【学习目标】
1. 通过观察、分析、总结等一系列过程,经历探索数量关系,并运用代数式表示规律,通过运算验证规律是否正确的过程;
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系,能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确;
3.通过动手操作、观察、思考,体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程. 【要点梳理】
要点一、规律探索型问题常见类型 1、数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.
要点诠释:由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律,再用字母表示,最后加以验证. 2、图形规律
根据一组相关图形的变化,从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种,一种是数图形,将图形转化成数字规律,再用数字规律的解决问题,一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律.
要点诠释:图案、图表具有直观、形象、简明,包含的信息量多等特点,解决此类问题需要把“形”转化为“数”,考查数形结合的数学思想. 3、数表规律
解决本题的方法一般是先看行(或列)的规律,再以列(或行)为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看,再整体找规律.
要点二、规律探索型问题解题技巧 1、抓住条件中的变与不变
找数学规律的题目,都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律,多数情况下,是指
变量的变化规律. 所以,抓住了变量,就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出,揭示的规律,常常包含着事物的序列号. 2、化繁为简,形转化为数
有些题目看上去很大、图形很复杂,实际上,关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析,去粗取精,取伪存真,把其中主要的、关键的内容抽出来,题目的难度就会大幅度降低,问题也就容易解决了. 3、要进行计算尝试
找规律,当然是找数学规律.而数学规律,多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此,找规律,在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以,从运算入手,尝试着做一些计算,也是解答找规律题的好途径. 4、寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律,找到了事物的循环规律,其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】 类型一、数式规律
1.在下列数列里,写出后面两个数:
(1)1,10,3,13,5,16,7,19, , ,… (2)2,5,6,10,18,20,54,40, , ,… (3)4,16,36,64, ,144,196, ,…, (4)0,1,2,3,6,11,20, , ,… (5)
2921251591317, ,,,,,,, , ,…. 36912152418211137,. 930【答案】(1)9,22; (2)162,80; (3)100,256; (4)37,68;(5)【解析】
解:(1)这个数列中,奇数位上的数后一项总比前一项多2,偶数位上的数后一项总比前一项多3.
(2)这个数列中,奇数位上数后一项总是前一项的3倍,偶数位上的数后一项是前一项的2倍.
(3)同除以4后可得新数列:1、4、9、16…,很显然是位置数的平方. (4)这个数列中某项的数等于它前面3项数之和.
(5)根据已知得出:符号的变化规律为(1)n1 ,分子与分母的变化规律,分子依次差4
的数,分母是依次差3的数,进而得出第n个数分子的规律是(4n-3),分母的规律是3n,进而得出这一组数的整体的变化规律.
【总结升华】(1)(2)(4)的第n项不容易用一个代数式表示出来,(3)的第n项为4n2,(5)的第n项为(1)举一反三:
【变式】(包头)观察下列各数:1,,,数为( ) A.
B.
C. D.
,…,按你发现的规律计算这列数的第6个
n14n3. 3n【答案】C
解:观察该组数发现:1,,,
,…,
第n个数为,
当n=6时,==.
2.(丰县校级期中)我们知道简便计算的好处,事实上,简便计算在好多地方都存在,观察下列等式:
152=1×2×100+25=225,252=2×3×100+25=625,352=3×4×100+25=1225,… (1)根据上述格式反应出的规律填空:952= ;
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,请用一个含a的代数式表示其结果; (3)这种简便计算也可以推广应用:个位数字是5的三位数的平方,请写出1952的简便计算过程及结果.
【思路点拨】(1)观察给定等式,发现变化规律“等式左边为15右边为1×2,等式左边为25右边为2×3,等式左边为35右边为3×4”,依此规律即可求出952的值;
(2)结合(1)的发现,总结出规律“(a5)2=a×(a+1)×100+25=100a(a+1)+25”; (3)将(2)的规律延伸,即可依照规律得出结论. 【答案与解析】
解:(1)观察:152=1×2×100+25=225,252=2×3×100+25=625,352=3×4×100+25=1225,…,
发现:等式左边为15右边为1×2,等式左边为25右边为2×3,等式左边为35右边为3×4,∴952=9×10×100+25=9025. 故答案为:9×10×100+25=9025. (2)根据(1)的规律得出结论:
(a5)2=a×(a+1)×100+25=100a(a+1)+25. (3)结合(2)的规律可知:1952=19×20×100+25=38025.
2=a×【总结升华】本题考查了规律型中的数字的变化类,解题的关键是找出变化规律“(a5)
(a+1)×100+25=100a(a+1)+25”.解决该题型题目时,根据给定等式子的变化,找出变化规律是关键. 举一反三:
【变式】观察下面组成的图案和算式,解答问题: 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42; 1+3+5+7+9=25=52;
(1)请猜想1+3+5+7+9+…+19= ;
(2)请猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)= . 【答案】(1)100;(2)(n2). 类型二、图表规律
3.用火柴棒按图中的方式搭图:
2
(1) 填写下表: 图形编号 火柴棒根数 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (2) 第N个图形需要多少根火柴?
【思路点拨】在解此类问题时,方法很明确;就是把图形型问题转化为数字型问题,再从数
字的特点来寻找出规律来解答. 【答案与解析】
解:(1)显然,第一个图形中有3根火柴棒;第二个图形中有9根火柴棒;第三个图形中有18根火柴棒;第四个图形中有30根火柴棒;……,所以填写表格如下: 图形编号 火柴棒根数 (2)
解法一:3=1×3;
9=3×3=(1+2)×3; 18=6×3=(1+2+3)×3; 30=10×3=(1+2+3+4)×3;……
因此,第N个图形中的火柴棒的根数为:(1+2+3+…+N)×3根,即为解法二:3=3;
9=3+6; 18=3+6+9; 30=3+6+9+12;……
因此,第N个图形中的火柴棒的根数为: 3+6+9+…+3N=3(1+2+3+…+N)=
① 3 ② 9 ③ 18 ④ 30 ⑤ 45 ⑥ 63 3N(1N). 23N(1N). 2【总结升华】在数图形的数量时,如能掌握:先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推,数出相应所有的结论,这样做不易重复和遗漏. 举一反三:
【变式】从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段,此时图中共有3个三角形(如图2);若再向它的对边引一条线段,此时图中共有6个三角形(如图3);……依次类推,则第N个图中共有 个三角形?
【答案】
N(N1) 24.(庐阳区二模)将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(m,n)表示第m排、从左到右第n个数,如(3,2)表示实数5.
(1)图中(7,3)位置上的数 ;数据45对应的有序实数对是 . (2)第2n行的最后一个数为 ,并简要说明理由.
【思路点拨】根据如图所示的排列规律,可得每行数字的个数等于行数,而且奇数行的数字都是奇数,偶数行的数字都是偶数.
(1)首先判断出前3个奇数行的数字最大是17,所以第7排、从左到右第3个数是23,即图中(7,3)位置上的数是23;然后判断出前4个奇数行的数字最大是31,进而判断出数据45是第5个奇数行的第7个数,即第9行的第7个数,即它对应的有序实数对是(9,7),据此解答即可.
(2)因为第2n排的最后一个数是从2开始数的第(2+4+6+…+2n)个正偶数,所以第2n行的最后一个数为:2(2+4+6+…+2n)=【答案】23、(9,7)、2n(n+1). 【解析】
解:根据分析,可得
(1)图中(7,3)位置上的数是23;数据45对应的有序实数对是(9,7). (2)第2n行的最后一个数为2n(n+1),
理由:因为第2n排的最后一个数是从2开始数的第(2+4+6+…+2n)个正偶数,所以此数为2(2+4+6+…+2n)=
故答案为:23、(9,7)、2n(n+1).
=2n(n+1).
=2n(n+1),据此解答即可.
【总结升华】此题主要考查了探寻数列规律问题,注意观察总结规律,并能正确的应用规律,解答此题的关键是判断出:每行数字的个数等于行数,而且奇数行的数字都是奇数,偶数行的数字都是偶数. 举一反三:
【变式】(本溪)根据图中数字的规律,在最后一个空格中填上适当的数字.
【答案】738.
提示:8199738.
5.观察下列球的排列规律(其中●是实心球,○是空心球): ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…… 从第1个球起到第2004个球止,共有实心球 个. 【答案】602; 【解析】
解: 这些球,从左到右,按照固定的顺序排列,每隔10个球循环一次,循环节是●○○●●○○○○○.每个循环节里有3个实心球.我们只要知道2004包含有多少个循环节,就容易计算出实心球的个数.
∵2004÷10=200……4,
∴2004个球里有200个循环节,还余4个球.
200个循环节里有200×3=600个实心球,剩下的4个球里有2个实心球. 所以,一共有602个实心球.
【总结升华】解决此题的关键是找到规律:每10个球一组;第1,4,5为实心球,第2,3,6,7,8,9,10个为空心球. 举一反三:
【变式1】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的? 【答案】
解:白︳黑白︳黑黑白︳黑黑黑白︳黑黑黑黑白︳黑黑黑黑黑白︳…… 设1+2+…+n>2002;即n(n+1)/2>2002;解得n>63;
当n=62时,1+2+..+62=1953;所以一共有62个白色的珠子; 即黑色的珠子为2002-62=1940个
【变式2】如图,一串有黑有白,其排列有一定规律的珠子,被盒子遮住一部分,则这串珠子被盒子遮住的部分有 颗.
【答案】27
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