一、选择题
1．三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 [答案] C
2．(2010年广西南宁)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为( )
215A. B.
2566C. D.
43
[解析] 取BC的中点D，连结AD、C1D如图，AD⊥平面BB1C1C，∠AC1D即为所求的角，设AA1＝AB＝2，则AD＝3，AC1＝22，
6sin∠AC1D＝，故选C.
4
[答案] C
3．(2010年陕西调研)已知正四面体的棱长为2，若四个顶点到平面α的距离均相等，则平面α被正四面体所截得的多边形的面积是( )
33A. 或1 B. 或2
42
3C. 1或3 D. 2或
4
[解析] 易知这样的截面有两种：一种是过同一顶点出发的三条
3棱的中点的正三角形，边长为1，面积为；另一种是经过对棱中点
4
的四边形，是边长为1的正方形，面积为1.
[答案] A
4．(2010年四川成都)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P－BC1－D的大小为定值；③三棱锥D－BPC1的体积为定值；④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．其中真命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 因为CB1⊥面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，所以CB1⊥C1P.命题①正确；
因为二面角P－BC1－D中的两个面总是△DBC1和矩形ABC1D1
所在的平面，所以二面角P－BC1－D的大小为定值．命题②正确；
因为不管P在线段AD1上什么位置，点P到面BDC1的距离不变．所以三棱锥D－BPC1的体积不变．命题③正确；
因为异面直线A1P与BC1间的距离总等于平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离，即为棱长1.命题④正确．故选D.
[答案] D
5．(2011年石家庄)已知正三棱锥中，一条侧棱与底面所成的角为60°，则一个侧面与底面所成的角为 ( )
A. 30° B. 120°
3C. arctan D. arctan23 2
[解析] 设棱锥的高、底面外接圆的半径、底面内切圆的半径分别为h、R、r，且R＝2r，由一条侧棱与底面所成的角为60°，则h＝
h
3R＝23r，一个侧面与底面所成的角的正切值为＝23，则所求的
r
角为
arctan23，故选D. [答案] D
6．(2010年北京)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱
A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积( )
A．与x，y都有关 B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关
[解析] ∵A1B1∥DC且EF＝1，∴Q到EF的距离不变，∴S△EFQ
为定值，∴体积与A1E＝y无关．连结A1D，过P作PN⊥A1D，
2∵A1B1⊥面AD1，∴A1B1⊥PN，∴PN⊥面A1B1CD，且PN＝PD2
2112＝x，∴VP－EFQ＝S△EFQ·PN＝S△EFQ·x与x有关．故选C. 2332[答案] C
37．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为，则其相
3
邻两侧面所成的二面角的余弦值是( )
12A. B. 321
C. D．0 2
[答案] D
8．(2010年全国Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝ 23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
[解析] 设底面的中心为O，令高为h，则AO＝12－h2，AB＝
12322
2AO＝2×12－h.体积V＝×2×h(12－h)＝－h＋8h.求导得
33
V′＝－2h2＋8.由V′＝0得h＝2.
[答案] C 二、填空题
9.
(2010年江西)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
[解析]
将三棱锥O－ABC补形成如图所示的长方体，连CF，OE，OE与AB交于点D，则平面OCD将三棱锥体积平分，A到平面OCD的
OA·OB111
距离d＝，有2×d·S＝×OA·OB·OC， 322332OA＋OBOC·OA2＋OB2则S3＝；
4
OB·OA2＋OC2
同理S2＝，
4
OA·OB2＋OC2S1＝.
42222OA·OB＋OA·OC则S2， 1＝16
2222OA·OB＋OB·OCS2， 2＝16
2222OB·OC＋OA·OCS2， 3＝16
22
∴S21>S2>S3，因此S1>S2>S3. 答案：S3 3[答案] arccos 3 11．若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于________．(结果用反三角函数值表示) [解析] 设正三棱锥为S－ABC，取BC的中点D，连结SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC. ∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α. 在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高， 2 ∵AO＝2DO，∴OD＝3， 31 又VS－ABC＝AB·BC·sin60°·h＝1， 3 3 3SO43 ∴h＝，∴tanα＝＝＝. 4DO28 33 3 ∴α＝arctan. 83 [答案] arctan 8 12．(2010年上海)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O.剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积是________． [解析] 折叠后的几何体如图． ∠AOC＝∠AOD＝∠COD＝90°， OA＝OC＝OD＝22， 1182∴VA－OCD＝×(22)3×＝. 32382[答案] 3 三、解答题 13．三棱锥一条侧棱长是16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是17 cm，求棱锥的体积． [解] 如图，取AD的中点E，连结CE、BE， ∵AC＝CD＝17，DE＝8，CE2＝172－82＝225，BE＝CE， ∴取BC的中点F，连结EF，EF为BC边上的高，EF＝CE2－CF2＝152－92＝12. ∴S△BCE＝108. ∵AC＝CD＝17cm，E为AD的中点，CE⊥AD，同理BE⊥AD， ∴DA⊥平面BCE. ∴三棱锥可分为以底面BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥． 11 ∴VA－BCD＝VA－BCE＋VD－BCE＝2·S△BCE·AE＝2××108×8＝ 33 576(cm3)． 14．(2010年山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA. (1)求证：平面EFG⊥平面PDC； (2)求三棱锥P—MAB与四棱锥P—ABCD的体积之比． [解] (1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA， 所以PD⊥平面ABCD. 又BC⊂平面ABCD， 所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形， 所以BC⊥DC. 又PD∩DC＝D， 因此BC⊥平面PDC. 在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点， 所以GF∥BC， 因此GF⊥平面PDC. 又GF⊂平面EFG， 所以平面EFG⊥平面PDC. (2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2， 18 所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝. 33 由于DA⊥面MAB，且PD∥MA， 所以DA即为点P到平面MAB的距离， 112 三棱锥VP－MAB＝××1×2×2＝，所以VP－MAB∶VP－ABCD＝ 323 1∶4. 15. (2010年北京海淀)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC的中点． (1)证明：A1O⊥平面ABC； (2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值； (3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置. [解] (1)证明：因为A1A＝A1C且O为AC的中点，所以A1O⊥AC. 又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC. (2)如图，以O为原点，OB、OC、OA1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，A1A＝A1C＝AC＝2，又AB＝BC，AB⊥BC，∴OB1 ＝AC＝1， 2 所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，A1(0,0，3)，C(0,1,0)，C1(0,2，3)， B(1,0,0)， →→→则有A1C＝(0,1，－3)，AA1＝(0,1，3)，AB＝(1,1,0)． 设平面AA1B的一个法向量为n＝(x，y，z)， →＝0，n·AA1y＋3z＝0， 则有⇔ →＝0x＋y＝0，n·AB 3令y＝1，得x＝－1，z＝－， 33所以n＝(－1,1，－)． 3→n·A211C→cos〈n，A1C〉＝＝. 7→|n||A1C| →因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和n与A1C所成锐角互余， 21所以sinθ＝. 7 →＝λBC→， (3)设E为(x，y，z)，BE 0 0 0 1 即(x0－1，y0，z0)＝λ(－1,2，x0＝1－λ， 3)，得y0＝2λ， z0＝3λ， →＝(1－λ，2λ，3λ)， 所以E为(1－λ，2λ，3λ)，即OE→·因为OE∥平面A1AB，所以OEn＝0， 1 即－1＋λ＋2λ－λ＝0，得λ＝， 2 即存在这样的点E，E为BC1的中点． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容