机械能守恒与变化的判断及其灵活应用

机械能守恒与变化的判断及其灵活应用

作者：李福阳

来源：《世纪之星·交流版》2016年第12期

物理必修2课本中对机械能守恒定律的阐述比较简单，课本第34页是这样描述的“在只有像重力那类力做功的情况下，物体的动能与势能可相互转化，机械能的总量保持不变。”在第36页又做了补充说明“不仅物体的重力势能与动能可以相互转化，物体的弹性势能和动能也可以相互转化。在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，物体的动能和弹性势能的总和也将保持不变。”

课本上述说法太过简单，无法处理有多个力做功情况下的机械能守恒与变化的题目。为了最大限度提高学生解题的能力，必须对机械能守恒条件及变化规律做补充，使之适用于各种题型。对此我分单个物体和多个物体所组成的系统两种情况进行阐述。

一、针对单个物体，机械能守恒定律的内容可以表述为“在只有重力做功，或其它力对物体所做总功为零的情形下，物体的动能与重力势能可相互转化，机械能的总量保持不变。”例如：在竖直向下的匀强磁场中，用一绝缘细线拉着一带正电的小球竖直向上运动，忽略空气阻力，如果细线对小球拉力大小等于电场对小球的作用力大小，则小球向上做匀减速直线运动过程中，除重力对小球做功外，另外两个力对物体所做总功为零，所以小球机械能守恒。 针对单个物体的机械能增加或减少规律，可以表述为：“除重力做功外，其它力对物体所做总功为正的多少，则物体的机械能就增加多少，其它力对物体所做总功为负的多少，则物体的机械能就减少多少。”例如：质量1千克的物体在竖直向上、大小为6牛的拉力作用下，竖直向上运动2米的过程中，机械能如何变化？（忽略空气阻力，取g=10 m/s2）

由于扣除重力外，只有拉力做功，拉力做的总功为12J，故物体的机械能增加了12J。如果没有掌握上述规律，采用常规的思路去算，把物体重力势能的增加量和动能的减少量都算出来，再用重力势能的增加量减去动能的减少量，得到物体总机械能的增加量，明显要花费更多功夫，而且容易失误。

如果把题目改为：质量1千克的物体在竖直向上、大小为6牛的拉力作用下，竖直向下运动2米的过程中，机械能如何变化？（忽略空气阻力，取g=10 m/s2）

还是用同样的方法来做。由于扣除重力外，只有拉力做功，拉力做的总功为负12J，故物体的机械能减少了12J。

二、针对多个物体（包括连接在某些物体间的细线），或物体与弹簧所组成的系统，机械能守恒定律的内容可以表述为“在只有重力与系统内弹簧弹力做功（包括只有其中一种力做功），或除了重力和系统内弹簧弹力外，其它力对系统所做总功为零的情形下，系统的动能、

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重力势能与弹性势能可相互转化，系统机械能的总量保持不变。”上述定律中提到的弹力，特指系统内弹簧的弹力，如果是系统外的弹力做功，或弹力虽是系统内的，但不是弹簧的弹力，则系统的机械能不一定守恒。

例如：A、B两个物体之间用一条轻细绳连接，B放置在水平地面，A叠放在B上，A上表面固定一个小挂钩。当用一根轻弹簧钩住A上的小挂钩，竖直向上拉起A，直至B离开地面。这个过程中，对A、B两个物体构成的系统来说，弹簧是系统外物体，弹簧的弹力是系统外弹力。系统外弹力对系统做功不为零，系统的机械能不守恒。

假如是系统内弹力做功，但这个弹力不是弹簧的弹力，那么系统的机械能是否守恒呢？我们通过下面的例题来分析。

A、B两个物体质量都为m，一前一后放置于光滑水平面上，若给A一个初速度v0，使之向右运动，A与B碰撞后，A、B以相同的速度向右运动，求A、B碰撞后的共同速度。 由于地面水平光滑，A、B两物体构成的系统碰撞前后动量守恒，故有2mv=m v0，得v= v0，碰后A、B系统的总动能为2 ，只为系统碰前动能的一半。

上述碰撞过程中A对B的弹力做正功， B对A的弹力做负功，两个弹力都是系统内的弹力，但由于发生完全非弹性碰撞，一部分机械能转化为内能，故系统的机械能减少了。 如果上题中在B左侧面固定一根轻弹簧，则当A向右运动压缩弹簧，弹簧的弹力对A做负功，对B做正功。这个过程不引起发热，故A、B和弹簧构成的系统的动能与弹性势能之间发生相互转化，但系统机械能的总量保持不变。

针对多个物体，或物体与弹簧所组成的系统，机械能增加或减少规律可以表述为：“除重力与系统内弹簧弹力做功外，其它力对系统所做总功为正的多少，则系统的机械能就增加多少，其它力对系统所做总功为负的多少，则系统的机械能就减少多少。”

例如：一物体Q静止于水平地面上，其上表面固定一根轻弹簧，轻弹簧竖直且处于原长。若用一大小为10牛的恒力F拉住弹簧上端点P，使P点向上移动1m，此时物体Q已离开地面，而弹簧始终处于弹性限度内。以下说法正确的是： A.物体Q的机械能增加了10J B. 物体Q的动能增加了10J C.恒力F做的功为10J D. 弹簧的弹性势能增加了10J

解析：把物体Q和弹簧看做一个系统，扣除重力和弹簧弹力外，只有恒力F做功，F做的总功为10J，故系统的机械能增加了10J。系统机械能的增加量包括物体Q动能和重力势能的增加量，加上弹簧弹性势能的增加量，所以C对，A、B、D都错。

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很多情况下，判断物体或系统的机械能是否守恒，或怎么变化，并不一定要使用以上机械能守恒定律或变化规律，也可以结合能量守恒定律来判断。例如以下两个题目：

题1：如图1所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接，两小球可绕穿过轻杆中心O的水平轴无摩擦转动.现让轻杆处于水平位置，然后无初速释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中（ ） 图1

A.b球的重力势能减少，动能增加 B.a球的重力势能增加，动能减少 C.a球和b球的总机械能守恒 D.a球和b球的总机械能不守恒

解析：两球组成的系统，在运动中没有其他形式的能与系统的机械能相互转化，所以系统的机械能守恒.b球重力势能减少，a球重力势能增加，系统总重力势能减少，动能增加。故选AC。

题2.如图所示，A、B两小球，质量分别为4m和5m，其间用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上（圆柱体的半径为R）.两球从水平直径的两端由静止释放。求球A到达最高点c时的速度大小。

解析：两球组成的系统，在运动中没有其他形式的能与系统的机械能相互转化，所以系统的机械能守恒.系统的重力势能转化为系统动能，如下式： 解得

高考理科综合全国卷中的物理题，基本上都是有一定难度的题目，几乎没有一个题目仅依据课本中给的机械能守恒定律就能解决问题。我在教学中要求学生掌握上述补充和完善之后的机械能守恒和变化规律，并运用在实际的解题过程中，效果非常好。