法的实际意义，在以后的计算中就不会出差错了
（2）采用纠错，预防策略
纠错预防策略，就是将学生在练习中出的各式各样运算错误，在课堂上呈现给学生，让学生指出错误之处，并把它改正过来。如在巩固练习课时，我在黑板上出示下两道计算有错误的题目让学生纠正。
（1）350+250÷50×2 （2）9279-279÷ 9+284 =600÷50×2 =9000÷9+284
=600÷100 =1000+284 =6 =1284
题（1），学生指出有两处错误，但让他们说清为什么错的道理时，却表述不那么确切。有的说：“350与250先加是错。”有的说：“50与2直接相乘是错的，”于是我组织全班同学共同探讨这道题错在哪时，经过讨论后，大家达成一致的意见：这道题首先违反了先算除再算加减的法则。其次是违反了在同级运算中，那个在先就先算那个的法则。最后让学生板演正确的版式： 350+250÷50×2 =350+50×2 =350+100 =450
题（2），学生指出也有两处错误。第一处错误是先求9279与279的差是错误，应求出279与9的商，然后，按顺序计算，第二处错误是未计算的一项284应抄下来而不应该在后面又突然冒出来，否则等式就不成立。学生弄清了算式的错误的原因之后，再叫一个平时常出计算错的同学运算，他也能正确地把这道题算出来。
由于，我平时在四则运算的教学中，比较注重师生间的互动，重视学生积极探索获取新知识的过程，学生对运算的法则掌握得很好，因而很少在学生出现运算顺序方面的错误。 4、几何图形公式推导“互动——探究式”教学研究 背景意义：
传统数学教学，对于几何图形面积公式，体积公式的学习，存在着轻过程推导，重结论议忆的通病。教师往往强调学生去死记硬背公式、学会套用公式。这种填鸭式的教学方式，势必制约学生对数学问题的探究能力的发展。而“互动——探究式”学习模式，则与之相反它强调学生要亲历数学问题的探究过程。强调掌握通过师生、生生“互动——探究”获取新知识。有利于学生创新思维发展与实践能力的培养。 案例1、三角形面积计算式的“互动——探究“。 （1）明确探究目标，提出要探究的问题： 目标：三角形面积公式的推导。
（2）教给学生探究学习的方法与策略。
1）让学生数格子，获得三角形面积大小的概念。
将底为5cm，的透明三角形，和每格为1的透明方格纸，重叠起来，放在幻灯机或实物投影仪上显示给学生观察，并让学生数一数它的面积是多少平方厘米（不满1格都按半格计算）。学生汇报：10格，即10平方厘米。
2）让学生剪两个完全不一样大小的三角形（底为5cm，高为），看看能拼成什么图形。 高4cm
高4cm
底5cm 底5cm
（平行四边形） （长方形） 3）请学生用平行四边形、长方形的面积公式计算装拼后的图形面积： s =底×高=5×4=20（cm）2 s =长×高=5×4=20（cm）2
4）引导学生找出三角面积与平行四边形面积公式的关系：
师：拼成后的平行四边形（或长方形）面积比原来的三角形面积多多少？为什么？ 生：多一倍，因为两个三角形面积是完全相等的。 师：那么三角形面积公式应该怎样写？ 生：三角形面积=平行四边形的面积÷2
=底×高÷2 用字母表示为：s =a*b÷2
这样教的最大优点是：学生亲历了公式推导的全过程，特别是对三角形公式中除以2是怎么来的，理解的很透彻。因此在以后使用三角形面积公式时，就不会把“除以2”这个常数漏掉。
案例2、圆锥体积公式的互动——探究 （1）明确探究目标，提 出要探究的问题 目标：圆锥体体积公式的推导 （2）提示探究的思维与方法
1）与学生一起，制作等底等高的圆柱体与圆锥体。 教师示范
a、制作圆锥体：
步骤：首行取8开硬纸片一张，在一角用圆规画出半径为3.5 cm的圆（剪成等大的3个），接着用圆规和量角器、直尺画出来半径为10.6cm，夹角略大于120℃的扇形一个（要留有重叠部分，以便粘事），再接下去将扇形卷起来，底部与事行剪好的圆一样。用胶带纸粘住。最后把底圆装上，用胶带纸粘住（注：不要粘死，可以开启为佳） b、制作与圆锥体等底等高的圆柱体。
（ⅰ）在8开硬纸上画出23×10 cm的长方形，并剪好。 （ⅱ）将长方形卷成圆筒，大小与已剪成的底圆等大。
（ⅲ）将两底装上，用胶带纸粘好（注：一底封死，另一底可以活动）。 2）让学生制作，教师巡视指导/
3）评一评，谁做的精确。（标准，是否等底等高）。 4）让学生观察后填表：
图 形 不 同 点 相 同 点
圆柱体 有（ ）个底面， 有（ ）侧面， 有（ ）条棱 等底等高曲线 圆锥体 有（ ）个面， 底面是（ ），有（ ）个顶点
5）实验操作，推导公式
步骤：第1步 去掉圆柱全的一个底和圆锥体的底。
第2步 用圆锥容器装米或沙，倒入圆柱体容 器中，看装几次装满。
第3步 让学生自己做出总结：圆柱体的体积是圆锥体体积的几倍？（三倍） 即v圆锥体体积=1/3v圆柱体体积=1/3∏r2 h 6）课外延伸：
让学生自动探究等底等高四棱锥体与四棱柱体的体积求积公式关系式。 1、应用题“互动——探究式”教学研究
学生学习数学问题，有一种畏难情绪。然而越是最难学的东西，往往最具挑战性。如果教师引导恰当，学生学习数学的兴趣就会被激发出来，以下是我上的一堂“互动——探究式”应用题教学公开课。学习内容是一道数学应用题思考题，有一定的难度，题目是： 在校园的花坛里，要把7棵小树苗平均种成6行，每行有3棵，该怎么种？
以下是课堂“互动——探究式”过程： 第一步：提出问题，明确目标任务： （1）出示题目：明确探究的问题（略）
（2）谈话导入：我首先告诉学生 ，这是一道很难的就应用，按常规种6行，每行3棵得有18棵树苗，现在只有7棵树苗，还缺11棵。谁要是能做出来，真了不起。我这么一说学生的好奇、好胜心被激发出来了，大家纷纷表示要试一试。我说先别急，我们先来做一些简单的练习。
第二步：教给解题策略，探究解题方法：
铺垫题1：猜一猜，房间里坐着2个爸爸和2个儿子，可是一共只有3个人，你说这是为什么？
学生回答，房间里三个人分别是爷爷、爸爸与小孩，因为爸爸也是爷爷的儿子。
师：对，这个“爸爸”身兼两职，既是爷爷的儿子，又是孩子的爸爸。这是一个数学问题：重叠一次要减去“1”对不对？（对）
铺垫题2：根据上题给我们的启发，现在你能用5个“○”摆成2行，每行摆3个吗？摆摆看，有几种摆法：
学生互动探究后，摆出如下4种不同的摆法。
○○○ ○ ○○○ ○ ○ ○○○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ （1） （2） （3） （4）
教师给予高度赞扬：“真不错，同学们已会运用重叠减‘1’的原理了”（要求将重叠的那棵涂上颜色）
第三步：找出规律，投影显示如下五种摆法： 让学生找出重叠规律：
（1）8个“0”摆两行，没重叠，算式4×2=8（棵）
（2）7个“0”摆两行，重叠1次减“1”，算式4×2-1=7（棵） （3）10个“0”摆三行，重叠2次减“2”，版式44-2=10（棵）
（4）7个“0”摆三行，每行摆3棵，重叠3次减“3”，算式4×4-3=13（棵） （5）4个“0”摆6行，每行2棵，重叠8次减“8”，算式2×6-8=4（棵） 第四步：实践运用，解决问题：
师：前面提出的问题，现在我们可以解决了（幻灯出示题目）
在校园的花坛里，要把7棵小树苗平均种成6行，每行有3棵，该怎么种？
生：（读题）
师：照常规，每行种3棵，种6行，得用几棵树苗？ 生：3×6=18（棵）
师：上面题目中的树苗是7棵，照正常情况栽法还缺少几棵？ 生：18-7=11（棵）
师：那么需要重叠几次？ 生：重叠11次。
师：下面的图，摆法重叠几次？ 生：重叠3次
师：在的 中间摆一“子”，然后用线段连起来会怎样？
生：摆
师：几行？每行几子，重叠几次？ 生：6行，每行3子。 师：计算一下重叠数。
一个顶角重叠2次，三角顶角重叠2×3=6（次） 一个中点重叠1次，三个中点重叠1×3=3（次） 三角形中间点重叠 2（次
合 计 11（次）
小结：我们只要将上图的“○”换成树苗，这节课的问题就解了。解题的思路就是缺几棵就要重叠几次，然后按这个思路去探索摆法。 三、 小学数学学科课程的校本化实施
我国传统的小学数学课程的编写注重知识本位，过于注重知识结构的完整性、系统性、逻辑性、权威性。其学习方式主要采用的是“接受性学习”方式，不利于学生的个性发展和创新意识的培养。而现在推广使用的，采用新课程标准编写的教科书，体现“人”的本位理念。即以人的认识规律、人的生命发展为依据进行编写的。
在全面贯彻、实施新课程标准体系的今天，如何对国家课程、地方课程进行拓展与补充，即国家课程的校本化实施，是我们要花大力气去研究的当务之急的课题。2002年下半年起，我们就已着手对此课题进行研究，并形成了自己的小学数学“研究性学习”的校本化实施的教学特色。我们小学数学学科课程的校本化实施归结于如下几种类型： 1、“发掘型”研究性学习校本课程开发 “发掘型”研究性学习是指在国家课程与地方课程中，发掘可供学生进行研究性学习的题材的一种开发策略，这类题材教材书中随处可以找到，具有很强的可操作性。如《义务教育课程标准实验教科书》一年级上册第5单元：“分类”，就有很多“研究性学习”的因素在里面，教师应当很好地加以开发与利用。
“分类”问题，实质上就是运用概念进行归类的问题，进行“分类”训练，有利于学生思维的条理化。
本节内容没有多少文字说明，只有几幅彩图而已。第一幅图，画着：一位妈妈带孩子逛超市，超市里面摆放得很有条理，如笔、书包等文具都是“分类”而放的，这样便于找货、取货。
其他彩图有学具、水果、衣服杂物、玩具、鲜花等，只要求学生“分一分”、“摆一摆”、“说一说”、“涂一涂”，难度不高，学生在玩一玩中即可学会。 但其中一幅彩图就难分了。这幅图画的是一个公园，门口有一售票处，有9个人要进公园（见彩图）
彩 图
怎样对这9个人进行分类，可以有不同的分法。在教学中，教师没有直接告诉学生，而是引导学生根据自己的生活经历，给这些人分类。 首先，教师问学生：“小朋友，你去过公园玩吗？（生：去过）到了公园门口首先要做什么？（买票），有几种票价？（成人票、儿童票）。你打算怎样给这些人‘分类’？（生有的说按票价分类，即买童票的人为一类，因为他们都是儿童，买成人票的也为一类，因为他们都是大人了。接着有的学生说：还可以以身高来分，不到1米就不用买成人票了。”还有的同学说：“还可以按性别分，女的有6人，男的才3人。”还有的学生说：“可以按家庭分，因为他们都是三口之家，可分为三家。”…… 2、“拓展型”研究性学习
“拓展型”研究性学习，指教科书中虽无明显提出让学生去探究的问题，但执教者为突破教科书中的重点与难点而有意设置的一些问题，让学生去探究的一种学习策略。
在一堂“求相同加数和”的乘法应用题练习课上，朱炎迪老师向学生出示两道拓展型应用题目：
第一道：建设小学有两排教室，每排有4个教室，一共有几个教室？
第二道：新民小学有2排教室，一排有4个教室，另一排有5个教室，一共有几个教室？
这一练习设置，主要是让学生探究这两道题计算方法上的差异。即第一道题是“求相同加数和”的问题，计算方法用乘法：即4×2=8（个）。而第二道题，并不是求相同加数的和的问题。计算方法应该是4＋5=9（个） 但在实际探究过程中，却有学生发现第二题也可以按“求相同加数的和”的乘法应用题来解。 即4×2＋1=9（个）他还把图画出来：
第一排：
第二排：
受到他的启发学生又想出三种方法 ①5×2=10（个） 10－1=9（个） ②2×4=8（个） 8＋1=9（个） ③2×5=10（个） 10－1=9（个） 3、“操作型”研究性学习
“操作型”研究性学习，是指学生通过动手操作，化抽象为直观，去研究一些数学问题。 义务教材课程标准实验教材一年级上册第102页，有一道图文结合的应用题（见书上插图） 排队时，站在我前面有9人，站在我后面有5人，一共有多少人？
一些粗心的孩子会不假思索地说“9＋5”=14人。怎样引导学生去研究这道题呢？我的做法是先让学生摆一摆学具，要求学生明白，“我”在不在前9人或后5人之列，“一共”中包不包括“我”在内等问题。 然后，我用课件显示：一个红圈代表“我”，蓝圈代表站在我前面的同学，黑圈代表站在“我”后面的同学，如下图：
○○○○○○○○○●○○○○○
接下来，让学生数一数，一共有多少人？ 学生列式：9＋1＋5=15人
这道题的难点就是一个“我”字，这个“1”该不该加进去。这个问题就是小朋友们这节课要研究的问题，对于小学一年级刚刚入学的同学来说，理解起来会有一点困难，但只要通过摆一摆，学生就不难理解了。 4、“演示型”研究性学习
在几何图形的认识，公式推导的研究过程中，常常用到“演示”的方法，帮助学生开展研究性学习，以下是我校王淑珍老师在教“圆的认识”一课时，尝试“研究性学习”的教学案例： （1）创设情景：
课件显示，没装轮子的小汽车（两辆） 师：同学们喜欢玩小汽车吗？（喜欢）
你们看，屏幕上的小汽车缺少什么？（轮子）
（2）课件演示：给两辆小汽车装不同的轮子（一辆为长方形轮子，一辆为圆形轮子）并开动。
师：刚才教师给两辆车子安装了不同形状的轮子，你们观察哪一辆车子开得稳？ 生：（圆轮子开得稳）
师：为什么？（把研究的问题抛给学生） （3）学生探究
a 量一量：长方形和圆形的中心点到边缘的距离。
b 学生发现：长方形的中心点到各边上不同点的距离是不等的，圆心到圆周上的任意一点的距离（半径）都是相等。 学生通过这样的探究，这节课，认识圆的重点与难点即什么是圆心与半径以及圆的特征等问
题都迎仞而解了。
四、“数学生活化”综合实践活动的开展
早在2001年，我们就开展有关数学生活化课例研究和社会实践型研究性学习小课题研究（相当于现在的综合实践活动课）。其活动形式是：让学生参与社会实践活动，获取有关数据（如市场调查数据、生态环境数据、社会调查数据等），并制成统计表，用数学的方法分析数量间的变化，作出了某种判断或得出某种结论，最后撰写探究小报告或数学日记、小论文等。
1、一堂数学综合实践活动课
以下是我校郑静老师与学生一起搞的一个数学研究学习小课题——《关于温州市区超市商品价格调查及经营策略分析研究》。其主要过程如下：
1、准备阶段；帮助学生选择研究小课题，并制订实施计划
（1）选题：师：你们常逛超市吗？逛超市也可以学到许多学问呢！我们可以对各大超市的商品的种类价格进行调查，帮助与指导消费者如何省钱，从中，我们还可以学到一些经营之道，这样的事你们愿意不愿去做？
（2）帮助学生制订详细的调查研究计划，教会学生处理一些简单的数据的方法，如怎样制统计表，怎样进行百分比计算等。
2、组织学生成立研究小组，分头开展调查
11月20日，郑老师让学生自愿组合，成立了“探索小组”、“阳光小队”、“灿烂小组”等5个研究小组，以小组为单位利用秋游购物的时机，到市区好又多、人本、天客隆等超市进行调查。
3、上研究性学习课：比较各大超市的商品价格及销售情况
先由各队汇报调查结果，下面以探索队的调查研究为例加以说明。 a、探索小队汇报：
我们小队调查的是温州市区超市的食品价格。调查的超市有：“好又多”、“人本”、“好邻居”，调查的食品有“妙脆角”、“口香糖”、“冰红茶”、“上好佳”、“奇多”等，出示统计表
食品名称
超市名称 妙脆角 口香糖 冰红茶 上好佳 奇多 康师傅咸味饼干 好又多超市 3.7元 1.5元 1.5元 2.6元 1.5元 2.8元 人本超市 3.5元 1.5元 1.5元 2.6元 1.5元 2.6元 好邻居超市 3.5元 1.2元 1.3元 2.5元 1元 2.8元
b、师生共同分析数据，得出结论
师：探索小队调查的数据很详实，统计表设计也好，但还没有数据分析，请你们小组派一个人说说你们调的数据能说明什么？
生：我们小队，通过调查发现：好又多大商场的商品价格并不是最便宜，如“妙脆角”就比人本、好邻居超市同类商品的价格高14%，但去好又多超市购物的人还是最多的。因为这里商品种类多，购物环境好，而且全市仅此一家。“人本”超市有好多家，但商品没有好又多齐全。
师：从中你们知道这家超经营理念有什么不同吗？
生：“好又多”的经营理念是以“大”、“全”、“优”取胜。“人本”超市的经营理念是
网点多取胜，这样方便群众，而好邻居超市，规模较少，又地处较偏点的地方，房租便宜，商品成本相对较低，价格有优势，它是以价廉物美取得消费者的信任。 其他小队汇报大同小异（略）
从这节课中，我们发现学生已具备一定的研究能力，他们调查十分深入，统计数据详实，分析问题很有深度，听课的老师都深有感触地说：“现在的孩子真不简单。” 2.学生在生活中发现了数学问题与研究日记
在“数学生活化”综合实践活动中，我们要求学生做生活的有心人，及时发现身边的数学问题，并运用学过的数学知识去研究和解决这些问题，建议用日记的形式写出来，我们称之为数学生活化研究性学习日记。此项活动历时一年，共收到学生撰写的生活化数学日记达千篇，现已将其中最优秀的80余篇汇编成书，取名《在数学中学数学》主要栏目有：“装修学问”、“促销学问”、“购物学问”、“测量学问”、“理解问题”、“问题探索”、“调查研究”等栏目。以下是其中几篇较有代表性的作品： [案例1] 铺 地 砖 的 学 问 六（5）班 杨 帆
这几天，我家的新房正在装潢。早上，爸爸和妈妈准备上街去采购地砖。
临走前，妈妈对我说：“杨帆，你来算一算，我们家的客厅该用何种规格的地砖既美观又经济实用，要买多少块？”这下我可傻了，说：“这可怎么算呀？我可不知道。”爸爸说：算法并不太难。首先要算出客厅面积，再算出一块瓷砖的面积，然后将客厅的面积除以一块瓷砖的面积得数就是需要瓷砖的块数，不过这是理论上的算法实际可能不是这样，你去研究研究吧！噢，对了，我得告诉你，我们家的客厅是长方形的，长4.4米，宽4米，瓷砖的规格有45㎝×45㎝、60㎝×60㎝、100㎝×100㎝三种规格，它们的价格分别为每块15元、30元、80元。你要算出用那一种瓷砖浪费最少？共需要花多少钱？ 我的计算：客厅面积=4.4×4=17.6（平方米）
使用0.45×0.45规格，长需要块数=4.4÷0.45=9.78≈10（块） 宽需要块数=4.0÷0.45=8.9≈9（块） 客厅共需瓷砖=10×9=90块， 计人民币15×90=1350（元） 使用0.6×0.6规格：
长需要块数=4.4÷0.6=7.3（块）进一法为8块 宽需要块数=4.0÷0.6=6.7（块）进一法为7块 客厅需要瓷砖数=8×7=56（块）， 计人民币30×56=1680元。
浪费面积=0.6×0.6×56－17.6=5.5㎡，如果把废料利用起来，就没有一点浪费。实际只需购买瓷砖49块，计人民币1470元 使用100×100规格：只需要瓷20块，计人民币80×20=1600元，浪费瓷砖面积2.4平方米。 根据我的计算，爸爸终于决定购买0.6×0.6规格的瓷砖，因为它浪费少，造价适中，又美观。
[案例2] 装修中的数学奥秘 六（5）班 夏 冰 学校要装修，老师要求同学们各自设计一份粉刷装修计划书参加招投标，并提供有关装修面积方面的资料如下，要同学们帮学校计算装修教学楼的费用。 教 学 楼 各 处 面 积 统 计 表 项 目 实际粉刷面积
（平方米） 数 量 （个） 总 计 （平方米） 合 计 （平方米）
教 室 103 34 3502 4336 大办公室 67 3 201 小办公室 43 12 516 宿 舍 39 3 117
下面是厂家提供的粉刷油漆、价格与有关参数：
美斯环保漆：无毒、清香、易清洗、甲醛含量低于国际标准。
大桶：320元 可粉刷面积80平方米；小桶：118元 可粉刷面积25平方米。
龙牌纳米漆；能有效抑制细菌生长，分解空气中的臭味，清新空气，不含甲醛，是绿色环保产品。大桶：460元，可粉刷面积80平方米；小桶：32元，可粉刷面积5平方米。 丝光乳胶漆：环保型、无异味、易清洗、丝绸般感受，亮度中等。 大桶：280元，可粉刷面积80平方米。 小桶：66元，可粉刷面积16平方米。
我们回去后在家里设计了各自的装修计划书，第二天，同学们上交自己的装修计划书参加投标，在招标会上：
a组同学说：“我们组准备买龙牌的大桶油漆，因为它很环保，购买龙牌大桶漆需要：4336÷80=54.2（桶）。因为商店只卖整桶，买54大桶肯定不够，所以要买55大桶。材料费：460×55=25300（元），工资另外算。”
b组同说：“我们组选的油漆品牌与a组相同，但购买方式不同，因为4336÷80=54（桶）……16（平方米）。余下的16平方米用大桶刷太浪费，因为一大桶可以刷80平方米，所以余下的16平方米用小桶刷，即16÷5=3.2≈4（桶）（注：1小桶可以刷25平方米）。所用材料费：460×54+32×4=24968（元）。这样计算的材料费比a组要少花费332元。” c组同学说：“我们组准备使用美斯环保漆，它的甲醛含量低国际标准，对人体也是无害的，而且平方米粉刷的成本只要320÷80=4.72（元），而龙牌每平方米成本需要6.4元。这样可以节省4336×(6.4-4.72)=7284.48（元），总共只须花4336×4.72=20465.9（元）。” d组同说：“我们组决定买丝光乳胶漆，它也很环保，只要（购买4336÷80=54.2大桶，1小桶即可，没有一点儿浪费。总共只用280×54+66×1=15186（元），比买龙牌漆少9782元，比买美斯环保漆少花5279.9元。
经过讨论，大家认为d组的方案最好，d组中标了。
[案例3] 商 家 促 销 的 学 问 六（5）班 潘晨晨
“五一”放假期间，我和阿姨一起去逛街看热闹。
我们来到五马街，街上人山人海，最引人注目的是几家商店打出“打折大削价”的招牌，原价每件35元30元的现价25元20元。店里摆满了各种各样的衣服、裤子，顾客们挤来挤去在选购自己的衣服，有的人见有便宜，一次就买了好几件。阿姨也挤进去选了两件给我，一件给奶奶。阿姨告诉我，这三件衣服比原价便宜了30元，我听了也很高兴。但我有点搞不懂，商店里这样打折削价，会不会亏本呢？是不是这些衣服质量不好呢？阿姨告诉我：“这是商家做生意的本领，尤其是在节假日期间，抓住这个机会，进行打折、降价促销招引各方
顾客，做活生意，这是最普通的促销手段”。听了阿姨的话，使我懂得了一些道理，但我还是不懂，明明摆着每件衣服降价10元钱，如果卖掉越多，亏钱就会越多，怎么还会赚钱呢？ 回到家里，阿姨给我讲一个例子：有一家玩具店，每件玩具的成本为5元，如果每件卖10元，一天可以卖100件，那么商家一天的毛利就是500元。如果现在每件只卖8元，但一天可以卖200件，这样一天的毛利便是600元。可见降价后该店的毛利润不但没有减少，反而增加了100元。这是为什么呢？这就是“薄利多销”的道理。
所谓“薄利”是指由降价导致每一件商品的利润减少；“多销”是指通过降价提高销售量，从而提高总利润。当我们面对同一种类，质量相同的商品时，总愿意购买价格低的那一种。因此，商品价格往往能使销售量大大提高。只要销售量提高所带来的利润大于降价的损失，总利润就会增加。所以，在从事商品买卖中，价格和销售量总是结合起来考虑的，不仅要看到单位利润，更应重视总利润，因为人们的目标是实现总利润最大。所以，一般的打折降价是不会使商家亏本的。
听了阿姨讲的例子，使我懂得了：做生意很难，赚钱更难。想做活生意，想赚更多的钱，一定要开动脑筋想办法，有本领才能做好生意。
[案例4] 服装店里的折扣问题 六（5）班 赵 敏
现在许多成衣服装店里的服装有的打折，有的买到了一定的额度，送一些免费券给你，促销方式是五花八门。
一天，妈妈带着我和表姐去买衣服。
我们来到一家叫甜蜜儿服装店，表姐看中了一条海蓝色的裙子，妈妈问店主：“请问这条裙子要多少钱？”店主说：“这条裙子原来要275.6元，现在打了8.5折。只用234.16元”妈妈对表姐说：“小谣，这儿的衣服挺贵的，我们到别的地方再看看，有没有这条裙子。”表姐说：“好啊，没问题。”表姐爽快地答应了。
我们又逛到了凤凰服装店，我们进去一看，凤凰服装店也有那种款式的裙子，原来要280元，现打7.5折，只要210元 后来，我们还去了好几家服装店，也有这款裙子，但价格各不相同。我为此列了一个统计表： 店名
价格 甜蜜儿 凤 凰 时 尚 翡 翠 雪 歌
标 价 275.6元 280元 283.5 304元 277.4元 打 折 8.5折 7.5折 8折 8折 8.5折
现 价 234.26元 210元 226.8 243.2 235.8
用条形统计图表示：
240元 （价格） 较便宜
230元 便 宜
220元 最便宜
甜蜜儿 凤凰 时尚 翡翠 雪歌(店名) 用条形统计图与折线统计图表示：
240元 （价格） 较便宜
230元 便 宜
220元 最便宜 甜蜜儿 凤凰 时尚 翡翠 雪歌(店名) 从这几个统计表中，我们可以知道在凤凰服装店里买裙子最便宜了，而在翡翠服装店里买裙子最贵。
通过这次实地考察使我懂得：只有“货比三家”，我们才能买得到价廉物美的商品。
[案例5] 雪灾对蔬菜价格的影响调查 六（5）班 戴建远
朋友，你有买过菜吗？你一定对菜的价格很关心吧。最近，菜场里的蔬菜价突然高涨，这到底是怎么回事呢？为了知道这是怎么一回事，于是我和妈妈一起去菜场里调查了。
来到了菜场，我们先去调查一下蔬菜的批发价格，请看下面的统计表：(除不尽的百分号前保留一位小数)
从统计表中，可以看出蔬菜价格的明显上涨。那到底是什么原因使蔬菜的价格上升那么多呢？于是,我们又展开了调查。
我们问了几位买蔬菜的阿姨，她们都说，是星期六那天下得大雪造成的。哦，原来是星期六那天的雪下得不是时候，把大部分的蔬菜给活活地冻死了，只剩下少量蔬菜。蔬菜的数量一减少，蔬菜的价格自然就会上涨。我想：那天下得雪那么大，一定会有很大的经济损失。既然来到这里，不如我们再调查一下，不用再跑来跑去。于是，我和妈妈调查了大雪带来的其他损失。
经过调查，果然不出我所料，那大雪带来的损失是非常大的。 在那次大雪中，最惨是茶农。大雪给我市的茶叶生产，特别是早茶的生产带来了极大的伤害。我市有早茶11万多亩地，其中最多的是永嘉，达4万多亩地。本来，这个时候是早茶采摘的时候，可下了大雪使刚生长出来的嫩牙都冻坏了。我爷爷的茶山上的茶全部遭殃。
另外，大雪使路面上的一些路段结冰，造成许多车祸，但好在没有造成死亡。可是，给车辆的通行造成了很大的不便。
这场大雪，虽然给我们同学带来了快乐，但同时也给我们带来了悲伤，给农林生产造成的损失达5、6个亿，使无数的农民只有劳动，而没有得到收获。
[案例6] 汽油价格的调查报告 六（2）班 李 妍 调查目的：
最近，市场上的汽油价又节节攀升。不同的汽油价增价幅度也不一样。对此，我和爸爸去加油站做了一番调查。 调查内容：
1、首先，我们去询问了90号汽油的价格。工作人员告诉我们，90号汽油一般都是摩托车来加油量居多。因为，调价前单价为3.42元/升，提价后变成了3.65元/升。如果把油箱加满，提价后每升要多付0.23元，涨幅为6.7%。
2、93号汽油一般为汽车加油量居多。因为它清洁度比90号柴油要高。提价前价格为3.45元/升，提价后变成了3.69元/升。每升上涨0.24元，涨幅为__1.0_%。
3、现在有种98号汽油，其沉淀物占汽油比例的5%，清洁度非常高。但其价格很高，一升要4.42元，只适合高档型私家车使用。
结论：从上述可看出98号汽油价最贵，提升前是3.84元一升，提价后为4.42元，上调幅度最大。93号汽油位居第二。工作人员还告诉我们，因为温州的经济迅猛发展，市民们的生活水平也大大地提高了。温州有车一族越来越多，90号汽油可能会逐渐淡出市场。
成效与体会
本课题研究历时三年，基本上完成了预期的研究目标，三年来，课题组成员的教学观念、教学行为发生了可喜的变化，学生的独立探究意识，探究能力得到了培养。 一、 成效
（一）教师的教育教学观念发生深刻变化 本课题研究实施前，许多数学老师总认为小学生特别是小学低年级学生是不具备自主探究能力的，许多题目教师教了又教，总有许多学生没学会，独立开展研究性学习是根本不可能的事。但，通过本课题研究后，许多数学教师改变了这种看法，只要教师认真悉心培养，小学生是能够开展研究性学习的。由于研究性学习的某些内容书本上是没有的，教师并不具备先知性。因此，教师与学生在探究未知知识或结论时，是处于同一条起跑线上。因此，教师与学生在探究过程中应该是平等的合作者。教师要尊重学生的发现，给学生更多激励。 （二）教师的教学行为发生了深刻的变化
为了证明本课题研究对教师课堂教学观念行为转化的影响。我们对三至六年级的十位数学老师进行各课听课调研。时间单册教材前测为2002年10月，后测为2003年10月，双册教材前测为2003年4月，后测为2004年4月。教学内容为相同教材。调查项目：1、有无探究性学习目标；2、情景创设能否激发学生的探究欲望；2、教师是否重视对学生探究学习策略的指导；4、探究的途径是否多样性；5、学生探究是否主动；6、学生是否具备一定的探究能力等六个方面。现将统计数据列表如下： 表ⅰ，师生研究性学习意识行为调查表 时间
调查项目 前测（单册）
(2001.10) 后测（单册） (2002.10) 前测（双册） (2002.4) 后测（双册） (2003.4)
探究目标 目标明确占
30% 目标明确占90% 学生能自定探 究目标占50% 学生能自定探 究目标占75%
情景创设 能激励学生探 究占50% 能激励学生探 究占80% 能创设问题探 究情景占70% 能创设问题探 究情景占90%
探究策略 重视策略指导 占31% 重视策略指导 占76% 学生掌握探究 策略占40% 学生掌握探究 策略占55%
探究途径 学生探究途径 2种以上10% 学生探究多样
性2种以上占50% 会用两种探究
办法占30% 会用2种以上探究办法占68%
主动参与 参与面占15% 参与面占50% 参与面占70% 参与面占87% 探究能力 不能独立解决 问题 基本能解决要探 究的问题 基本能解决课 堂提出的问题 创造性地解决 问题
从上表中，我们可以看出教师的探究性学习目标意识提高了60%，在教学中，重视对学生的学习策略指导，较前测提高了45%，课堂教学对学习情境的很重视，较前测提高了30%。 （三）学生初步养成了自主探究数学问题的习惯
中段学生课堂主动参与探究占50%较前测提高30%，高段学生较前测提高17%。
据问卷调查显示，六年级实验班级89%的学生喜欢在学习数学新授课之前自主预习的习惯，81%的学生喜欢上数学课时，老师能给他们独立思考的机会。 （四）学生初步掌握了自主探究的学习方法及运用已学过的数学知识去解决生活中实际问题的能力
中段学生有50%的学生能用2种以上的方法探究数学问题，较前测提高40%，高段学生有68%的学生能运用2种以上的方法探究学习问题，较前测提高38%。 从学生撰写的研究性学习案例报告及在生活中学数学的日记中，我们可以看出，学生已学会了怎样搜集数据，并初步掌握了数据统计及分析等研究方法。如三年级的学生学会运用百分率，求出种子的发芽率，植树的成活率等问题，四年级的学生会利用网络查找、下载资料，五、六年级的学生会运用统计表、折线统计图，条形统计图，扇形统计图，对数据进行处理。
（五）主要研究成果
1.《小学研究性学习案例》由少年儿童出版社出版，学生撰写的各类研究小课题报告103篇，其中与数学关系密切的20余篇。
2.《在生活中学数学》——小学数学综合实践活动成果集，已编成书，这是学生数学研究性学习的最新成果，也是我校学生数学生活研究性学习水平的一次大检阅。 二、体会
（一）正确理解“研究性学习”的涵义是实施的关键 “研究性学习”是相对于传统的接受性学习而提出的一种新的学习方式，它强调学生的学习是一种主动思考，发现和解决问题的过程。“研究性学习”在小学数学中的实施，主要是指：学生在教师指导下，用类似于科研人员研究的方式去主动获取知识，应用知识，解决问题。并引成一定的思想方法的学习过程。由此看来“研究性学习”就低年级数学教学而言，不一定非要什么研究课题不可，不一定要走出课堂，那只是一种形式，只要我们把上述教学理念付诸于日常教学中，也能体现“研究性学习”的宗旨。但我们也不要太保守，以为小学生没有能力“开展小课题研究”。实践证明，中高年级的学生在老师与家长的帮助，是完全有能力开展数学小课题研究的。
（二）创设一定的教学情景是实施研究性学习的条件 因为任何一种研究总是在一定的情景下进行的。只有在一定的情景下，人的探究欲望才会被激发出来。例如五（2）班学生吴抒意同学对“我市有多少人在使用公交ic卡”，就是在老师倡导同学开展社会调查这一情景下开展的。
（三）提供开放性的学习材料是实施“研究性学习”的保证
让学生进行“研究性学习”必须有一定的载体。而开放性学习材料，则是开展研究性学习的有效保证。如上面已提到过的“分类”，教材为学生提供可按不同标准进行分类的材料（如彩图，几何图形、学具等）。
（四）开展小组互动是实施“研究性学习”的有效途径
在实施过程中，我们发现：凡是研究性学开展的好，且有成果的班级，他们都成立了“研究性学习小组”，什么“探索小队”、“飞翔小队”、“阳光小队”、“特别行动小队”等。因为“研究性学习”需要团队精神。 问题与思考
一、本课题研究，主观上力求在理论和实践两个层次面展开研究，但在理论方面没有新的发现与突破，仅将近几年组织教师学习、培训的资料加梳理而已。但对我们课题组成员中的每个人来说，教科研理论水平还是提高了不少。我们认为我们的实践研究工作还是卓有成效的。不仅在数学课堂探究性学习方面较为深入细致地研究，而且在数学学科课程校本化实施方面、数学生活化综合实践研究方面，进行大胆有益的尝试。这是课题研究的亮点所在。这些内容并没有写入当初的研究方案之中，是后来在实践中不断补充的。原方案中研究体系过于繁琐，有些甚至是相类似的，所以改动的较大。
二、研究工作还仅仅停留在做的层面上，有些做法还没有提高到理论的高度。如数学生活化问题研究，仅只有学生的成果，教师是怎样引导学生开展这一活动，这一活动对学生意识研究性学习培养与能力发展有何意义等问题，我们都没有涉及过。有待于今后继续探索。 三、数学研究性学习与其它学科的研究性学习如何整合，如何做到研究活动不增加学生的负担等问题，有待于今后讨论与研究。
参考文献
[1]查有梁《交流——互动教学建构》课程 教材教法2001年（4）（5）期 [2]杨永华《数学专题探究课型的思考》发表与《教育研究》2001年1月
[3]刘琴华 《小学数学研究性学习策略》 常州工学院理学院 数学s99(2) 2004-11-23 [4]王瑞池 《“小学数学课堂教学研究性学习”教学模式初探》清河县教育局教研室
店名 价格 甜蜜儿 凤 凰 280元 7.5折 时 尚 283.5 8折 226.8 翡 翠 雪 歌 标 价 275.6元 打 折 8.5折 304元 277.4元 8折 243.2 8.5折 235.8 现 价 234.26元 210元 教 学 楼 各 处 面 积 统 计 表
项 目 教 室 大办公室 小办公室 宿 舍 实际粉刷面积 （平方米） 103 67 43 39 数 量 （个） 34 3 12 3 总 计 合 计 （平方米） （平方米） 3502 201 4336 516 117
表ⅰ，师生研究性学习意识行为调查表
时间 前测（单册） 后测（单册） 前测（双册） 后测（双册） 调查项目 探究目标 (2001.10) 目标明确占 30% (2002.10) (2002.4) (2003.4) 目标明确占90% 学生能自定探 学生能自定探 究目标占50% 究目标占75% 情景创设 能激励学生探 能激励学生探 能创设问题探 能创设问题探 究占50% 究占80% 究情景占70% 究情景占90% 探究策略 重视策略指导 重视策略指导 学生掌握探究 学生掌握探究 占31% 占76% 策略占40% 策略占55% 探究途径 学生探究途径 2种以上10% 学生探究多样 性2种以上占50% 会用两种探究 办法占30% 会用2种以上探究办法占68% 主动参与 参与面占15% 参与面占50% 参与面占70% 参与面占87% 探究能力
不能独立解决 基本能解决要探 基本能解决课 创造性地解决 问题 究的问题 堂提出的问题 问题 项目 原 价 名称 包菜 大白菜 丝瓜 花菜
现 价 现价比原价多的元/千克 0.80元 0.90元 4.40元 1.40元 百分数 100% 50% 46.7% 27.3% 元/千克 0.40元 0.60元 3.00元 1.10元 要同学们帮学校计算装修教学楼的费用。
教 学 楼 各 处 面 积 统 计 表
项 目 教 室 大办公室 小办公室 宿 舍
实际粉刷面积 （平方米） 103 67 43 39 数 量 （个） 34 3 12 3 总 计 合 计 （平方米） （平方米） 3502 201 4336 516 117 食品名称 妙脆角 口香糖 冰红茶 上好佳 奇多 康师傅咸味饼干 超市名称 好又多超市 3.7元 1.5元 1.5元 人本超市 3.5元 1.5元 1.5元 好邻居超市 3.5元 1.2元 1.3元
2.6元 1.5元 2.8元 2.6元 1.5元 2.6元 2.5元 1元 2.8元 第一排：
第二排：
○○○ ○ ○○○ ○
○ ○○○ ○ ○○○
○ ○ ○ ○
（1） （2） （3） （4） 图 形 圆柱体 不 同 点 有（ ）个底面， 有（ ）侧面， 有（ ）条棱 相 同 点 等底等高曲线 圆锥体
有（ ）个面， 底面是（ ），有（ ）个顶点 学生判断 能整除 能除尽 除不尽 错误率（%） 题目 20÷4=5 2.4÷6=0.4 3÷10=0.3 10÷3=3……1 38÷5=7……3 4.8÷1.2=4
50人 0人 0人 0人 0人 0人 26人 50人 50人 0人 0人 50人 0 0 .0 50 50 0 24 0 0 0 100 0 自然数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
约 数 1 1、2 1、3 1、2、4 1、5 1、2、3、6 1、7 1、2、4、8 1、3、9 1、2、5、10 1、11 1、2、3、4、6、12 1、13 1、2、7、14 1、3、5、15 1、2、4、8、16 1、17 1、2、3、6、9、18 1、19 1、2、4、5、10、20 约数个数 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6 店名 价格 甜蜜儿 凤 凰 280元 7.5折 时 尚 283.5 8折 226.8 翡 翠 雪 歌 标 价 275.6元 打 折 8.5折 304元 277.4元 8折 243.2 8.5折 235.8 现 价 234.26元 210元
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容