中考试题二次函数中的面积问题课后练习二及详解

学科：数学

专题：二次函数中的面积问题

重难点易错点解析 题面：已知抛物线y32xbx63经过A(2，0)． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为2点B．求b的值，求出点P、点B的坐标； 金题精讲

题面：如图，经过原点的抛物线y= x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP.

(1)当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

(2)当m>1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？

(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.

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满分冲刺

题面：如图，在平面直角坐标系中，直线y1x2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线31yx2bxc的图象过点E(－1，0)，并与直线相交于A、B两点．

2(1)求抛物线的解析式(关系式)；

(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．

思维拓展

题面：如图，已知二次函数L1：y=x24x+3与x轴交于A．B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．

(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)研究二次函数L2：y=kx24kx+3k(k≠0)．

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；

③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

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课后练习详解

重难点易错点解析

答案：b43，顶点P的坐标为(4，23)；点B的坐标是(6，0).

详解：∵抛物线y32xbx63经过A(2，0)， 2∴3222b630，解得b43. 232x43x63. 2∴抛物线的解析式为y∵y323x43x63(x4)223， 22∴顶点P的坐标为(4，23).

令y=0，得32x43x630，解得x1=2，x2=6. 2∴点B的坐标是(6，0). 金题精讲

3 (3)存在. 2详解：(1)当m=3时，y= －x2＋6x.

令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6.∴A(6，0). 当x=1时，y=5.∴B(1，5).

∵抛物线y= －x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4.

答案：(1)A(6，0)，BC=4. (2) m=

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(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1) 由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB. 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△ACH∽△PCB. ∴

AHPB. CHBC∵抛物线y= －x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称， ∴BC=2(m－1).

∵B(1，2m－1)，P(1，m)，∴BP=m－1.

又∵A(2m，0)，C(2m－1，2m－1)，∴H(2m－1，0). ∴AH=1，CH=2m－1， ∴

1m13，解得m= . 22m12(m1)(3)存在.∵B，C不重合，∴m≠1.

(I)当m＞1时，BC=2(m－1)，PM=m，BP=m－1， (i)若点E在x轴上(如图1)， ∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP. ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(m-1)=m，解得m=2. 此时点E的坐标是(2，0).

(ii)若点E在y轴上(如图2)，过点P作PN⊥y轴于点N， 易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2. 此时点E的坐标是(0，4).

(II)当0＜m＜1时，BC=2(1－m)，PM=m，BP=1－m， (i)若点E在x轴上(如图3)， 易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2(1－m)=m，解得，m=此时点E的坐标是(

2. 34 ，0). 3(ii)若点E在y轴上(如图4)，

过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0(舍去).

综上所述，当m=2时，点E的坐标是(0，2)或(0，4)，

24当m=时，点E的坐标是(，0).

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满分冲刺 答案：(1) y

1232xx2(2)点C的坐标为, 0. 223；

1x2交y轴于点A， 312xbxc的图象上的点， 2详解：(1)∵一次函数y∴令x=0，得y=2.∴A(0，2). ∵A(0，2)、E(－1，0)是抛物线y3c2b∴1，解得2 .

bc0c22∴抛物线的解析式是：y123xx2. 22COAO. AOPO(2)∵一次函数交ｘ轴于点P，∴令y=0，得x=6.∴P(6，0). ∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴△AOC∽△POA. ∴∵AO=2，PO=6，∴

CO2. 26 - 4 -

∴CO

22. ∴点C的坐标为, 0. 33思维拓展

答案：(1)二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标(2，1). (2) ①见详解②存在，k= ±3③线段EF的长度不会发生变化. 详解：(1)∵抛物线yx24x3(x2)21，

∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标(2，1).

(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质： 对称轴为x=2；都经过A(1，0)，B(3，0)两点. ②存在实数k，使△ABP为等边三角形．

∵ykx24kx3kk(x2)2k，∴顶点P(2，－k)． ∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB=2

要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|=3， ∴k= ±3. ③线段EF的长度不会发生变化.

∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，

∴kx24kx+3k=8k，∵k≠0，∴x24x+3=8.解得：x1= 1，x2=5.

∴EF=x2x1=6.∴线段EF的长度不会发生变化.

初中数学试卷

金戈铁骑 制作

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