高等数学教案

第七章 空间解析几何

教学目的与要求 14学时 1． 解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2． 握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向

量垂直和平行的条件。

3． 解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐

标表达式进行向量运算的方法。 4． 掌握平面方程和直线方程及其求法。

5． 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平

面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6． 会求点到直线以及点到平面的距离。 7． 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐

标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8． 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的

投影，并会求其方程

1向量及其线性运算

向量：有大小、方向的量。 向量相等：大小、方向 单位向量、零向量 向量的坐标表达式及其运算

1) 向量的加法、减法

满足：交换律、结合律。平行四边形、三角形法。

0

第- 1 –页

2) 向量的数乘

满足：结合律、分配律 3) 两向量平行的充要条件：ba 4) 空间直角坐标系(右手坐标系) 5) 利用坐标作向量的线性运算

1) 向量的坐标向量表示 2) 对应坐标运算。 例：书上例题。

6) 向量的模、方向角投影 1）的模与两点间的距离公式。

rOMop2oQ22oR22

AB例4：

(x2x1)(y2y1)(z2z1)

21) 方向角与方向余弦

cosxoMyrxr

cos

coszr

coscos例： 例7、8

22cos1

22) 向量在轴上的投影

第- 2 –页

1) auacos

2) (ab)u(a)u(b)u 3)

2向量的数量积的向量积

0

(a)u((a)u

aaxiayjazkax,ay,az

bbxibyjbzkbx,by,bz

1）向量积

ababcosa,bba abab

22a性质：

axayaz

2abaxbxaybyazbz

ab应用：（i） abarccos

ab2aaaa （ii）

（iii）abab0

第- 3 –页

例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）

2 填空题（3）（4）（5）

例2、 解

：

πa5,b2,ab,则2a3b219322a3b2a3b2a3b

4a222ab9b76

∴ 2a3b219

(2)向量积 abc

caba　bsina,b

ca,右手定则

cb即aba,abb,

即aba0,jaybyabb0

注意 abba

abaxbx

应用（i）SΔABCikaz bz12ABAC 第- 4 –页

（ii）a//bab0

（iii）如ac,bc,则c//ab

即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。

例3、习题4，5，2(4)

a例1、 设知量a,b满足b3,π则a,b 6ab3a,b解：tan ab3π ∴ a,b

6ab1,1,1，



3平面及其方程

已知平面过点M0（x0、y0、z0），nA,B,C为的法矢量。 1> 点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。 3> 截距式：距。

xaybcz1，a，b，分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截

0

第- 5 –页

π1⊥π2  n1⊥n2 π1∥π2  n1∥n2

点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为

d 例1、

Ax0By0Cz0DABC222

求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。

ij33427i3j9k 5k解 QPn112： QP1,3,4，

n已知平面的法矢量12,3,5

取n9,1,3

所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即：9x-y+3z-16=0 例2、

解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0 将点M1(2,-1,0)，M2(3,0,5)分别代入得 2BD03D0B1D3

第- 6 –页

∴平面方程为：x–y–3=0

解法二：nk，nM1M2

kM1M201ij01k1ij 5 取n1,1

-(x–2)+(y+1)=0 得平面方程：x–y–3=0

yDzDC

(2)设平面方程为y+Cz+D=0 1即

D5 D2C∴ 得 5　2 D5C5 ∴

22y5z-100yz50

4直线及其方程 <1> 空间直线的一般方程

A1xB1yC1zD10L：

A2xB2yC2zD200

第- 7 –页

<2> 点向式（对称式）

直线过点M0(x0、y0、z0)，sm,n,p为L方向向量

则 L：

xx0myy0nzz0p

xx0mt<3>参数式L： yy0ntt为参数

zxpt0

L1∥L2 L1⊥L2 

5直线与平面关系 <1> L∥π

s⊥n s∥n

0

s1∥s2 s1⊥s2

即

sn0

BnCp

<2> L⊥π

Am<3> 点P到直线L的距离，L的方向向量sm,n,p，M0为L上一点

M0Psd s

例3、 习题4

2、(7)、(8)

第- 8 –页

解(7) 直线

x21y43z11 即所求平面法向量

n-1,13,

由点法式 -(x–1)+3(y–2)+(z+1)=0 即 x–3y–z+3=0 （

8

）

设

平

面

方

程

为

xByCz0，

n1,B,C,n14,1,2

n1n0 得 4B2C0  B1

点(6,3,2)代入平面，得：

C3263B2C0

所求平面2x2y3z0

<4>平面束方程

A1xB1yC1zD10直线L：

AxByCzD02222

则A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0 为过直线L的除平面A2xB2yC2zD20外的平面束方程

第- 9 –页

3x4y2z50例 一平面过直线L：，且在z轴有截距3，

x2yz70求它的方程

解：过直线L的平面束方程为:

3x4y2z5(x2yz7)0

即 (3)x(42)y(2)z750

据题意

7523114

114代入平面束方程，得：

x38y19z570

习题4 , 2 ,(9) 例 已知两直线方程L1:x11z1y20z31

L2:x22y11，则过L1且平行L2的平面方程是

x3yz20

解：

xz40L1: sy201,0,

1

过L1的平面束方程：xz4(y2)0n1,即xyz420,1

第- 10 –页

由平行L2 ∴ sn0所求方程为：x

得

3

3yz20

例 已知平面:y2z20 直线L:（1）直线L和平面是否平行？

2xy203y2z20

（2）如直线L与平面平行，则求直线L与平面的距离，如不平行，

则求L与的交点。

（3）求过直线L且与平面垂直的平面方程

n解：法矢量0,iL的方向向量s∥

1,j132

k2002i4j6k,

2 取s1,2,3

∵ ns0

∴ L与不平行

y2z20解一、 2xy20得 交点（1，0，1）

3y2z20第- 11 –页

解二、将L化为点向式

x1y22z23，(在L中令

x0，

得y2,z2，即(0,化为参式

代入

2,2)为L上的一点)，

得8t8t1,得交点(1,0,1)

xt过直线Ly2t2的平面束方程：

z3t22xy2(3y2z2)0

即2x(31)y2z220

∵ 1⊥ 3140所求平面：x2yz20

1

第- 12 –页

60曲面及其方程

常用二次曲面的方程及其图形 1、球面 ：

设P0x0,y0,z0是球心，R是半径，Px,y,z是球面上任一点，则

P0PR，即

xx022yy0zz0R222

xyzR2、椭球面

22222

xayb22zc221

3、旋转曲面

设L是x0z平面上一条曲线，fx,z0y0(0,0,z0)(x0,y0,0)(x,y,z)L绕z旋转一周所

得旋转曲面：

fx0x2y,z0

22xyzz022x2y,2zz0

x0xy得f

22z0z代入方程fx,z0

x2y,z0

z2y0x第- 13 –页

例1、zx2y,zaxyxya222222 称为旋转抛物面

旋转双曲面：2zc221，(单)

2z

4、椭圆抛物面 zax2xya2zc22

by2ab0

5、单叶双曲面

xa22yb22zc221

6、双叶双曲面 

xa22yb22zc221

7、二次锥面 圆锥面 z

2xa222yb222zc220

xyz2ax2by

28、柱面 抛物柱面 yaxxa222a1

0

椭圆柱面

yb22 圆柱面

xy22R

260空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程 一般式

F1x,y,z0F2x,y,z0xxt第- 14 –页 参数式yytzzt

曲线 在三

F1x,y,z0F2x,y,z0坐标面上投影方程

F1x,y,z0在x0y面上投影曲线方程：在 中消去z，再与

Fx,y,z02z=0联立。

其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。 第- 15 –页