物 理 学 进 展
PROGRESSINPHYSICS
Vol.19,No.1March,1999
量子光学中的非经典态
于祖荣
(上海交通大学应用物理学 上海 200030)
热光场态、相干态、压缩态、相位态和中间态等。重摘 要 本文扼要地介绍了光子数态、
点是介绍它们的物理性质。例如,指出相干态在谐振子座标表象中的表示就是带电谐振子在均匀电场中的基态波函数;它的时间演化波包的概率密度分布,形状不随时间变但中心位置随时间作周期振荡。
文中对相干态和压缩态等提供了也许是一点新的看法:将相干态、压缩真空态、压缩相干态和相干压缩态等看作是一准玻色子的基态或相干态。而实现的手段可以是原来的幺正算符也可以是投影算符。这样的好处是:(1)对相干态和压缩态间的联系有更深的认识;(2)便于计算和进一步展开等等。
文中还对各个态的压缩性、统计性等作了介绍,有的还用图表等演示了它们的非类经典特性。
最后,文中还介绍了准概率分布函数、相空间技术以及它们的应用并给出了示例。
关键词 相干态 压缩态 相位态 中间态 准经典态 准概率分布函数
0 引 言
光的量子理论应追溯到Planck-Einstein年代,但直到1960年激光器问世前,在光学研究上并无有更多的新现象、新概念出现。六十年代初发明了激光器完全改变了这个局面,迎来了量子光学蓬勃发展的新时代。1997年度的Nobel奖授予激光冷却原子的发
明者朱棣文等[2]是这一情景的标志。今天,量子光学的研究已密切关及到量子力学本身许多基本问题,所以它的进展就更引人注目。
在过去四十年里,量子光学研究重大进展之一,是构造出许多非经典态,如:光子数态,Glauber相干态,多光子相干态,偶、奇相干态,压缩态,Schrodinger猫态,相位态,压缩数态以及中间态等等。这些态都有许多非经典性质,它们中有的虽已从实验上制备了出来,但总的仍偏于理论探讨。在这里我们将对这些态的概况作一些简单介绍和评述。其中许多已是大家熟悉的,我们将只概括地提一下,而对一些比较少见的内容则作稍许详细的介绍。
收稿日期:1998)09)26;修改日期:1998)10)25[1]
1期于祖荣:量子光学中的非经典态73
下面先介绍一些在今后会经常遇到的重要概念。
(1)压缩性。大家知道,在量子力学中电磁辐射场的每个模式对应于一个谐振子,所以单模式光的电场可用下面标量算符表示
E(r,t)=
(hX/2E0V)[aexp[i(k#r-Xt)+h.c.]
(1)
这里a和a+分别是谐振子的湮灭和产生算符,满足大家熟知的玻色子对易关系。V是边长为L的立方体光场腔的体积,V=L3。h.c.代表厄密共轭。k是波矢,它的方向为波的传播方向。电场偏振(极化)方向垂直于波矢k,磁场垂直于电场和波矢;电场、磁场和波矢三者构成右手螺旋。可以证明相互垂直的电场和磁场是不对易的。E0和L0分别是真空介电常数和磁导率:满足E0L0=c
-2
,c是真空光速。
(+)
由于物理上的需要,常将电场算复符(1)分成正、负频率两部分,
E(r,t)=E(r,t)
(+)
+E(r,t)
(-)
(2)
其中正频部分E(r,t)=hX/2E0V)aexp[i(k#r-Xt)],负频部分是它的厄密共轭。
下面定义两个分别与谐振子的位移q和动量p对应的算符
X1=(a+a+)/2, X2=(a-a+)/2i
那么r=0处的单模电场为
E(t)=Eo(X1cosXt+X2sinXt)
其中Eo=
2hX/E0V)。这意味着在相空间中电场有两个相互垂直的振动组成,它们的
振幅分别正比于X1和X2。
因为[X1,X2]=i/2,故按量子力学基本原量,对任意态有
$X1$X2\\1/4
如果等号成立,则称这个态为最小测不准态。而如果能找到一个态使
$X1(或$X2)<1/2
并保持(4)式中的等号,则称这个态有理想的振幅压缩效应。
(2)统计性。对任意态可算出数算符N=a+a的平均值3N4和均方根偏差$N,由此可定义Fano因子
($N)2
F=
3N4
(6)(5)(4)(3)
当F=1时,称这个态的光子数分布为泊松分布;当F>1时,则光子数的分布比泊松分布要宽,称它为超泊松分布;而当F<1时则比泊松分布更窄,称之为亚泊松分布。
(3)反聚束性。在量子光学发展过程中,Hanbury-Brown和Twiss(HBT)实验被公认是奠定量子光学基础的关键实验。图(1)给出了该实验装置的示意图。图中M是一半透明的分束镜,它将射来的光束分成两半,一半被光电探测器P1接收,另一半则被P2接收;两探测器输出的讯号又被馈送到一个相关器C。并且在其中一条光路上装时间延迟器,使时间延迟了S。这个装置与通常的Young氏和Michelson实验不同,在Young氏实验或Michelson实验中只观测两束光场的关联,被认为只是一级关联,它由一级相关度g(1)(S)描述。可以指出对稳定的完全相干光场只要谱形相同,它们的g(1)(S)均等于1。而HBT实验,从经典角度看是光的强度-强度关联:3I(r,t)I(r,t+S)4,是场的二级关74物理学进展19卷
联。这里3,4代表对某个响应时间T的平均,并已假定两个光电探测器P1和P2距离很近,故r1Ur2Ur。
代替3I(r,t)I(r,t+S)4描述光强的相关程度,
3I(r,t)I(r,t+S4g(2)(r,t,t+S)=
3I(r,t)43(I(r,t+S)4用不等式3I2(r,t)4>(3I(r,t)4)2,立即可得
(2)
2
通常用二级关联度g
(2)
(7)
3I(r,t)4g(0)=(8)2\\1
(3I(r,t)4)
再借助Schwarz不等式|3I(r,t)I(r,t+S)4|2[3I2(r,t)43I2(r,t+S)4,对稳定光场又可以证明
g(2)(S)[g(2)(0)
(9)
转到量子力学,首先要问不等式(8)和(9)是否成立?为回答这个问题,让我们先看个例子。假定HBT实验中只有一光子,当这个光子到达镜子M后,按量子力学基本假设它或者被反射或者透射两者必居其一,不会有半个反射半个透射,所以必有g(2)(0)=0,亦即不等式(8)被破坏,这完全是一种量子力学效应。所以在量子力学中,对某些光场的态不等式(8)和(9)有可能被破坏,对这类态统常称为非类经典态;否则称为类经典态。
另外,在量子力学中g(2)(S)的定义也要改变,对稳定的单模光场可简化为
3a+a+(S)a(S)a4(2)
g(S)=
3a+a42
(2)
(10)
这里3,4=Tr(Q,)也与经典不同,是对量子态的平均。由此可见,g(S)是度量时间t和t+S之间光子的关联。当光场满足不等式(9)时,且S 则称它是反聚束的,例如共振荧光。又因 g(2)(2)=1+ 所以g (2) (11)(12) F-13a+a4 (0)大于、等于或小于1是与F的分别一一对应的。于是若 g(2)(0)<1 (13) 则光场的光子数分布呈亚泊松分布,而满足(8)的则呈超泊松或泊松分布。 总起来,一个光场如果它具有压缩性、亚泊松分布和反聚束效应等等,则称它为非类经典光场,否则称类经典光场。当然,一个非类经典光场一般不会具有全部这些性质的。 1 光子数态 从电磁场的表式容易写出单模辐射场的哈密尔顿量为 H=¶X(a+a+1/2) (14) 显然H的本征态也是光子数算符N=a+a的本征态:N|n4=n|n4,常称|n4为光子数态,本征值n则称光子数。因物理上不存在负的光子数,故a|04=0。而¶X/2为光场的零点能量。 1期于祖荣:量子光学中的非经典态75 光子数态|n4,是量子光学中最基本和最重要的态。它构成一完备组:E|n43n|=1,任意光子态均可按此展开,展开是唯一的。 推广到多模式是简单和直接的,若令s摸式光子的湮灭和产生算符分别为as和as+,则多模式光场的基矢可直接推广为 |n1,n2,,4=|{ns}4=|n14|n24,(15) (1)对单模光子数态容易求得$X1= (2n+1)/2, $X2= (2n+1)/2 (16) 所以光子数态不是最小测不准态,也不具有振幅压缩。 2) 又光子数态的F=0和g((n)(0)=1-1/n,所以光子数态呈亚泊松分布,这是自然的 图1 HBT实验的示意图 因光子数态中的光子数是确定的。 (2)光子数态的一个重要性质是场算符的平均值为零:3n|E|n4=0;但算符E2的平均值不为零,所以E的均方偏差不为零: ($E)2=3n|E2|n4=(¶X/EV)(n+1/2) 同的,均来自算符a和a间的不对易。 真空涨落有观察效果,主要是Lamb移动。在Dirac理论中氢原子的22s1/2和22p1/2 能级是简并的,但Lamb和Retherford[3]的实验指出这两条能级不简并,22s1/2比22p1/2高约100MHz。 Lamb移动可按半经典理论加上零点涨落给予完全说明。所谓半径典理论是指:把原子、分子看作量子系统,而把光看作经典电磁波。这样做在许多问题中往往是正确的,如光电效应,受激辐射和共振荧光等等。有的则还需加上零点涨落,如自发辐射,Lamb移动和激光线宽等等。 关系Lamb移动的半经典解释首先是由Bethe和Welton[4]作出的,他认为:电子在零点场的扰动下轨道发生偏离使电子获得附加势能,而后用量子论中的微扰论计算了这个附加能量,结论是:在一级近似下只有s轨道上的电子此附加能量不为零而p轨道上的为零,且算得的理论值与观测值一致。 (3)但半经典理论并不是总是有效的,有些问题是必需用完全量子力学的,例如量子拍现象。为说明这现象,考虑光与三能级原子的相互作用。假定三能级原子系统有如图(2)所示两类:V-型原子(图2a)和+-型原子(图2b)。对这些模型,一般的原子态应是图中三个态的叠加。故它们的非零偶极矩阵为 V型原子 +型原子 Pac=e3a|r|c4 Pbc=e3b|r|c4于是原子的振动偶极子为: Pac=e3a|r|c4Pab=e3a|r|b4 + (17) 特别是对真空态|04的均方偏差不为零,称此为真空涨落。真空涨落和零点能的起源是相 76物理学进展19卷 P(t) V * =Pac(c*acc)exp(iX1t)+Pbc(cbcc)exp(iX2t)+c.c (18)(19) * P(t)+=Pac(c*acc)exp(iX1t)+Pab(cacb)exp(iX2t)+c.c 其中,V型原子的X1=Xa-Xc,X2=Xb-Xc;+型原子的X1=Xa-Xb,X2=Xa-Xc。 图2 三能级原子 在半经典理论中,原子辐射场是 E(+)=E1exp(-iX1t)+E2exp(-iX2t) 故 |E (+) |=|E1|+|E2|+{E1E2exp[i(X1-X2t)]} 222* 即两种模型干涉项(拍)均存在。而在完全的量子力学理论中,两模型的波函数分别是: |WV(t)4=|W+(t)4= i=a,b,c i=a,b,c 6 6 ci|i,04+c1|c,1X 14+c2|,c,1X 24 cic|i,04+c1c|b,1X 14+cc2|c,1X 24E2 (+) 其中|#,#4=|原子态4á|光子数态4。所以有 3Wv(t)|E1 (-) |Wv(t)4=kexp[i(X1-X2)] (-) (+) (20)(21) W+(t)|E1E2 |W+(t)4=0 显然与半经典理论的不同。从量子测量理论可以得出结论:半经典理论不正确而量子理 论是正确的,这是因为:若激发的V型原子因放出X1或X2一个光子而跃迁到相同的终态,故测量不能决定原子是循那条路径衰变的,犹如Young氏实验中的情形,这种运行轨道不确定导致了量子干涉(拍)现象。而激发的+型原子虽然也是通过发射X1或X2一个光子而衰变的,但经过一段时间之后我们可以区分原子是循那条路径衰变的,故观察不到拍现象。 (4)最后,在此顺便给出热光场(混沌光场)的一些性质。热光场的态密度为3n4n 3n|Q=6n+1|n4 (1+3n4) 其中3n4=Tr(NQ)是平均热光子数。知道了Q就可算出热光场的 3aa4=3a+a+4=0, 3N24=2(3n4)2+3n4 所以 $X1=$X2= (23n4+1) F=1+3n4, g(2)(0)=2(22) 1期于祖荣:量子光学中的非经典态77 即热光场无压缩性,属超泊松分布的光场。实际上它的光子数分布是Bose-Einstein分布, 3n4Qnn=3n|Q|n4=n+1 (1+3n4) n (23) 2 相干态 什么样的物理状况会产生相干态?考虑一经典电流J(r,t)产生的辐射场问题。这电流与矢势A(r,t)的作用能量为 V(t)= dS[J(r,t)#A(r,t)]/cQ 所以在相互作用表象中,Schrodinger方程的解为 |W(t)4=exp[(-i/¶)dtV(t)]|W(0)4 假定辐射场是单模式的,经计算最后可得 |W(t)4=exp[Aa+-A*a]|W(0)4 其中A是与算符a和a无关的量。这就是单模式相干态。 一般,单模式相干态定义为[5] |a4=exp(Aa+-A*a)|04 或者也可写作 |a4=exp(-|A|2/2)exp(Aa+)|04 =exp(-|A|/2) 2 n=0 Q cc + (24a)(24b)(24c)(25) 6 ] n (A/ n!)|n4 这里A是复数,|04光子真空态。物理文献上称|A4为Glauber相干态。而将幺正算符 D(A)=exp(Aa-Aa) 称为位移算符。 (1)容易算得X1和X2在|A4中的均方根偏差 $X1=$X2=1/2 $X1$X2=1/4 (26) 2 + * 即相干态是最小测不准态,但没有振幅压缩。另外,从3A|E|A4和$E可以看出随|A| 增加,$E与3A|E|A4之比将减小,所以当|a|2很大时相干态光场接近于经典光场。但注意,相干态光场与经典场根本不同之处在于相干态光场有涨落,这种涨落可以认为起源于真空起伏:在通过D(A)使真空态|04演化成相干态|A4时真空涨落保存了下来。 也容易算出光子数在|A4的平均值和平方平均值, 3A|N|A4=|A| 3A|N2|A4=|A|4+|A|2 所以Fano因子F=1,g(2)(0)=1。即相干态中的光子数分布是泊松分布,P(n)=3n4Aexp(-3n4)/n.出在高激发态的激光光子分布就是如此。2 (27a)(27b)(28) 其中3n4A=|A|2是平均光子数(27a)。它比热光子的Bose-Einstein分布要窄。可以指 78物理学进展19卷 (2)现在,再回来看看相干态所包含的物理内容。为此考虑它在坐标q表象中的表示, Wo(q,0)=3q|A4=exp(-|A|/2) 波函数3q|n4已在普通量子力学教科书中给出, Un(q)=3q|n4 = 其中F=Bq,B= (B/(2n. n 2 6 (A/ n n!)3q|n4(29) d2 P))(-1)exp(F/2)nexp(-F) dF n 2 1/2 n (X/¶)(已令质量为1)代入(29)式,并令A=(X/2¶)Wo(q,0)= (X/¶P)exp[(-X/2¶)(q-qo)2] qo(实数),则得 (30) 即是说在坐标表象中,Glauber相干态实际上就是平移后的谐振子基态波函数。亦即相当 于将一带电谐振子放在电场中的结果。再看|A4的时间演化, |A,t4=exp(-iHt/¶)|A4=exp(-iXt/2)|A(t)4 该波包的概率密度, 2 |W¶)1/2exp[-X(q-qocosXt)2/¶]o(q,t)|=(X/P (31) 其中A(t)=Aexp(-iXt)。用类似于导出(30)式的步骤,可以得到Wo(q,t),从而可得到 (32) 这意味着相干态波包的时间演化过程中,它的中心在作来回振荡而回绕振荡中心的概率分布保持不变。这种情况与谐振子势中的D波包是很不一样的。可以指出D波包的演化过程是:若t=0时为D(q-qo),在Xt=P/2时变成了平面波能观察到这种变化。 (3)相干态是归一的但不正交, 3A|B4=exp[-(|A|-|B|)/2+AB] 且满足 |A43A|dL(A)=Q 所以|A4是过完备的。 由此可知相干态可以看作是量子力学的一个表象。因为任一态矢量|W4均可用相干态展开, |W4= 其中 fW(A*)= 1 (34) 2 2 * (mX/2P¶)exp[i (mXqo|¶)q],而到Xt=P时又变成了D形波包D(q+qo)。如果有一快速闪频观察仪将 (33) dL(A)=d2A/P, d2A=d(ReA)d(ImA) Q * dL(A)|A4exp(-|A|2/2)fW(A) (35) 6 * (A/ 4n.)3n|W(36) fW(A*)是态矢量|W4在相干态表象中的表示。同样对任一算符0也可给出它在相干态表象中的表示。不失一般性,令算符0=6Cmna+man,则 |U4=0|W4yfU(A)=0(A,5/5A)fW(A) 其中0算符在相干态表象中的表示为0(A,5/5A)。例如(37) 1期于祖荣:量子光学中的非经典态79 a+yA, ay5/5A(38) 这就给出了相干态与Bargmann表示间的联系。 (4)相干态表象在量子光学中的一个重要应用是可以定义一些准经典分布函数[6] P 其中 C(s)(B,B*)=Tr(D(B)Q)exp[s|B|2/2] Q是态密度算符,Tr(Q)=1。s是参数, ** 当s=1时, P(s)(A,A)=P(A,A), 称P表示*当s=-1时, P(s)(A,A)=Q(A,A*), 称Q表示**当s=0时, P(s)(A,A)=W(A,A), 称Wigner函数 (s) (A,A)=P *-1 Q dL(B)exp(BA-BA)C **(s) (B,B) * (39)(40)(41)(42)(43) 这些函数若是品质很好的函数,则它们将起到经典统计物理中分布函数的某些作用。可 * 惜许多光场不是这样,例如以下一些光场的P(A,A)是非正规函数, *(2) Glauber相干态:P(A,A)=PD(A-Ao) (44) 光子数态: 52(2)P(A,A)=(1/n.)exp(|A|))*D(A5A5A * 2 (45) 但热光场(混沌光场)的P是正规函数,热光场: * P(A,A)=3n4-1exp(-|A|2/3n4) (46) 它是Gauss函数。 类似地也可以求出这些光场的Q(A,A*)和W(A,A*)。 这些准经典分布函数在量子光学中的作用大致有以下几个方面: ¹用这些分布函数可类似经典统计物理中那样方便地计算出物理量的平均值。例如 * QP(A,A)|A|4d2A热光场 g(0)=*222=2 [QP(A,A)|A|dA] 相干态光场 g(2)(0)=1 (2) 当然要求这些函数是非负定的和非奇异的。但即使如此,一般它们也不具备经典分布函数的全部性质。 顺便指出,对正规乘积型算符,即产生算符在左湮灭算符在右,用P表示较方便;对反正规乘积型算符用Q表示较方便;而对对称型算符则用Wigncr函数较方便。 º引入相空间概念从而可从几何角度研究系统的性质。因在相干态表象中3X14=Re(A),3X24=Im(A),这意味着相空间可由座标(Re(A),Im(A))构成。于是象相干态|Ao4的Wigner函数 *2 Wc(A,A)=2exp(-2|A-Ao|) (47) 2 在相空间中可用W=常数的回路(圆)表示,如图3所示。回路中心在(|A),A=|A|o|,H exp(iH)。从图上可以粗略看出一个态的相位的性质:例如对|A4=H,$UU$H,o4,3U$H是回路的角歧散。80物理学进展19卷 »从分布函数还可推出一些光场的非类经典性质。例如,因g(0)<1等价于 (3a+a+aa4-3a+a42)<0 上式左边是正规乘积,故可用P表示计算它的值,即 QP(A,A*)(|A|2-3a+a4)2dL(A)<0 可见,除非P(A,A*)<0,否则不等式不能成立。亦即此类光场必是非类经典的。 又如($Xi)2(i=1,2)在P表示中可写作 ($Xi)2=1/4+(B$XiB)2 =1/4{1+ (2) Q 图3 相空间中的相干态图示 *** dL(A)P(A,A)[(A+A-(3A4+3A4)]2} * 方刮弧中的值必大于零,所以若要($Xi)231/4,则P(A,A)必须是负的,因此有振幅压 缩性质的态必是非类经典态。 (5)相干态的定义除(24)式外还有别的等价的定义。例如大家熟悉的有:可定义|A4是湮灭算符的本征态或是最小测不准态,等等。此外还有另一等价的定义[7]。若定义b=a,-A是-b玻色子.的湮灭算符,则|A4就是b玻色子的真空态|04b,即 |04b=D(A)|04 所以D(A)算符成为从|04变为|04b的变换算符。当然D(A)不是唯一的变换算符,例如玻色真空投影数符也是这种变换算符。玻色真空投影数符的定义为 ] (-1)m(b+)mbm P=|04b30|=6m.m=0它满足:bP=0;P2=P;P|n4b=0,nX0以及 P|W4= (48) 6 cnP|n4b=co|04b,|co|=3W|P|W4 2 (49) 这里|n4b是-b玻色子.的Fock态。现在可容易证明 |A4=|04b=exp(-|A|2/2)exp(Aa+)|04a 其中co=exp(-|A|/2)。 (6)但是所有这些等价形式中,只有(24)式能推广到一般群的广义相干态自旋相干态的定义为 |Z4=exp(z*J--zJ+)|Uo4 其中J+,J-和Jo构成自旋代数(su(2)代数),|Uo4是最高或最低权态。 ++ 对二模式光场J+=a+1a2,J-=a1a2,Jo=(a1+a1-a2a2)/2。所以自旋相干态 [8] 2 。例如(50) (50)与由(24)直接推广得到的二模相干态 |A1A24=[-(|A1|+|A2|)/2] + @cxp(Aa+1a1+A2)|004 2 2 (51) 是完全不同的,前者只有一个复参数而后者有两个。此外,我们还可以定义另一个新的单复参数相干态: 1期于祖荣:量子光学中的非经典态81 |K4=exp(-|K|2/2)@exp(-iKa1+Ka2+ia1a2) 中的D矩阵。 (7)最近文献上常常讨论所谓Schrodinger猫态(S-Cat态)[9],这个术语来自著名的Schrodinger杀猫的故事,但没有那里的-死猫.、-活猫.这类在生物学上不可逆的状态。去除这些含混之词,Schrodinger杀猫故事中剩下的核心内容是:两个或多个宏观上可区分的量子态在相干叠加后产生的态。如前所述,相干态是最接近经典电磁波的量子态,所以两个或多个相干态的相干叠加必是S-Cat态。也就是说S-Cat态概念是将量子力学中的态叠加原理推广到了相干态领域。例如 |S-Cat,14~(|A4+|-A4) 和 |S-Cat,24~(|A4?|04) (53b) 在选择适当的归一因子后,|S-Cat,14就是偶相干态,即(24c)中n=偶数。注意,|S-Cat,14是两个相位差P的相干态叠加,而|S-Cat,24是两个振幅不同的相干态叠加。前者称相位S-Cat态,而后者称振幅S-Cat。文献[10]给出实轴上的相干态叠加态也可看作是振幅S-Cat态的一个例子。 从上面的讨论知道,构造S-Cat态的要素是:¹相互叠加的态有类经典性质;º叠加是相干的。这类态必有许多非类经典性质,例如压缩性,高阶压缩性,亚泊松分布,光子数振荡等等。当然不是每个S-Cat态都具备所有这些性质的,例如偶相干态具有压缩性但不具有亚泊松分布;而奇相干态((24)中的n=奇数)则反之。实验上制备S-Cat态,据目前的研究认为至少在原则上是可能的,详细请看有关文献。 (53a) + * + + + (52) 所有这些相干态都各有各的用处,在物理上均是很重要的。例如(50)可用来算出转动群 3 压缩态 前已指出,如果有一个态能使(4)和(5)式同时满足,则它有振幅压缩性质,称这样的态为理想压缩态。按此定义,相干态和数态均不是压缩态。那么压缩态究竟是什么样子的呢?压缩态有什么重要性?先回答后一问题。譬如考虑引力波的测量。超新星爆发产生对实验室仪器有一非常微弱的力使仪器有极其微小的振荡,其振幅一般远小于基态波函数的宽度,所以为要探测这微弱讯号,办法之一是压缩基态波函数,这就充分显示出了研究压缩波的重要性。 波包如何能压缩呢?若考虑一有附加势能的谐振子,它的哈密顿为 H=P/2m+kq/2-eEo(Aq-Bq) 其中Aq使振子发生位移,而Bq2则使波包压缩。这是因为上式可重新写作 H=P2/2m+(k+2eBEo)q2/2-eAEoq 现在很清楚,劲度系数k增强了Bkykc=k+2eBEo,因而波包被压缩了,见图(4)。而Bq2与算符aa和a+a+有关,故可期望压缩态应该也与这类算符有关。2 2 2 82物理学进展19卷 现在定义单模压缩态[11] |F(G)4=exp[(G*aa-Ga+a+)/2]|04=(1-|F|2)1/4exp[(-Fa+a+)/2]|04 (54)(55) 其中F=exp(iU)tanh(|G|),G=|G|exp(iU)。算 + 符aa/2、a+a+/2和(a+1a1-a2a2)/4生成su(1,1)代数,所以(54)实际上是定义了su(1,1)相干态。通常称 S(G)=cxp[(G*aa-Ga+a+)/2] 为压缩算符,它是幺正的。 (1)首先考察|F(G)4的压缩性。用(3)式并假定G是实的(即U=0,G=G),则压缩算符可写成 S(G)=exp[iG(X1X2+X2X1)](57)因在坐标(X1)表象中|04=|041=(2/P) 1/4 (56) 图4 压缩的谐振子波包 exp (-X2(G)4在坐标表象中的表示(即波函数)为1),所以|F W(X1)=3X1|F(G)4 =(2/P)1/4exp(G/2+2iGX1X2)exp(-X21) 2 =(2/PR2)1/4exp(-X21/R) (58a) 其中R=exp(-G)。注意,在得到上式时已用了X2=5/(2i5X1)。(58a)可视作压缩态的物理含义,如图(4)所示。类似地可求出|F(G)4在动量(X2)表象中的波函数,结果是 W(X2)=3X2|F4 .21/4.2 =(2/PR)exp(-X22/R) (58b) 同样,在证明时用了X1=5/(-2i5X2)和|04=|042=(2/P)1/4exp(-X22),而R.=exp(G)。 对波函数W(X1)容易证明:X1的平均值为零,X1的平方平均为R2/4。同样对W c2 (X2)可证明:X2的平均值为零,X2的平方平均为R/4。所以是压缩或膨胀由G决定, 若G>0则W(X1)被压缩,否则W(X2)被压缩。 形式上,(58)式也可看作是一种变换, W(X1)=S1|041 S1=R -1/2 exp[-(R-1) -2 2 X1] (59a) W(X2)=S2|042 c-1/2c-2 S2=Rexp[-(R-1)X22 (59b) S1和S2是非幺正变换算符。现在可写出(59)式的Fouricr变换式。以(59b)为例有 cc-2c-2 W(X2)=[4PR(R-1)]-1/2dX1exp[-X2-1))exp(-iX1X2|0421/(4(R Q 注意,exp(-iX1X2|042=exp(X1/2(a+-a)|0)2,这是实参数相干态|X1/241所以上式为W(X2)=[4PR(R 1 1-2 -1)] -1/2 QdX1exp[-X1/(4(R 21-2 -1))|X1/24 1期 c-2 于祖荣:量子光学中的非经典态 -1/2 83 =[PRc(R-1] Q dX1exp[-X/(R 2 c-2 -1)|X4(60) X1[10] 其中X=2。这就是Jansky的结果。 (2)关系|F(G)4的压缩性还可从直接计算来验证。因 S+aS=L*a-Ta+ SaS+=La+Ta+ 其中L=cosh|G|,T=esinh|G|,所以|L|-|T| 定义 Y1+iY2=e(-+ iU/2) iU 2 2-1 (61a)(61b) iU ,T/L=etanh|G|。 (62) |G| (X1+iX2) (-|G|) 即矢量(X1+iX2)在相空间中旋转了U/2角度。直接计算可得 S(Y1+iY2)S=Y1e +iY2e (63) 即是说若|G|>0则Y1被压缩,否则Y2被压缩。 或者也可直接在|F(G)4中求均方根偏差得 $Y1=e(-|G|)/2,$Y2=e|G|/2 显然当Uy0,Y1(Y2)yX1(X2)上式也成立。 (3)也不难算出 3N4=3F(G)|N|F(G)4=|T|2 3N24=3F(G)|N2|F(G)4=2|L|2|T|2+|T|4 于是 F=2|L| 所以一般说来|F(G)4是超泊松分布态。 (4)象相干态一样,我们也可给出|F(G)4一个等价的新定义[7]。为此先定义新的玻 色子算符 b=La+Ta+, b+=L*a++T*a |L|2-|T|2=1。此即为标准的玻色子Bogoliubov变换。由(61c,d)即可得bS(G)=S(G)a, b+S(G)=S(G)a+ (67)(68) 2 (64) (65)(66) g(2)(0)=3+1/|T|2 所以态|F(G)4实际就是-b准玻色子.的真空态|04b,也就是说|F(G)4是由|04经S(G)变换得到的|04b,故也常称它为压缩真空态。 上述变换,其实也可用真空投影算符(54)代替S(G)来实现。现在P中的b玻色算符由(67)定义。计算相当繁重但很直接,中间一些主要结果如下, P|04=(1-1/2|T|2+3/8|T|4-5/16|T|6+,) @{1-(1-|T|+|T|-|T|+,)(LTa)/2+1/2.(1-|T|+|T|-|T|+,)(LTa+,,}|04 =(1-|F|2)1/2exp(-Fa+a+/2)|04(69) 2 4 6 * +22 2 4 6 * +2 ) -1/3.(1-|T|2+|T|4-|T|6+,)(L*Ta+2/2)3 84物理学进展19卷 因co=(1-|F|2)1/4,所以立即有表示式(55)。其中 * F=(1-|T|2+|T|4-|T|6+,)LT*=LT/(1+|T|2)=eiUtanh|G| 新定义的好处是:¹可以与相干态纳入同一定义框架;º便于计算。例如用现在方法计算(66)式就要比直接计算方便得多。 (5)还可定义所谓压缩相干态[12], |F,A4=S(G)D(A)|04 其实,上式右边边也可重新写作 * S(G)D(A)S(G)-1S(G)|04=exp(Ab+-Ab)|04b=|A4b (70)(71) 即是说|F,A4实际是b玻色子相干态,这里的b玻色子也由(67)定义。按此观点,压缩相干态其实就是幺正算符S(G)将a玻色子相干态变成了b玻色子相干态。就本人知识,这样的看法也许是新的。和a玻色子相干态一样,|A4b自然应是归一的、不正交的和过完备的。这样看待|F,A4的好处之一是比较容易计算在|F,A4中各个物理量的平均值。 例如 ** 3a4b=AL-AT 2*2**3aa4b=AL+A*2T2-2|A|2LT-LL 3aa4b=|A|(|L|+|T||)-ALT-ALT+|T|3aaaa4b=(3aa4b)+K 其中 K=|T|(|L|+|T|h) *2 -3|T|2(LTA*2+C.C.)-|L|2(LTA+C.C.) 2 2 2 + + + 2 +2222***22 +6(|L||T|)2+2|L|4|T|2 于是 $Y1=exp(-|G|)/2, $Y2=exp(|G|)/2 与(64)完全相同,所以压缩相干态也是理想的压缩态。又可算得 g(2)(0)=1+Q F=1+3N4bQ 这里Q=K/(3a+a4b)2。所以只有当Q<0时压缩相干态才呈亚泊松分布的。 最后,也可定义相干压缩态 |4=D(A)S(G)|04 与(70)一样,上式右边可重新写作 D(A)|04b=|#4b * 态。另外,因D(A)|B>=|A+B>exp[(-AB+AB*)/2],则由(60)式可得 c-2c-2 3X2|4=[PRc(R-1)]-1/2dXexp[-X2/(R-1)D(A)|64 c-2 =[PRc(R-1)]-1/2 (72)(73) (74)(75) 这里|#4b是与|A4b不同的b玻色子相干态。对这个态(64)也成立,所以也是理想压缩 Q 1期于祖荣:量子光学中的非经典态85 * @dXexp[-X/(R Q 2 c-2 -1)|X+A4exp[AX-A)/2](76) 即是说,具有压缩性质的|4=|#4b是一类相干态的叠加态。 4 相位态 如果令(1)式中的复数ayA=rexp(iU),则E(r,t)=Eocos(k#r-Xt+U)其中Eo=r 2hX/EoV是振幅,U是相位(初相位)。此即经典物理中电场分解成振 幅和相位的形式。所以说经典电磁波有稳定的振幅和固定的相位。振幅决定光的强度,相位则与干涉现象有关。 在量子力学中,光强比例于光子数,那么相位是什么?能不能也定义一个与经典电磁场相位对应的相位算符?如何定义?等等,这些自然是很有兴趣的问题。对量子相位的 研究已有很长的历史,大致有三个方面:¹相位的算符理论;º相空间理论;»相位的测量。这里仅就¹作扼要介绍,其他则仅简述一、二。 1927年Dirac分析了经典相位定义,定义了一个单色光场的量子相位算符[13]: exp(iU)=(1/ 但是这个定义存在严重困难,主要有两个: ¹定义要求U是厄密算符,但exp(iU)不是幺正的。在光子数表象中 exp(iU)= n=1 (N+1))a (N+1)) (77a)(77b) exp(-iU)=a+(1/ 6 |n-143n|, exp(-iU)= n=0 6 |n+143n|(78)(79) 所以在此表象中 exp(iU)exp(-iU)=1, exp(-iU)exp(iU)=1-|0430| 所以U不可能是厄密的!为解决这矛盾,办法之一是让光子数n可取负值:n=(-],])。这样,exp(iU)自然就变成幺正的。但光子数取负值是非物理的,故上述解决办法只是形式的。 º因为 [exp(iU),N]=exp(iU),或者[N,U]=i 所以在光子数表象中有 3n|NU-Un|Nc4=i3n|nc4,或(n-nc)3n|U|nc4=iDnnc (81) 当n=nc上式给出错误结果:0=i。这个问题即使令光子数可取负值也不能解决,实际上它与U的多值性有关。为弄清这点,我们注意到对易式(80)与角动量对易式[L,V]=i非常相似。在V表象中,为满足物理上的要求L的本征态应是周期函数3V|m4~exp (imV),m是正整数,VyV+2P。但是角变数V取值并未受限止V=-]y]。这意味着在本征函数空间中V的作用是不确定的:虽然3V|m4中V是周期的但Vexp(imV)不是。为解决这问题,可定义一个受限制的U,它与V的关系如图5所示[14],这里我们已选基本周期为-PyP。(80) 86物理学进展19卷 考虑了这点,角动量对易式应换成 [L,U]=i[1-2PD(U-P)],-P 对[N,U]=i可作相同议论。若3U|n4~exp(in U)则(81)式应改变为 (n-nc)3n|U|nc4=i[1-exp(i(nc-n)P](83)与(80)不同,(83)式在数学上是自洽的。仔细讨论请看文献[14,15]。 Dirac之后,关系相位算符的讨论有许多,主要 图5 U与V间的关系,-P (1)为了避开Dirac定义中的困难,Susskind和Glogower[14]根据Louisell的建议转而考虑厄密相位算符(SG方案): C=cosU=(e+eS=sinU=(eiU-e-容易证明 [C,N]=iS,[S,N]=-iC [C,S]=1/2i|0430|, C+S=1-1/2|0430|(85b) N,C和S三个算符间的不对易关系表明它们没有共同本征态。例如在光子数态中 $C=$S= ( 1/2, nX01/2, n=0 (86) 图6 单模数态|n4电场 2 2 iU -iU )/2iU )/2i(84a)(84b) (85a) 这与测不准关系($C)($N)\\3S4/2一致。所以与数态|n4对应的电场有确定的振幅但却没有确定的相位,可取0y2P任意值。如图6所示。 这里顺便指出,容易证明在光子数态|n4中C和S的奇次幂的平均值为零,而偶数幂的计算比较繁复,这里仅将少数几个数值列于表1。 表1 m0246 3Cm4(经典)11/23/820/64 3Cm411/21/43/85/161/820/6419/6414/645/64n\\1n=0n\\2n=1n=0n\\3n=2n=1n=0 表中的3Cm4(经典)是在经典无规相位和等概率分布的假设下算出的。从表可以看 1期于祖荣:量子光学中的非经典态87 出当光子数n\\m/2时,量子的C偶次矩(至六次矩)与经典无规值一致。Barnett-Pegg(1992年)认为,在数态中相位的均方偏差与经典无规平均值是否一致是相位算符理论有效性的一个判据,称此为相位无规检验。 什么是C和S的本征态和本征值?从(85)式知C和S没有共同本征态,但可证明 |U4=lim(s+1)sy] 归一的,满足 s+12P -1/2 n=0 6 s einU|n4 (87) 是C和S近似的共同本征态,本征值分别为cosU和sinU,称它为SG相位态。态|U4是 QdU|exp(iU)43exp(iU)|= -P P 1(88) 但不正交,所以|U4实际上是过完备的。对|U4态自然有$C=$S=0,但 3N4U=lims/2sy] ($UN)2=lim(s2/12+s/6)1/2 sy] 所以,与|U4对应的电场有确定的相位,但振幅则完全不定,如图7所示。所以相位态也不可能是接近经典光场的态。 不难求得3N24U,于是 F=lim(s+2)/6y]sy] 即相位态|U4呈超泊松分布。 对于相干态|A4,容易算出$ACU|S|/(2 |A|),所以 $AN$AC=|S|/2 (89) g(2)(0)=slim4(1-1/s)/3=4/3(90)y] 图7 单模相态|U4电场 (91) 由此可知,相干态|A4是N和相位C的最小测不准态,所以可认为相干态是最接近经典光场的量子态。这从$AE与3A|E|A4之比随平均光子数的增加而减小也可得到旁证。 在测量问题中,重要的是相位差[16]。相位差算符的定义是 C12=C1C2+S2S1S12=S1C2-S2C1 Ci,Si(i=1,2)是SG方案中的C和S算符。对Ay0的相干态容易求得 ($AC)+($AS) 但对于相位差算符,结果则不同 ($AC12)2+($AS12)2y0 (2)在SG方案中,实际上回避了算符U本身的厄密性问题,但问题终究还存在,Pegg和Barnett[17]在前人工作基础上建议的所谓PB方案就是为试图解决这问题的。PB方案的要点是引人有限维光子数态Hilbert空间,但为了能与通常概念一致,所以在计算最后要求代表空间维数的参数s趋向无穷。2 2 (92a)(92b) y1/2 88物理学进展19卷 ¹PB假定:有限维Hilbert空间的基矢(数态)是正交归一和完备的, n=0 6 s |n4ss3n|=1,s3n|m4s=Dnm + (93) 在此空间里,玻色子的产生和湮没算符as和as定义为 as|n4s=a+s|n4s= 它们满足对易关系, [as,a+s]=1-(s+1)|s4ss3s| +[Ns,as]=-as, [Ns,a+s]=as n|n-14s, as|04s=0n+1|n+14s, a+s|s4s=0 (94)(94)(95a)(95b) 这里Ns=asas是粒子数算符。 ºPB定义的相位算符是 -1/2 exp(iUass)=(Ns+1) + (96a)(96b) exp(-iUs)=as(Ns+1) 形式上它与前节的相同。但要求它必须是幺正的,故有 exp(iUs)= n=1 +-1/2 6 s |n-14ss3n|+e iU |s4ss30|(97) 其中W是任意实数。现在算符U必定是厄密的! »为找出Us的本征值和本征态,可按标准的表象变换手续,将基矢(|n4s)变为 |Hm4=(s+1) 其中 H/(s+1), H/(s+1)m=Ho+2mPo=W |Hm4必是正交归一和完备的。于是Us可写作 Us= 可见Us实际上与Ho的选择有关。 用(98)和(100)容易写出对易式[Ns,Us]。如果假定空间足够大,而物理上一般激发的光子数不会太多,即n,ncn(s+1)则 [Ns,Us]U-i nXnc m=0 -1/2 n=0 m)|6exp(inH s n4s(98)(99) H/(s+1)是任意实数。因空间是有限维的,故可选变换是幺正的,所以变换后的o=W s 6 H3Hm|Hm4m| (100) 6 s cxp[i(n-nc)Ho]|n4ss3nc|(101) 所以Ns和Us一般是不对易的。对数态,显然有$Ns=0,而 221/2 $UyP/<3s=[Ps(s+2)/3(s+1)] sy] 则。 ¼象(85)式一样,若定义算符Cs和Ss,则容易证明对|n4s的平均值为(102) 它与n无关。这与经典无规相位平均一致,附合Barnett-Pegg的相位无规检验法 1期于祖荣:量子光学中的非经典态 2 3C2s+Ss4=1, 3[Cs,Ss]4=0, 89 3Cs4=3Ss4=1/2 显然它们与SG方案的结果不同。 ½对|Hm4态,我们可算出$X1和$X2。不失一般性,可取Hm=0,于是($sX1)=(4(s+1)) 2 2 -1 22 [26 -1 (n+1)(n+2)--2 s(s+1)-(s+1)(s+2) 2 +(s+1)]-(2(s+1)) ($sX2)=-(4(s+1)) 2 [26 (n+1)-(s+1)](103a) @[26 (n+1)(n+2) 2 -s(s+1)-(s+1)(s+2)-(s+1)-1](103b)这只能数值计算,我们计算得到的结果是:X1无压缩性,X2有压缩,且压缩随s增大而增强。显然这结论对SG相位态也适用。 另外,容易算得 F=(s+2)/6g (2) sy] ] 4/3 (104)(105) (0)=4(1-1/s)/3 sy] ¾文献上也有定义有限维空间的相干态 |A,s4=N(A,s)exps(Aa+)|04s其中 exps(X)= 无新的物理内容故不再展开。 有的文献还引入两个新的准玻色算符R和R+ R=e-i2PN/(s+1) 若选Ho=0,则有 R|Hm4= Hm|Hm-14, R|Ho=04=0 + Hm+1|Hm+14,R|Hs4=0+ Us, R= i2PN/(s+1) Use n=0 6 s Xn/ n! N(A,s)是归一因子。然后平行于普通相干态作类似的讨论和计算,但除了计算繁复外 (106)(107a)(107b) + R|Hm4= 看起来似乎有点新鲜,但也无新的物理内容,故也不作讨论。 还有一些文章用q变形方式讨论了有关问题。但关系量子代数在量子光学中的应用问题,Nelson等已作了很好分析,他们指出仅当qy1时(q=1时q玻色子回到普通 玻色子)结果才是物理的,而在q取很大或很小值时至今尚未发现有物理对应。这也是目前将量子代数应用到物理问题时存在的普遍情况,以及量子代数目前还不会为广大物理学家接受的原因之一。 (3)前已指出,相干态的介入使相空间技术在量子光学中得到广泛应用,特别是一等准概率分布函数已知,就可得到相位的概率密度(它是角度的函数),因而完全确定了系统相位的性质。例如对给定的态|W4,可以定义一个相位概率密度函数 PW(U,|W4)=|3U|W4| 2 [18] (108) 90物理学进展19卷 这里|U4是相位本征态。Schleich等指出[19],PW可视作|W4和|U4在相空间中的重叠面积。除了非常靠近相空间原点外,相位态的形状近似地呈D函数型的楔形。而|W4则由相平面上的Wigner回路WW(|A|,U)代表。于是,这个重叠面积可表为PW(U,|W4)= d|Q A||A|WW(|A|,U) (109) 这个方法的缺点是Wigner函数可能是负的,这已有改进。 至于实验工作,以往由于精度不高和分辩率低等原因,对众多的相位理论难于鉴别出孰优孰劣。直到1991年Noh,Fougeres和Mandel(NFM)建议的所谓高精度实验才改变了这个局面[22]。图8列举了NFM关系相位涨落的测量结果。由图可见, 它与SG方案差距较大而与PB方案较接近,但也有差别。图中实线是NFM他们自己的理论结果。 [21] [20] 图8 相位涨落实验值与理论值 图中,,线是SG的理论值,,,线是PB的理论值,实线是NFM的理论值 5 中间态 (1)最近,文献上有关系中间态的讨论。第一个中间态的定义如下 |G,M4= 其中 BMm={ M.Gm(1-G)M-m}1/2 m!(M-m)! (111) [23] , (110) 6Bm m M M |m4 2 这意味着在|G,M|态中光子数的分布|3m|G,M4|2=|BM是二项式分布,所以|G,m| M4也称二项式中间态。为什么又称它为中间态呢?这是因为G=0,1时|G,M4分别约 2化为真空态和光子数态,而当Gy0,My]但GM=A(A为实数)则|G,M4为相干态。 即|G,M4是介在数态和相干态之间的态,故称它为中间态。 容易看出对固定的M,|G,M4是归一的但不正交。也容易算出在|G,M4中的平均光子数 3N4G,M=GM 和光子数的均方偏差 ($G,MN)2=G(1-G)M 从这些可知: ¹|G,M4有很好的压缩性,如图9所示。从图上可清楚看出压缩效应非常明显。但要指出|G,M4不是最小测不准态。(113)(112) 1期于祖荣:量子光学中的非经典态91 º光子数在|G,M4中的分布呈亚泊松分布。这是因为 ($N)2 F=3N4=1-Gg (2) (114) 3a+a+aa4(0)==1-1/M 3a+a42 (115) 除对真空态和相干态外,一般有F<1(与M无关)和g(2)(0)<1。 »还可以算出PB相位在|G,M4中的涨落 ($G,MUs)=P/3 +n>6ncBnBnc(-1) M M (n-nc) 2 2 图9 中间态|G,M4的压缩性: (a)M=5, (n-nc) -2 (b)M=50,(c)M=100 (116)见图10示例,图中的M=1。从图上看到, 2 对G=0,1,相位的均方偏差等于P/3,与经典相 位无规平均一致;这是自然的,此时二项式态退化为真空态和数态。当G从零逐步增加,($G,MUs)就减小直至G=0.5时达极小,以后又对称地增加直至G=1。如果M增大,也就是说最大光子数增加了,那么图形将变窄,这意味着对任意G(除0,1外)相位就更确定了,这真是我们所希望的。 (2)更有趣的是若将光子在二项式态中的分布概率|3n|G,M4|视为两个独立模式光子的分布概率,此时 |n,M-n4= 于是 |G,M4= (1/M.) = 另外,若定义 J+=a1a2,J-=a2a1 Jo=(a1a1+a2a2)/2 它们生成自旋(su(2)代数,这代数的最低权态为 |0,M4= 而归一化的自旋相干态M (a+2) + + + + n+M-(a+1)(a2) n 2 2 图10 中间态|G,M4的相位涨落 与G的关系。取M=1 n!(M-n!) + |04(117) 6 (M./n!(M-n)!)(Ga1)( n (1-G)a2) +M-n |04(118)(119) (1/M.)[Ga+1+M (1-G)a+|042] M. |04(120) 1期于祖荣:量子光学中的非经典态91 º光子数在|G,M4中的分布呈亚泊松分布。这是因为 ($N)2 F=3N4=1-Gg (2) (114) 3a+a+aa4(0)==1-1/M 3a+a42 (115) 除对真空态和相干态外,一般有F<1(与M无关)和g(2)(0)<1。 »还可以算出PB相位在|G,M4中的涨落 ($G,MUs)=P/3 +n>6ncBnBnc(-1) M M (n-nc) 2 2 图9 中间态|G,M4的压缩性: (a)M=5, (n-nc) -2 (b)M=50,(c)M=100 (116)见图10示例,图中的M=1。从图上看到, 2 对G=0,1,相位的均方偏差等于P/3,与经典相 位无规平均一致;这是自然的,此时二项式态退化为真空态和数态。当G从零逐步增加,($G,MUs)就减小直至G=0.5时达极小,以后又对称地增加直至G=1。如果M增大,也就是说最大光子数增加了,那么图形将变窄,这意味着对任意G(除0,1外)相位就更确定了,这真是我们所希望的。 (2)更有趣的是若将光子在二项式态中的分布概率|3n|G,M4|视为两个独立模式光子的分布概率,此时 |n,M-n4= 于是 |G,M4= (1/M.) = 另外,若定义 J+=a1a2,J-=a2a1 Jo=(a1a1+a2a2)/2 它们生成自旋(su(2)代数,这代数的最低权态为 |0,M4= 而归一化的自旋相干态M (a+2) + + + + n+M-(a+1)(a2) n 2 2 图10 中间态|G,M4的相位涨落 与G的关系。取M=1 n!(M-n!) + |04(117) 6 (M./n!(M-n)!)(Ga1)( n (1-G)a2) +M-n |04(118)(119) (1/M.)[Ga+1+M (1-G)a+|042] M. |04(120) 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容