【数学】安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(九)(文)(解析版)

测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设复数z满足(1i)z(1i)2（i为虚数单位），则z （ ） A．0

B．2

C．2

D．2 2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合BxZ3x4，则AIB的真子集个数为 （ ） A．3

B．4

C．7

D．8

3．已知x,y,z0，则“(xyyz)2(x2y2)(y2z2)”是“A．充分不必要条件 C．充要条件

zy”的 （ ） yx

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．用max{a,b}表示a,b中的最大值，若f(x)max{|x|,2x2}，则f(x)的最小值为 （ ） A．0

B．1

C．2

D．3

5．如图，圆A过正六边形ABCDEF的两个顶点B,F，记圆A与正六边形ABCDEF的公共部分为，则往正六边形（ ）

ABCDEF内投掷一点，该点不落在内的概率为

A．43π 27B．43π 54C．143π 27D．123π 271S107e6．已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且a3,4，若Ma2，Na4,Plog9a6，则

9S29M,N,P的大小关系为 （ ）

A．MPN

B．MNP

C．NMP

D．NPM

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为 （ ）

A．16

B．18

C．20

D．24

8．已知单位向量a,b的夹角为（ ） A．2

B．4

3π，若向量m2a,n4aλb，且mn，则n 4C．8 D．16

9．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值是35，则判断框内应补充的条件为 （ ）

A．i≤9

B．i≤10

C．i≤11

D．i≤12

x2y210．过椭圆221(ab0)一个焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点，若△ABOO是原点，

ab是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ） A．3 2B．171 4C．262 5D．393 611．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是 （ ）

A．

|cos3x| xB．D．

1cos2x 2x|sin2x| x

(4x22)(4x292)C．

x512．设定义在R上的函数yf(x)满足对任意tR都有f(t2)1，且 f(t)x(0,4]（ ）

时，f(x)f(x)x，则f(2016),4f(2017),2f(2018)的大小关系是

A．2f(2018)f(2016)4f(2017) B．2f(2018)f(2016)4f(2017) C．4f(2017)2f(2018)f(2016) D．4f(2017)2f(2018)f(2016)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知函数f(x)sin(2x)cos(2x)，则函数f(x)图象的对称轴为 .

4414．已知直线l1:x2y50与直线l2:mxny50nZ相互垂直，点2,5到圆

C:xmyn1的最短距离为3，则mn .

x2y8≥0x115．已知点(x,y)满足2xy6≤0，求z的取值范围为 .

y1x3y7≥016．已知数列an的前n项和Snn(n1)，数列bn对nN*，有S1b1S2b2LSnbnan，求

22b1b2Lb2017 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA(sinAsinB)6sin2B.

a（1）求；

b（2）若cosC

3，求sin(AB). 418．（12分）如图，正三棱柱ABCABC中，D为AA中点，E为BC上的一点，ABa,CCh. （1）若DE平面BCCB，求证：BEEC.

（2）平面BCD将棱柱ABCABC分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为V1，下面一个几何体的体积为V2，求V1,V2.

19．（12分）为了调查某厂工人生产某件产品的效率，随机抽查了100名工人某天生产该产品的数量，所取样本数据分组区间为[40,45),[45,50)，

[50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)由此得到右图所示频率分布直方图.

（1）求a的值并估计该厂工人一天生产此产品数量的平均值；

（2）从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？

20．（12分）已知Px,yy≥0是曲线上的动点，且点P到0,1的距离比它到x轴的距离大1.直线

l1:xy10与直线l2:3x2y0的交点为Q.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）已知A,B是曲线上不同的两点，线段AB的垂直垂直平分线交曲线于C,D两点，若A,B的中点为Q，则是否存在点R，使得A,B,C,D四点内接于以点R为圆心的圆上；若存在，求出点R坐标以及圆R的方程；若不存在，说明理由.

21．（12分）已知函数f(x)2alnx2(a1)xx2(a≤1). （1）讨论f(x)的单调性；

1（2）若f(x)在区间[,e2]上有两个零点，求a的取值范围.

e

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为10cos.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平

2tx22面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数). y2t2（1）求曲线C的直角坐标系方程和直线l的普通方程；

（2）点P在曲线C上，且到直线l的距离为2，求符合条件的P点的直角坐标.

23．（10分）选修4—5不等式选讲

已知定义在R上的函数f(x)xa2|2x4a|. （1）当a1时，解不等式f(x)≥5；

（2）若f(x)≥a24对任意xR恒成立，求a的取值范围.

参考答案

(1i)2(1i)32i(1i)1．【答案】B【解析】注意到z1i，则z(1)2(1)22，故选B.

1i(1i)(1i)22．【答案】C【解析】依题意，A1,2,3,4,5,6,7,8,9，B2,1,0,1,2,3，故AIB1,2,3，故AIB的真子集个数为7，故选C.

3．【答案】C【解析】由(xyyz)2(x2y2)(y2z2)，得2xy2zx2z2y4，即(xzy2)20，xzy2，从而推导过程均是可逆的，故选C.

4．【答案】B【解析】可知当x1时，|x|2x2，此时f(x)x.当1≤x≤1时，可得|x|≤2x2，此时f(x)2x2.

zy，以上yxx1x,当x1时，|x|2x2，此时f(x)x.综上，f(x)2x2,1≤x≤1，可得当x1或x1时f(x)取得最小值1，故选

x,x1B.

5．【答案】D【解析】依题意，不妨设AB2，故正六边形ABCDEF的面积S1322663；公共部分为的面积4S2π2214π，故所求概率P33634π3123π，故选D.

27636．【答案】B【解析】依题意，

111S4101011q2q，故a2,a4,a6，则S2993327243M1111,N,Plog0，故MNP，故选B. 93727e33e2437．【答案】C【解析】将三视图还原，可知原几何体由半球体与圆柱体拼接而成，其中半球体的半径为2，圆柱体的底面半径为2，高为2，故所求几何体的表面积S2222222220，故选C.

28．【答案】B【解析】依题意，mn，故2a4aλb0，故8a22λab0，故4λ20，解得λ42，故n4a42b，故n4a42b16，故n4 9．【答案】C【解析】当i2，可得Ta2,Sa2； 当i3，可得Ta1,S3； 当i4，可得Ta5,Sa8； 当i5，可得Ta,S8； 当i6，可得Ta6,Sa14； 当i7，可得Ta1,S15； 当i8，可得Ta9,Sa24； 当i9，可得Ta,S24； 当i10，可得Ta10,Sa34； 当i11，可得Ta1,S35.

故判断框内应补充的条件为i≤11?，故选C.

10．【答案】D【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标(c,0)代入椭圆方程中，得两交点坐标分别为(c,b2b2b23a2c2313),(c,)，由于△ABO是等边三角形，则可得tan30，从而，即e，解之得

ac3ac3e3aa393393或e（舍去），故选D. 6622e(4x22)(4x292)330.当x11．【答案】B【解析】由图象可得当x0，f(x)≥0，故可排除C，因为当x时，，5x2222可得f(x)0，而当x时，

|sin2x||cos3x|50，故可排除D选项，当x时，0，故可排除A选项，故选B. xx612．【答案】C【解析】由于f(t2)111f(t)，则yf(x)为周期函数，，故对任意tR有f(t4)1f(t)f(t2)f(t)周期为4.当x(0,4]时，f(x)xf(x)f(x)f(x)f(x)0，(x(0,4])，F(x)，可得xf(x)f(x)0，构造函数F(x)x2xxf(1)f(2)f(4)， 124故F(x)在区间(0,4]上单调递增，则

即4f(1)2f(2)f(4).注意到f(2017)f(45041)f(1)，

f(2018)f(45042)f(2)，f(2016)f(45034)f(4)，故由

4f(1)2f(2)f(4)可得4f(2017)2f(2018)f(2016)，故选C.

1cos(4x)k21sin4x1， 13．【答案】x(kZ)【解析】依题意，f(x)sin2(2x)422284由4x2k,kZ得xk11k，故f(x)sin4x关于直线xkZ对称. 84228414．【答案】2【解析】依题意，m2n0 ①；2m5n2231 ②；联立两式，解得m2,n1，故mn2.

x2y8≥0315．【答案】[,5]【解析】不等式组2xy6≤0所表示的平面区域如图所示阴影部分

2x3y7≥0

1y1（包括边界），其中A,B,C为直线的交点，表示阴影部分区域内的点与点P(1,1)连线的斜率，计算可得A,B,Czx(1)三点坐标分别为(2,3),(4,2),(5,4)，由图象可得

2111123，故[,]，从而z[,5].

4(1)5z532y1312y1，的最大值为kAP的最小值为

x(1)2(1)3x(1)kBP16．【答案】

2017【解析】由条件Snn(n1)可得a1S12，当n≥2，anSnSn1n(n1)(n1)n2n，从而数列1009an的通项公式an2n(nN).

当n≥2时，由S1b1S2b2LSnbnan得S1b1S2b2LSn1bn1an1，将此二式相减，可得Snbnanan1，bnanan1222.当n1时，得S1b1a1,b11， Snn(n1)nn12222(nN)， ，故数列bn的通项公式为bnnn1nn1符合表达式bn22222222017)2从而b1b2Lb2017()()L(.

1223201720182018100917．【解析】

（1）由sinA(sinAsinB)6sin2B得sin2AsinAsinB6sin2B0，即(去），由正弦定理得

asinA2.（6分） bsinBsinA2sinAsinA)60，解得2或3（舍sinBsinBsinB（2）由余弦定理得cosCa2b2c23，将a2b代入，得5b2c23b2，

2ab4a2c2b2(2b)2(2b)2b252解得c2b，由余弦定理得cosB， 2ac822b2b则sinB1cos2B1414b2c2a2b2(2b)2(2b)22,sinA2sinB,cosA， 842bc42b2b145221437().（12分） 48488从而sin(AB)sinAcosBcosAsinB18．【解析】

（1）如图，取BC中点F，连接AF,EF.

Q棱柱ABCABC为正三棱柱，

△ABC为正三角形，侧棱AA,BB,CC两两平行且都垂直于平面ABC. AFBC，AFBB

QBC,BB平面BCCB，BCIBBB，AF平面BCCB， QDE平面BCCB，DE//AF，A,F,E,D四点在同一个平面上. QAA//平面BCCB，AA平面AFED，平面BCCBI平面AFEDEF， AA//EF，QAA//CC，EF//CC，E为BC中点，即BEEC.（6分）

（2）正三棱柱ABCABC的底面积S133232aaa，则体积Vah. 22441h3下面一个几何体为四棱锥BACCD，底面积S梯形ACCD=(h)aah，因为平面ABC平面ACCA，过点B作

224△ABC边AC上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面ACCA，故四棱锥BACCD的高13332323232V2ahaah，从而V1VV2ahahah.（12分）

34284883a，则219．【解析】

（1）由于小矩形的面积之和为1，

则(a0.034a0.065a0.020.01)51，由此可得a0.008.（3分） 该厂工人一天生产此产品数量的平均值42.50.00847.50.0352.50.032 57.50.0662.50.0467.50.0272.50.01557.35.（6分）

（2）生产产品数量在[55,60)的工人有0.06510030人，生产产品数量在[60,65)的工人有0.0085510020人，生产产品数量在[65,70)的工人有0.02510010人，生产产品数量在[70,75]的工人有0.0151005人，故用分层抽样法从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中抽样，抽取人数分别为13306人，

302010513201054人，132人，131人.（12分）

30201053020105302010520．【解析】

（1）因为点P到0,1的距离比它到x轴的距离大1， 则点P到0,1的距离与点P到直线y1的距离相等；

故点P的轨迹为抛物线x24y，即曲线的轨迹方程为x24y；（5分） xy10,x2（2）联立解得故Q2,3；

3x2y0,y32设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x124y1,x24y2，根据点差法，两式相减，

整理得kABy1y2x1x21， x1x24所以直线AB的方程是xy10，直线CD的方程是xy50，

x24y联立，得C(226,726),D(226,726)，

xy50从而有CD83.

2x4y联立，得A(222,322),B(222,322)，有AB8；

xy10设CD的中点为R，则R(2,7)，从而有RARB43CD2，

故A,B,C,D四点共圆且R(2,7)为圆心，故圆R的方程是(x2)2(y7)248.（12分） 21．【解析】

（1）f(x)的定义域为(0,)，f(x)2a2(x1)(xa)2(a1)2x， xx令f(x)0可得x1或xa.下面分三种情况.

①当a≤0时，可得xa0，由f(x)0得x1，由f(x)0得0x1，

此时f(x)的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1).

②当0a1时，由f(x)0得0xa或x1，由f(x)0得ax1，

此时f(x)的单调递增区间为(0,a),(1,)，单调递减区间为(a,1).

2(x1)2≥0，f(x)在区间(0,)上单调递增.（6分） ③当a1时，f(x)x1（2）由（1）得，当a0时，f(x)在x1处取得最小值2a1，且f(x)在区间[,e2]内先减后增，又

ef(e2)4a2(a1)e2e4(2e24)ae42e20，

12(a1)11f()2a2，要使得f(x)在区间[,e2]上有两个零点， eeee12e11必须有f()≥0且2a10，由此可得a≤.

22e(e1)e1当a0时，f(x)x22x，显然f(x)在区间[,e2]上不存在两个零点.

e11当0a≤时，由（1）得f(x)在区间[,e2]内先减后增，

ee12a21(2)0，f(e2)(2e24)ae42e2(2e24)e42e20， 又f()2aeeee1故此时f(x)在区间[,e2]上不存在两个零点.

e11当a1时，由（1）得f(x)在区间[,e2]内先增，先减，后增. ee又f(a)2alna2(a1)aa22alna(2aa2)0,f(e2)(2e24)e42e2＞0，

1故此时f(x)在区间[,e2]上不存在两个零点.

e当a1时，由（1）得f(x)在区间(0,)上单调递增，

f(x)在区间[,e2]上不存在两个零点.

12e1].（12分） 综上，a的取值范围是(,22e(e1)1e22．【解析】

（1）由曲线C的极坐标方程为10cos，则210cos，即x2y210x，

2tx2222得其标准方程为(x5)y25.直线l参数方程为(t为参数)，

2yt2则其普通方程为xy20.（5分）

x55cos（2）由（1）得曲线C为圆心为(5,0)，半径为5的圆，曲线C的参数方程为

y5sin(为参数)，由题设条件及点到直线的距离公式可得|55cos5sin2|2，

2化简的|35cos5sin|2，可得5cos5sin1或5cos5sin5. 当5cos5sin1时，注意到sin2cos21，联立方程组，

34coscos5或5，此时对应的P点坐标为(8,4),(1,3).当5cos5sin5时，注意到sin2cos21，联得sin4sin355cos0cos1立方程组，得或，

sin1sin0此时对应的P点坐标为(5,5),(0,0).

综上，符合条件的P点坐标为(8,4),(1,3),(5,5),(0,0).（10分） 23．【解析】

（1）当a1时，f(x)x1|2x4|.

当x≤1时，原不等式可化为1x42x≥5，解得x≤0， 结合x≤1得此时x≤0.

当1x2时，原不等式可化为x142x≥5， 解得x≤2，结合1x2得此时x不存在.

当x≥2时，原不等式可化为x12x4≥5，解得x≥结合x≥2得此时x≥10. 310}.（5分） 310， 3综上，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥（2）由于xa2|2x4a|≥0对任意xR恒成立，

故当a24≤0时，不等式f(x)≥a24对任意xR恒成立，此时2≤a≤2. 当a24，即a2或a2时，由于a22a，记g(x)f(x)(a24)， 下面对x分三种情况讨论.

当x≤2a时，g(x)a2x4a2x(a24)3x4a4，

g(x)在区间(,2a]内单调递减.

当2axa2时，g(x)a2x2x4a(a24)x4a4，

g(x)在区间(2a,a2)内单调递增.

当x≥a2时，g(x)xa22x4a(a24)3x2a24a4，

g(x)在区间[a2,)内单调递增.综上，可得g(x)≥g(2a)2a4，

要使得f(x)≥a24对任意xR恒成立，只需g(x)min≥0，即2a4≥0，得a≤2， 结合a2或a2，得a2.

综上，a的取值范围为(,2].（10分）