第4课时 圆心角与圆周角

知识点: 1．圆周角定理

BDB定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

ACADCACDOOOB2．圆周角定理的推论

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）直径所对的圆周角是直角 （3）90°的圆周角所对的弦是直径

(4)圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

3、圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90圆周角所对的弦是圆的直径。

4、圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

典型例题

例1、已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如图：求证：PA·PB=PC·PD

例2、 3. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，

求AC的长．

．

例3如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.

CPA

DB

O

例4、如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.

AOBDC

例5、如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC． 求证：∠ACB=2∠BAC

练习1、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

例6、如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

例7、如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

（1）求证：AC⊥OD； （2）求OD的长；

（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

练习3.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.

CD30AOB

同步练习：

1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC 的度数是________.

ADOBCAEBODOBCCAD

(1) (2) (3) 2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形. 3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度. 4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.

COABCCAODBAOEDB

(4) (5) (6)

5.如图5,AB是⊙O的直径, BCBD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.

6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 二、选择题:

7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°

AOBCADOBCCDCOABAB

(7) (8) (9) (10)

8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

9.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )

OCA A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( ) BD A.100° B.80° C.50° D.40°

三、解答题:

11.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.

AOBDC

13、四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．

课后练习:

2、（2011•扬州）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= _________ ．

4、（2011•咸宁）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB=49°，则∠AOC的度数为 _________ ．

5、（2011•无锡）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= _________ °．

6、（2011•温州）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连接CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC=3，则AB的长是 _________ ．