2012量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末试题及答案(A)

选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；

D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；

B. Ψ归一化后，

代表微观粒子出现的几率密度；

C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；

B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A

A. 一定也是该方程的一个解； B. 一定不是该方程的解； C. Ψ 与 一定等价；

D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。

6．如果以l表示角动量算符，则对易运算

[lx,ly]为：B

A. ihB. ih

lz lz

1 / 28

C.i

lxlx

D.h

7．如果算符

A 、B 对易，且A =A

，则：B

 一定不是B 的本征态； A.

一定是 B的本征态； B.

C.一定是B 的本征态；

D. ∣Ψ∣一定是B 的本征态。

8．如果一个力学量

A与H 对易，则意味着

A：C

A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；

D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev

311．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm，且 l=N-2n，则在一确定的能量 (N+2简并度为：B

)h下，

A.

1N(N1)2； 1(N1)(N2)2；

2 / 28

B.

C.N(N+1)；

D.(N+1)(n+2)

s12．判断自旋波函数 A. 自旋单态； B.自旋反对称态； C.自旋三态； D.

12[(1)(2)(2)(1)]是什么性质：C

z本征值为1.

13.6eV2n二 填空题（每题4分共24分）

1．如果已知氢原子的电子能量为

En ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子

能量为：———————————，光的波长为———— ————————。 2．如果已知初始三维波函数

(r,0) ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 (p) =——

(r,t)————————————。

————————————，任意时刻的波函数为3．在一维势阱（或势垒） 中，在

x=x0

'点波函数————————（连续或不连续），它的导数

————————————（连续或不连续）。 4．如果选用的函数空间基矢为

n ，则某波函数

处于

n态的几率用 Dirac符号表示为———

———————，某算符

A 在 态中的平均值的表示为——————————。

5．在量子力学中，波函数 在算符操作下具有对称性，含义是———————————————

———————————，与

对应的守恒量 F一定是——————————算符。

6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是—

———————————————————。 三计算题（40分）

1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x≤a，V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数。(10分)

2．设一维粒子的初态为

(x,0)Exp(ip0x/h)，求

(x,t)。

（10分）

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3．计算

4 。4个玻色子占据3个单态

B卷 一、（共25分）

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）

3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P和坐标x的共同本征函数。（6分）

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符

1、在A表象中算符

z表象变换到x表象的变换矩阵。

（10分）

1 ，2，3，把所有满足对称性要求的态写出来。

（10分）

ˆˆ,Bˆˆˆˆˆˆ2ˆ2A，满足AB1，且ABBA0，求

ˆ、Bˆ的矩阵表示； A2、在A表象中算符B的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）线性谐振子在tˆ0时处于状态

(x,0) 1、在t12122xexp(x)323，其中

，求

0时体系能量的取值几率和平均值。2、t0时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值

四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵

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12023332的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。

20五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：

11(q1)2(q2)1(q2)2(q1)2

ˆ,x]2xPˆˆ[Pˆ4、宇称算符P和坐标x的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当xP0时

S的状态才可能使P和x同时具有确定值，由(x)(x)知，波函数(x)满足上述要求，所以(x)ˆ是算符P和x的共同本征函数。 5、设F和G的对易关系FGGFˆˆˆˆˆˆkˆˆik，是一个算符或普通的数。以F、GˆGˆGˆFˆF，GF，

和k依次表示F、

ˆˆkG和在态中的平均值，令

22k2ˆˆ)(G)(F4则有

，这个关系式称为测不准关系。

时间t和能量E之间的测不准关系为：二、1、由于

tE2

ˆ的本征值是1，因为在A表象中，算符Aˆ的矩阵是对角矩阵，ˆ21，所以算符AA10ˆ(A)A01ˆ 所以，在A表象中算符A的矩阵是：

b11b12ˆB(A)bbˆBˆ0ˆBˆAbb220；由ˆ2122，利用AB 设在A表象中算符的矩阵是得：1100b120b12b12b2111b12bb0200bbb21ˆ21212112于B1，所以，

01bˆˆ密算符，BB，12b1200b*12；由于B是厄

ˆ1*b12b112*0b12

0ˆ(A)iBeibeˆ12B令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：

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ei0

0ieˆ2、在A表象中算符B的本征方程为：ei0 和不同时为零的条件是上述方程的系数

eiei0iie  e0 即行列式为零，即

Beiei02  10 1

1ei1eiB1122 11对有：，对有：

所以，在A表象中算符B的本征值是1，本征函数为

ˆ1ei1ei21和21

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即

ˆ1eiS21三、解：1、tei1

0的情况：已知线谐振子的能量本征解为：

221(x)exp(x)Hn(x)En(n)nn2n!2 (n0,1,2)，

当n0,1时有：

0(x)(x)exp(2x2)exp(2x2)1(x)2， (x,0)120(x)1(x)33，容易验证它是归一化的波函数，

于是t于是t0时的波函数可写成：

0时的能量取值几率为：

1132W(E0,0)W(E1,0)23，23，能量取其他值的几率皆为零。

E能量的平均值为：

127E0E1336

2、

t0时体系波函数

(x,t)1i23i0(x)exp(t)1(x)exp(t)3232

显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故t均值与t0时体系能量的取值几率和平

0的结果完全相同。

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100002020ˆHˆHˆ003H0四、解：将矩阵改写成：

(0)(0)(0)E3 E1E23能量的零级近似为：1，2，(1)(1)(1)E2 E0E3能量的一级修正为：1，2，

23032

E1(2)能量的二级修正为：

(2)E22H12E(0)1E(0)22H13E(0)1E(0)342，

2H21E(0)2E(0)12H23E(0)2E(0)3429252，

(2)E32H31E(0)3E(0)12H32E(0)3E(0)292

222E329E14E25312所以体系近似到二级的能量为：，，

1(0)先求出

ˆH0属于本征值1、2和3的本征函数分别为：

100(0)(0)02130001，，，

利用波函数的一级修正公式

k(1)ikHik(0)iEk(0)Ei(0)，可求出波函数的一级修正为：

1(1)020(1)(1)2120331300，，

112002213313 ，，

qi表示第i(i1,2,3)个粒

近似到一级的波函数为：

五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：

(1)(2)(q)(q)(q)2(q1)2(q2)2(q3) 111213；（1）s（2）s(3)C1(q1)1(q2)2(q3)1(q1)2(q2)1(q3)1(q2)2(q1)1(q3)； s（3）

(4)C[2(q1)2(q2)1(q3)2(q1)1(q2)2(q3)2(q2)2(q3)1(q1)s（4）

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一、（20分）已知氢原子在t0时处于状态

(x,,0)1201122(x)1(x)3(x) 3031300其中，n(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t时的波函数。

解 已知氢原子的本征值为

4

Ene122n2，

n1,2,3, 将t0时的波函数写成矩阵形式

12 (x,0)32x3x3 2 31x利用归一化条件

c2dx1*2*23*1232x33x1x32x33x231x 129949c2729c于是，归一化后的波函数为

12 932x33x1772x23x(x,0)7231x471x能量的可能取值为E1,E2,E3，相应的取值几率为

WE47;WE121,02,07;WE3,07 能量平均值为

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1）2）3）4）5） （

（ （ （ （

412E1E2E3777e4411121161e4227174795042E02,2，相应的取值几率为

（6）

自旋z分量的可能取值为

1234Wsz,0;Wsz,0 （7）

277727自旋z分量的平均值为

s037247z214

t0时的波函数

1xexpiEt2xexpi(x,t)72273E3t 471xexpiE1t 二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动

V00

. x0 VxV, 0xa 00, xa若已知该粒子在此势阱中有一个能量EV02的状态，试确定此势阱的宽度a。

解 对于V0E0的情况，三个区域中的波函数分别为

1x0

2xAsinkx 3xBexpx其中，

k2m(EV0)2mE;  利用波函数再x0处的连接条件知，n，n0,1,2,。

9 / 28

8）

9） 1） 2）

（ （ （ （在xa处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

2a3aaa'2'3 （3）

得到

于是有

此即能量满足的超越方程。

当

AsinkanBexpaAkcoskanBexpa （4）

tankak （5）

E1V0时，由于 2mV0tanamV01 （6）

mV0故

最后得到势阱的宽度

mV0an4

n1,2,3, （7）

1 an4mV0三、（20分） 证明如下关系式 （1）任意角动量算符证明 对x分量有

（8）

ˆj满足 ˆjˆjiˆj。

ˆjˆjˆjˆj=iˆjˆjˆjxyzzyx

同理可知，对

y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。

投影算符

ˆnnnp是一个厄米算符，其中，

n是任意正交归一的完备本征函数系。

ˆn的矩阵元为 p证明 在任意的两个状态 而投影算符

与

之下，投影算符

ˆnnnpˆnˆn的共軛算符pp的矩阵元为

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*ˆnˆnˆnppp*nn*nnnn**

显然，两者的矩阵元是相同的，由利用

*k''与

的任意性可知投影算符

ˆn是厄米算符。 pˆxxxx证明xpkkxmnˆxkn，其中，kx为任xmkpk意正交归一完备本征函数系。 证明

*ˆxmndxmˆxnxxpxxpdxdx*mˆxnxxxdx'x'xp*mˆxnx'xxdx'x'xp' ˆxdxxxdxxxp*m'*k''kkx'n*m'k*k''x'

ˆxdxxxxdxxpnkˆxpmkxk2kn四、（20分） 在L与Lz表象中，在轨道角动量量子数lˆˆ、L1的子空间中，分别计算算符Lyxˆ的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。 与Lz解 在L与Lz表象下，当轨道角动量量子数l皆为三维矩阵。

2ˆ与Lˆ、Lˆ1时，m1,0,1，显然，算符Lyxzˆ是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有 由于在自身表象中，故Lz100ˆ000 （1） Lz001

相应的本征解为

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1Lz; 1000Lz0; 01 （2）

0L; 0z101对于算符Lˆx、Lˆy而言，需要用到升降算符，即 Lˆx1LˆLˆ

2  Lˆy1LˆLˆ2i 而

Lˆlmll1mm1l,m1 当l1,m1,0,1时，显然，算符Lˆx、Lˆy的对角元皆为零，并且， 1,1Lˆx1,11,1Lˆy1,10

1,1Lˆ1,11,1Lˆ1,10 xy只有当量子数m相差1时矩阵元才不为零，即

1,1Lˆx1,01,0Lˆx1,11,0Lˆx1,11,1Lˆx1,02

1,0Lˆy1,11,1Lˆy1,0i2 1,1Lˆy1,01,0Lˆy1,1i2于是得到算符Lˆx、Lˆy的矩阵形式如下 

Lˆx01021010i0; Lˆyi0i 01020i012 / 28

3）

4）

5）

6）

7） （ （ （ （ （ˆ满足的本征方程为 Ly

0i20i0i0c1c1i c2c2 （8）

c0c33i2相应的久期方程为



0i0 （9）

i20i22将其化为

320 得到三个本征值分别为

1; 20; 3 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

1i11i22; 0; 11i221322 iLˆx满足的本征方程为 01011 c1cc120c22 010c3c3相应的久期方程为

20

20 202将其化为

320 得到三个本征值分别为

13 / 28

10）

11）

12） 13）

14）

15）

（ （ （ （ （ （

1; 20; 3 （16）

将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

111111 10; 32 （17） 2; 2222111五、（20分） 由两个质量皆为

、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项

ˆ xx（x,x分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、W1212第二激发态能量至一级修正。

提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为

mxn1nn1m,n1m,n1

22式中，

。

解 体系的哈密顿算符为

其中

ˆHˆWˆ （1） H0122222ˆ1pˆˆHpxx0121222

ˆ xxW （2）

12ˆ的解为 已知H0

其中

将前三个能量与波函数具体写出来

0Enn1nx1,x2nx1nx212 （3）

n1,n2,n0,1,2,1,2,3,,fn （4）

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0E0; 00x10x2E102, 110x11x2 121x10x2 （5）

E023, 212x10x2 220x12x2 231x11x2 对于基态而言，n1n2n0，f01，体系无简并。

利用公式

mxn1nnm,n11m,n1 22可知

E100Wˆ00 Ef2n0WˆnnWˆ00 n01E00 0En显然，求和号中不为零的矩阵元只有

ˆW0W2323ˆ022 于是得到基态能量的二级修正为

E20122E00423 0E248 第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为

WE1112W12W13

WE121W222W230 WW13132W33E2其中

W11W22W33W12W210

W 13W31W23W3222将上式代入（10）式得到

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（6）

（7）

（8）

（9）

10）

11）

（ （1E2

01E20220 （12）

22E2122221整理之，E2满足

于是得到第二激发态能量的一级修正为

E213214E20 （13） 1E2111; E0; E222322 （14）

1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为： E=h,

p=h/ 。

3．根据波函数的统计解释，(x,t)

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符

2dx的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率 。

px的对易关系为：x,pi 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，

ˆ的 本征值 。 必定是算符F7．定态波函数的形式为： (x,t)8．一个力学量

n(x)eiEnt。

A为守恒量的条件是：A不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：  。

216 / 28

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明：

ˆ,Lˆ]iLˆ[Lxyzˆ,Lˆ][ypˆzzpˆy,zpˆxxpˆz][Lxyˆz,zpˆxxpˆz][zpˆy,zpˆxxpˆz][ypˆz,zpˆx][ypˆz,xpˆz][zpˆy,zpˆx][zpˆy,xpˆz][ypˆz,zpˆx][zpˆy,xpˆz][ypˆz,zpˆx][y,zpˆx]pˆzz[pˆy,xpˆz][z,xpˆz]pˆyy[pˆz,zpˆx][z,xpˆz]pˆyy[pˆz,pˆx]y[pˆz,z]pˆxx[z,pˆz]pˆy[z,x]pˆzpˆyyz[pˆxx(i)pˆyy(i)pˆyypˆx]i[xpˆiLz2i(r,t)[2V(r)](r,t)t2•J0t 2、（10分）由Schrödinger 方程

证明几率守恒：

2其中几率密度  ( )   ( r , t ) ( |  ( r,t)|r , tr , t) 几率流密度

iJ[]2证明：考虑 Schrödinger 方程及其共轭式：

22i[V]2t17 2/ [28 i2V]t2

(1)(2) (1)(2)式得：将

2ii[22]tt2

2i（）•[]t2在空间闭区域τ中将上式积分，则有：

d2i（）ddt2•[]d

di（）ddt2•[]d

d(r,t)d•Jddt•J0t1、（10分）设氢原子处于状态 (r,,)13R21(r)Y10(,)R21(r)Y11(,) 22

求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值

E2es22n22es282

(n2)，几率为1

角动量平方有确定值为

L2(1)222 (1)，几率为1

角动量Z分量的可能值为

LZ10LZ2

其相应的几率分别为

14，

34

18 / 28

解：

波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：

求归一化系数

最后，得 Lz的本征函数

2ˆi 的本征值和本征函数。 L2、（10分）求角动量z分量 zddˆ()id()l()Lzzd解得：()cez其中c是积分常数，亦可看成归一化系数。il()(2)ceilzceil(2z)e2lz2milz21于是m0,1,2,lzm||2dc220m0,1,2,0d2c211c2lzmm()1eim2m0,1,2,3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：

1Hc0c3000c219 / 28

设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似。

解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：

H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = -2

由非简并微扰公式

得能量一级修正：

能量二级修正为：

二级近似下能量本征值为：

2E1112c21E232cE2c3(1)E10H11(1)0E2H22(1)cE3H33100H00300020c0Hc0000c(1)EnHnn|2(2)|HknEnE(0)E(0)knnkE(2)1kn1|2|2|2|Hk|H31|H212(0)(0)12c(0)(0)(0)(0)E1EkE1E2E1E32|2|2|2|Hk|H32|H122(0)(0)12c(0)(0)(0)(0)E2EkE2E1E2E3E(2)2knE(2)3kn3|2|2|2|Hk|H13|H23(0)(0)0(0)(0)(0)(0)E3EkE3E1E3E220 / 28

量子力学期末试题及答案（B）

一、填空题：

1、 波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。

2、 |Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 简并。 4、 两个力学量对应的算符 对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题：

1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？

答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。

3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？

答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。

21 / 28

2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。

1

、

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，

22 / 28

计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对rr0的区域有影响，对rr0的区域无影响。据题意知

ˆU(r)U(r) H0 其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即 U（0r）ze240r

U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在rr0区域， Ze2 U(r)

40r在rr0区域，U(r)可由下式得出， U(r)eEdr

rZe43Ze1rr, (rr0)34r24r334r00003 E

Ze (rr0)240r U(r)eEdreEdr

rr0r0Ze2 40r03r0rZe2rdr401r0r2dr

Ze2Ze2Ze222 (r0r)(3r02r2) (rr0) 3340r080r080r0Ze2Ze222(3r0r) (rr0)3ˆU(r)U(r) H 4r8r0000 0 (rr0)ˆHˆ(0)2U(r)，可视为一种微扰，由它引起 由于r0很小，所以H0223 / 28

2Z3rZ一级修正为（基态(0)(1/2a1000a3)e） 0 E(1)*1(0)1Hˆ(0)1d 2Z Z3 r0[Ze283(3r22Ze2ara30r)]e0000r044r2dr 0r2Z ∵raar0，故e01。

∴ E(1)1Z4e22330a0r0r0(3r2r2r40)drZ4e20a300r00rdr

Z4e2r5233(r50Z4e220)r0a0r052a30 00 Z4e22103r0 0a02Z4e2 s5a3r20 0第三题 6.2 求自旋角动量在任意方向n(cos,cos,cos)的投影 的本征值和本征函数。

解：在Sˆz 表象，Sˆn的矩阵元为 Sˆn010i102 10cos2i0cos201cos coscosicos Sn2cosicoscos其相应的久期方程： 

cos(cos 22icos)0 (cosicos)cos即：

22

224cos224(cos2cos2)02240(利用cos24 2/ 28 cos2cos21)Sˆn



 2 ˆ的本征值为。 所以Sn2 a设对应于的本征函数的矩阵表示为S(S)1nnb， 22 coscosicosaaa(cosicos)bc则  cos2cosicosb2b cosicosb 1cos 22**a1ab11(a,b)b由归一化条件得： 222 cosicos2222aa1a1 1cos1cos 1coscosicosa取 ，得 b 22(1cos)

 1cos 2(S)1n cosicos2 2(1cos) 1cos1cosicos01(Sn)2 22(1cos)10

1coscosicos 1122(1cos)22



同理可求得 对应于Sn的本征函数为 2

1cos

21(Sn) 2cosicos

2(1cos)

量子力学期末试题及答案(C)

一、填空题

1、黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。

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2、索末非提出的广义量子化条件是

pdqn

ipxx,t3、一粒子有波函数由

12cp,tedp描写，则

cp,t=

12x,teipxdx 24、粒子在势场U(r)中运动，则粒子的哈密顿算符为H2m2Ur 5、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象。

6、氢原子的一级斯塔克效应中，对于n=2的能级由原来的一个能级分裂为３个子能级。 7、1925年，乌论贝克（Uhlenbeck）和歌德斯密脱（Goudsmit）提出每个电子具有自旋

角动量S，它在任何方向的投影只能取两个数值，即Sz2 8、Pauli算符yz的反对易关系式是yzzy0

9、如果全同粒子体系的波函数是反对称的，则组成该体系的全同粒子一定是费米子

12S10、在两个电子的对称自旋态中，S的本征值是2

2二、选择题

6、么正矩阵S的定义是为（Ａ）

ASS BSS

SS DSS C

7、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即

HtH0H，，其中H0和H应满足的条件是（ Ｂ ）

，

，

，

AH0与时间无关，H与时间无关 BH0与时间无关，H与时间有关CH0与时间有关，H与时间有关 DH0与时间有关，H与时间无关

8、自旋量子数S的值为（ ）

A 1/4 B 3/4 C /2 D 1/2 9、Pauli算符的x分量的平方的本征值为（ Ｂ ）

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2，，

A 0 B 1 C i D 2i 10、电子自旋角动量的幺分量，算符

S幺表象中的矩阵表示为（ Ｃ ）

1001S幺S幺012102 B A

10i10S幺S幺012012  C D

三、证明题

１、若体系的归一化波函数形式为:

iix,txexpE1txexpE2tE1E2

求系统的几率分布，并证明它并不处于定态。

证明：

２、证明厄米算符的本征值为实数。

３、定义

1,幺xiy2，证明



四、计算题

1、求在一维势场

Ux,xa0,xa中运动的粒子的能级。

Ux解：对于宽度为２ａ的对称一维无限深方势肼

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,xa0,xa

d2Exa2在阱内体系满足的定态薛定谔方程是2mdx为方便起见，

22mE2引入符号

12d220,xa则上式可简写为dx2

xaa0它的解是：AsinxBcosx，将

n22n2a,n1,2,3....En,n正整数228ma代入上式有：同时综合式得

2、设一体系未微扰作用时只有两个能级

,E01及E02，其中E01E02，现在受到微扰H，的

baHab，且ａ，ｂ都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。作用，微扰矩阵为 baH,11,,EHb,EEb ab111222解：将代入能量修正公式，得到一级修正

E1和二级修正

2H21,2E10E20aa22,E20E01E02E2E10E02E01

2H12,2a2a2E1E01b,E2E02bE01E02E02E01

因此能量的二级修正值为

3、设

处

于

无

限

深

的

势

肼

中

的

粒

子

的

态

为

x2xx,t0cos4sin0aa相应的几率；

（２）能量的平均值。

xa试求：（１）测量粒子的能量的可能值和

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