找规律题总结

一、基本方法之一 ——看增幅

（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2

若上述方法还是不太理解的话 你可以这样想 看增幅数是多少，是

多少就是多少n ， 然后再看需要加一个数还是再减一个数，具体怎么操作，可以带入第一个图/ 数。就明白是加多少或是减多少了。

此方法对图形题与数的题均适用 例1：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2

例2 如下图是用棋子摆成的“上”字：

第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字

如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上” 字分别需用 和 枚棋子；（2）第n个“上”字需用 枚棋子。

方法一：数数的方法 先统计每个图所用的棋子数，然后再对这些数进行比较，

方法二：找出变化的地方 通过比较前后两个图，发现事物的相同点和不同点，找出变

化的地方有几处，通常有几处在增加，就是几n，然后根据第一个图看还需要加多少，或者减多少。

如 上图 相连两个图之间有四个地方在增加，那就是4n，再看第一个图是6颗棋，则需要加2 所以为 4n+2 此方法可类推到很多题！

练：如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n个

小房子用了 块石子。

(1)(2)第4题

(3)

练 如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n个图形中需用黑色瓷砖 ____ 块．(用含n的代数式表示)

练 下面的图形是由边长为l的正方形按照某种规律排列而组成的．

推测第n个图形中，正方形的个数为________，周长为______________(都用含n的代数式表示)．

第18题图

基本方法2 如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。

需要准备的知识：会求等差数列的和： 教会学生如何求第n项的数是多少 即第n-1位到第n位的增幅

即第n-1位到第n位的增幅a(n)=a1+(n-1)d， 前n项和的公式

例1：2 6 12 20 30 ( 42 ) A.38 B.42 C.48 D.56

解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。

说明 对于图形题方法也一样，先统计每个图基本单元的个数。然后对数进行比较

例3：2 5 11 20 32 ( 47 ) (2008年考题) A.43 B.45 C.47 D.49

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。

练习1. 如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图⑴中有1个立方体，图⑵中有4个立方体，图⑶中有9个立方体，……

按这样的规律叠放下去，

第8个图中小立方体个数是 .

⑴ ⑵ ⑶

第n个为--------

2. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，

则第24个三角形数与第22个三角形数的差为

基本方法三、增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、

5、9,17增幅为1、2、4、8.

此类问题也是对增幅进行比较，会发现前后两数之比为同一个数 则可表示为该数的的多少次方， 如上题：第一与第二个数之间差的是1，说明得从2的n-1次方开始，在考虑第一个数为2，所以规律为 1+2的n-1次方。

例4：4 5 7 1l 19 ( 35 ) A.27 B.31 C.35 D.41

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8这是一个等比数列，因而要 选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。 n项为3+2的n-1次方。

练习1：1， 3， 7， 15， 31， ( 63 ) (2007年考题) A.61 B.62 C.63 D.64

第n项为----------

特殊类 增幅不相等，且增幅也不

98以同等幅度增加（即增幅的增幅

也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 基本技巧

（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是 10021 ，第n个数是 n21。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002—1

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与

n,或2n、3n有关。

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（ (2n1)2 ），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。 （三）看例题：

A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n的3次幂，即：n3+1

B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当

2n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为n1。再看原数列2是同时减2得到的新数列，则在n1的基础上加2，得到原数列第n项n21

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n2，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n2，则求出第一百个数为4*1002=40000

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

对于正负交替出现的数组：通常把数与符号分开，先用-1的N次方或者n+1次方来表示符号，再去探索数的规律。

例1：一道初中数学找规律题

0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······ （1）第一组有什么规律？

答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。 （2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？

答：第一组是位置数平方减1，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可

以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：位置数平方减1加2，得位置数平方加1即n21。

第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：2n21 例2、

149162536 ()分子为等比即位置数的平方，分母为等2345672n差数列，则第n项代数式为：

n1以上系列方法是基础，是基本方法。接下来介绍些中考中的巧解妙解题。

1、设计类

【例1】(2005年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求

的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求

的值为 。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

解析：【例1】(1)（2）可设计如图1，图2， 图3，图4所示的方案：

【例2】（1），对应的图形是

（2）

2、动态类

。

【例3】(连云港市中考题)右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1

点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。则第10圈的长为 。

【例4】(重庆市中考题)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是 。

解析：【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，……归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。利用每圈周长之和进行比较也很容易得出前后两数之差为一个相同的数8，所以规律中含有8n，再看第一个数为7，所以规律为8n-1

【例4】（－3，－4） 3、数字类

【例5】(福州市中考题)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，

，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是 。

解析：【例5】这列数的分子分别为3，4，5的平方数，而分母比分子分别小4，则第

7个数的分子为81，分母为77，故这列数的第7个为

。

【例6】(2005年济南市中考题)把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。

解析：【例8】的一列数形成二阶等差数列，他们依次相差4，8，12，16……故第10个数为1+4+8+12+16+20+24+28+32+36＝181。

4、计算类 【例

10】(2005

则第n个等式可以表示为 。

解析：【例10】

年陕西省中考题)观察下列等式：

，……

【例11】(2005年哈尔滨市中考题)观察下列各式：

，

，

，……根据前面的规律，得：

。（其中n为正整数）

解析：【例11】

【例12】(2005年耒阳市中考题)观察下列等式：观察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为 。

解析：【例12】5、 图形类

【例13】(2005年淄博市中考题)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有 个。

（n≥1，n表示了自然数）

解析：【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4＝4，第二个正方形的 正点数有3×4－4＝8，第三个正方形的整点数为4×4－4＝12个，……故第10个正方形的整点数为11×4-4＝40，

【例14】(2005年宁夏回自治区中考题) “”代表甲种植物，“

”代表乙种植物，

为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物 株。

【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4个，第二个图案中以乙中植物有3×3＝9个，第三个图案中以乙中植物有4×4＝16个，……故第六个图案中以乙中植物有7×7＝49个.

【例15】(2005年呼和浩特市中考题)如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第n个图案中共有 块积木。

【例15】第一个图案有1块积木，第二个图案形有1+3＝4＝2的平方，第三个图案有1+3+5＝9＝3的平方，……故第5个图案中积木有1+3+5+7+9＝25＝5的平方个块，第n个图案中积木有n的平方个块。

综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。

2007•无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所

有圆圈的个数为1+2+3+…+n= ．

如果图1中的圆圈共有12层，

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．

解析：（1）图3中依次排列为1，2，4，7，11……，如果用后项减前项依次得到1，2，3，4，5……，正好是等差数列，再展开原数列可以看出第一位是1，从第二位开始后项减前项得到等差数列，分解一下：1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4……,从分解看，

第n个圆圈的个数应为1+(1+2+3+4+……n)，而1+2+3+4+……+n正好是连续自然数和的公式推导，上面已给出了公式: 1+2+3+…+n=

，则第n项公式为1+

，已知共

有12层，那么求图3最左边最底层这个圆圈中的数应是12层的第一个数，那么1+11（11+1）/2=67.

解析：（2）已知图中的圆圈共有12层，按图4的方式填上-23，，-22，-21，……,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和？

第一层到第十二层共有多少个圆圈呢，运用等差数列求和公式得：（1+12）12/2=78个，那78个圆圈中有多少个负数，多少个正数呢，从已知条件可以看出，第一个数是-23，到-1有23个负数，1个0，78-24=54个正数， 1至54，所以分段求和，两段相加得到图4中所有圆圈的和。第一段：S=

首项末项项数=（|-23|+|-1|）*23/2=276,第二段=（1+54）

2*54/2=1485，相加后得1761。

例如、观察下列数表：

解析：根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为______ .（乐山市2006年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题目条件里的数构成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。我们把对角线上的数抽出来，就是1，3，5，7，……。这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求第n个奇数的表达式。即2n-1。

还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。

练习：1、我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用

10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数 。

2、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是 。

3、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n个图案中有白色地面砖 块。

4、如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形。例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。依此规律。则第（5）个图形的表面积 个平方单位。

(1)

(2)

(3)

(4)

5、图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块

叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）

A 25 B 66 C 91 D 120

6、如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图⑴中有1个立方体，图⑵

中有4个立方体，图⑶中有9个立方体，……

按这样的规律叠放下去，

第8个图中小立方体个数是 .

(1)(2)(3)

个数为________________.

(2) (1)⑴ ⑵ ⑶

7. 按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的

(3)8． 如图，图①，图②，图③，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n个“山”字中的棋子个数是 ． 9． 下列图案由边长相等的黑、白两色正

方形按一定规律拼接而成。依次规律，第5个图案中白色正方形的个数为 。

…

第1个

第2个

第09题图

第3个

10． 用同样大小的正方形按下列规律摆

放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是 。

n=1

n=2

……

第17题图

n=3

近两年中考题精选 一、填空题。

1、观察规律并填空，

（1）2，-4，8，-16，32， ， ……；第100个数是 ，第n个数是 。 （2）4，7，10，13，16， ， ……；第100个数是 ，第n个数是 。 （3）0，3，8，15，24， ， ……；第100个数是 ，第n个数是 。

2、观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是

……

第1个 第2个 第3个

2、下面是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．

……

(3) (2) (1)

3、观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有

个 ．

第1个第2个第3个

4、下图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍

时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为ss，则＝ ． （用n的代数式表示s）

……

n=1 n=2 n=3

5、如下图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个． … … 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅

6、有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“惠”、“州”、“精”、“神”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“惠”字位于转盘的位置是 。（填“左”、“右”、“上”、“下”）

第1次变换 惠 神 精 图1

州 州 惠 图2 精 神 惠 神 州 精 精 州 图3 神 惠 州 惠

第2次变换 精 神 …

7、（2010年广东）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，

则正方形A4B4C4D4的面积为__________。 C2 C1 C1 D1 D C

D1 D C B2

B1 A B D2 A B B1

A1 A1

A2 图（1） 图（2） 二、解答题 1、．（2010·广东）阅读下列材料：

1312×3 = (2×3×4－1×2×3)，

313×4 = (3×4×5－2×3×4)，

31×2 = (1×2×3－0×1×2)， 由以上三个等式相加，可得

1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5 = 20．

读完以上材料，请你计算下列各题： 一、 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； 一、 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) = _________； 一、 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 = _________．

13一 、选择题

1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ） A.28 B.56 C.60 D. 124

【答案】C

3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．

【答案】n(n2)

4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）

第1个图形

第 2 个图形 第3个图形

第 18题图

2第 4 个图形

【答案】n(n1)4或nn4

5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：

① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1

④ ……

（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】解：⑴465224251；

⑵答案不唯一.如nn2n11；

⑶nn2n1 n22nn22n1

n22nn22n1

221.

6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；

（3）求第n行各数之和． 【解】（1）64，8，15；

2 （2）(n1)1，n，2n1；

2 （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；

32类似的，第n行各数之和等于(2n1)(nn1)=2n3n3n1.

2

二、填空题

1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第

_____个图形共有120 个。

【答案】15

2. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 如图(3) 2F 2，

中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .

【答案】

1 n43. （2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：

1111111111111111,,,,122342125633078456 ............111则+_______.2011201220112012【答案】

1 10064. （2011广东湛江20,4分）已知：

33A32326,A554360,A525432120,A66543360,

2,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A7 （直接写出计算结53果），并比较A9 A10（填“”或“”或“=”）

【答案】

三 解答题

1. （2011山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：

11111111 ＝1－； ＝－；＝－；…… 12223233434解答下面的问题：

（1）若n为正整数，请你猜想（2）证明你猜想的结论；

1＝ ；

n(n1)1111＋＋＋…＋ . 1223342009201011【答案】（1） ··············································································· 1分

nn1（3）求和：（2）证明：

n1n111n1n－＝－＝＝. ·················· 3分

n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)nn11111111＋－＋－＋…＋－ 223342009201012009 ＝1. ………………5分 201020101111112. （2011四川成都，23,4分）设S1=122,S2=122,S3=122,…,

122334（3）原式＝1－

Sn=111 n2(n1)2设SS1S2...Sn，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

n22n【答案】．

n1Sn11111211121[]21[]2== 22n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)=[11]2

n(n1)n22n1111))+(1)+(1)+…+(1∴S=(1.

n1n(n1)122334接下去利用拆项法

111即可求和．

n(n1)nn13. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=(1)观察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2) 12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3 =(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+ =(1+2+3+4)+( ) …… (2)归纳结论：

12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+[1+(n—1)]n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n

=( ) +[ ] = + =

1n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做： 31× 6(3)实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 ． 【答案】（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4 1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n

1n(n1) 21n(n+1)(n—1) 3n(n+1)(2n+1)

4. （2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；

（3）求第n行各数之和． 【解】（1）64，8，15；

2 （2）(n1)1，n，2n1；

2 （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；

32类似的，第n行各数之和等于(2n1)(nn1)=2n3n3n1.

2

5. （2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了ab（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应

nabab2a22abb2展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着a33a2b3ab2b2展开式中的系数等等。

31 1 1 1

3 2 3 1

1

…………………………（a+b）1 …………………………（a+b）2 1 …………………………（a+b）3

…………………

5（1）根据上面的规律，写出ab的展开式。

（2）利用上面的规律计算：252102102521 解：⑴aba5ab10ab10ab5abb

5432234555432 ⑵原式=2521102110215211

54322345 =(21) =1

注：不用以上规律计算不给分.

5