湖南省2013年高中数学竞赛试题(A卷)及其解答.doc

一、填空题（每小题8分，共72分）

选择题（本大题共10个小题，每个小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

3x4x1,clog3x，若x1，则将a,b,c按从小到大的顺序排序排列为

434 ．cab

222．已知a,b为常数，若f(x)x2xa，f(bx)4x4x1，则f(axb)0的解集为 ．{xR|x1}

3131222xaybzc(1,1)，3．已知向量a(0,1),b(则xyz,),c(,)，

22224的最小值为 ．

32Sn224．设Sn为数列{an}的前n项和，若不等式an2a1对任意等差数列{an}及任何正整

n1数n恒成立，则的最大值为 ．

55．平面上三条直线x2y20.x20,xky0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能取值的个数是 ．3

6．已知异面直线a,b成60角，P为空间中一定点，则过点P且与a,b均成45角的平面

1．设a(),b()的个数是 ．2 7．有一个1，2，3，…，9的排列，现将其重新排列，则1和2不在原来位置的概率是 ．（答

757A7案中可含有排列数表示式）9

A918．若sin(x20)cos(x10)cos(x10)，则tanx= ．3 9．今天（2013年7月19日）是星期五，则3天之后是星期 ．四 二、解答题（共4个小题，共78分）

10．如图所示，在对边乘积相等的圆内接凸四边形ABCD中，M为对角线BD的中点，T为劣弧BC上一点，且CT||DB，求证：A、M、T三点共线．

证明：由题设，在圆内接四边形ABCD中，AB·CD=BC·DA．连结DT、BT、AC． 由CT||DB知四边形DBTC为等腰梯形，从而CD=TB,DT=BC． 由AB·CD=BC·DA，可知AB·BT=DT·DA． 注意到∠ABT与∠TDA互补，知，

201311ABBTsinABTDTDAsinTDA，即22SABTSAD．T

*由此可知AT过DB的中点，故A、M、T三点共线． 11．已知数列{an}满足a11,an12an1(nN)． （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：

an1a1a2nn． 23a2a3an122nn1解：（1）因为an12an1，所以an112(an1)2(an11)2(a11)2即an21．

n，

1

ak2k1(2)证明：∵k1ak121∴

2k11＜,k1,2,...,n, 122(2k)2aa1a2nn＜. a2a3an12ak2k11111111k1∵≥),k=1,2,…,n(ak12122(2k11)23·2k2k2232k题源（2006年福建卷）已知数列｛an｝满足a1=1,an1=2an+1(n∈N) （Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; （Ⅲ）证明:

an1a1a2n＜n＜(n∈N*). 23a2a3an12x2y212．已知P(x0,y0)为椭圆221(ab0)上一点．

ab（1）设直线l为过点P的椭圆切线，试求过椭圆焦点F(-c,0)且垂直于l的直线方程；

（2）求证：椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心，且过长轴顶点的圆．

x0xy0y21．① 2abyxxy设过焦点F(-c,0)且垂直于l的直线方程为0202F0，将F(-c,0)代入方程得

baycyxxyycF02，故要求的方程为0202020．②

bbab解：（1）易知直线l的方程为

（2）先考察左焦点F(-c,0)在切线上的射影．

2c1x0y0x(),2224x0y0Dab由①②联立解得其中D44．

abyxycy1(000).Da2a2b22cyx0y0c21x0y022xy2[(24)2(022)] 2Dabaab2242222222x0y0cy0cy02x0y0cx0yc1x02[(4248)(424404)] Daabbbabab22222y0y0cy0x01x02[(44)4(44)] Dabbba221y1y0222[01][4(ab)1] 42DbDb2222y0x01a2y01a2y0[4(12)](42)

DbaDbb22x0a2y0(44)a2． Dba13．2013个白球和2014个黑球任意排成一列，求证：无论如何排列，都至少有一个黑球，

其左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为0）．

解：将2014个黑球从左至右依次记为A1,A2,A3,,A2014，设Ai与Ai1之间白球的个数

2

为xi(i2,3,,2014)，A1左侧的白球的个数为x1，且记Si用反证法：假设原命题不成立，则Sii1．

x(i1,2,3,,2014)．

kk1i先考虑A1，S1x10，所以S11；再考虑A2,S21，S2S1x2，由于S11，所以可得S22，……．这与题目共2013个白球矛盾！命题得证．

题源：(2009年中国科技大学自主招生)2008个白球和2009个黑球任意排成一列。求证：

必有一个黑球使得他左边的白球和黑球的个数一样多（包括左边有零个白球和另个黑球的情况）．

解答：白球赋值为-1，黑球赋值为1.

记第i球的值为ai,前n个球的标号和为sn. 注意到第一个球为白球，则s1=-1,而s4017=1,

则必有j（j为偶数）,使得sj=0，去掉前j个球（一半白球，一半黑球） 回到上述操作，从而只需考虑1个白球和2个黑球的情况， 显然成立.

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