数据的代表3

数据的代表

一、知识点：

1.平均数、加权平均数的定义：

①平均数：一般地，如果有n个数x1，x2，……，xn，那么，叫做这n个数的平均数，

②加权平均数：如果n个数中，x1出现f1次,x2出现f2次，……，xk出现fk次，(这里f1+f2+……+fk=n)，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为

这样求得的平均数

2.中位数和众数的定义：

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。（一组数据的中位数只有一个）

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

二、例题：

例1：某学校要了解期末数学考试成绩，从考试卷中抽取部分试卷，其中有一人得100分，2人得95分，8人得90分，10人得80分，15人得70分。求这些同学的平均成绩。

分析：这个平均数是加权平均数。

解：平均成绩:

例2：某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是______。

解：由一组数据的平均数定义知 实际平均数: 求出的平均数:

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读作“x拔”。

叫做加权平均数，其中f1，f2，……,fk叫做权。

=（1001+952+90×8＋80×10＋70×15）≈79.4

= (x1+x2+……+x29+105) 错==-3

(x1+x2+……+x29+15)

错-=

所以由此错误求出的平均数与实际平均数的差是-3。

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提示：解此类题一定要对平均数的定义十分清楚。

例3：设两组数a1,a2,a3……an和b1,b2,b3……bn的平均数为和，那么新的一组数a1+b1,a2+b2,a3+b3……an+bn的平均数是 [ ] A.

错解：好像是(A)

正解：根据平均数的定义应选（B）

例4：选择题：

(1)已知一组数据为1，0，-3，2，-6，5，这组数据的中位数为 [ ] A．0 B．1 C．1.5 D．0.5

(2)已知一组数据为-3，6，-3，6，13，20，6，1，这组数据的众数是 [ ] A．2 B．-3 C．6 D．3.5

分析：求一组数据的中位数，只需将数据由小到大排列起来，如果数据个数是奇数，中间一个即是，如果数据个数是偶数，中间两个数字的平均数就是中位数。

(1)将数据由小到大排列为-6，-3，0，1，2，5，中间两个数1和0的平均数为0.5，因此选D。

(2)数据6出现3次，数据-3出现2次，其余的数据都只出现1次，因此选择C。

说明：中位数不一定是这一组数据中的某一个数，当这组数据的个数是偶数时，是中间两个数的平均数。

例5：求下列数据的众数 (1)3，2，5，3，1，2，3 (2)5，2，1，5，3，5，2，2

分析：∵一组数据的众数不一定唯一，因此，如果一组数据中有几个数据重复的次数相同，并且次数是最高的，那么这几个数据都是这组数据的众数

解： (1)众数是3 (2)众数是5和2

说明：众数是一组数据中，出现次数最多的数据，(1)中3出现了三次最多，所以众数是3，(2)中5，2这两个数据都出现了三次，是最高次数，所以数据5，2都是众数，即一组数据的众数不一定唯一。

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(+) B. + C.(+) D.以上都不对

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例6：求下面这组数据的平均数、中位数、众数。 249 252 250 246 251 249 252 249 253 254 249 256 249 252 255 253

分析：通过观察发现，上面16个数据都在250左右波动，可将上面各数据同时减去250，转化为计算一组数值较小的新数据的平均数。

解：取a=250，原数据分别减去250,得到一组新数据：-1，2，0，-4，1，-1，2，-1，3，4，-1，6，-1，2，5，3 计算新数据的平均数： 原数据的平均数是：=

=

(-1+2+0+…+3)=

19=1.1875

+a=1.1875+250=251.1875

把这组数据从小到大排列：246，249，249，249，249，249，250，251，252，252，252，253，253，254，255，256最中间的两个数据是251，252。 中位数=

例7：某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。

分析：根据求平均数公式可列出该数据组的平均数为

解：平均数：

=

=9

（10+10+x+8）,中位数要先从小到

（251+252）=251.5

在16个数据中，249出现了5次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是249。

大排列后才可求出，又不知道x的大小，就要分情况讨论，然后列方程求解。

（1）当x≤8时，原数据按从小到大排列为：x,8，10，10，其中位数为 若

（2）当8（3）当x≥10时，原数据按从小到大排列为：8,10，10，x其中位数为 若

=10,则x=12 =

=9，则x=8

∴此时中位数为9

，则x=8,不在8=10

∴此时中位数是10

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综上所述，这组数据的中位数是9或10

说明：分类讨论是数学中的重要思想方法，解题时一定要全面考虑，对可能出现的各种情况要逐个研究讨论。

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