2023届浙江省桐乡市数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分） 1．如图,已知双曲线y

4

上有一点A,过A作AB垂直x轴于点B,连接OA,则AOB的面积为( ) x

A．1 B．2 C．4 D．8

2．当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=

k在同一坐标系中的图象（ ） x

D．

A． B． C．

3．在同一直角坐标系中，二次函数yaxbxc与一次函数yaxc的大致图象可能（ ）

2A． B．

C． D．

4．如图，AB是O的直径，BC是O的弦，已知ABC40，则AOC的度数为（ ）

A．60 B．70 C．80 D．90

5．下列命题中，正确的个数是（ ）

①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上的两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径相等的两个圆是等圆；⑤等于半径两倍的线段是直径． A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

6．下列成语表示随机事件的是（ ）

A．水中捞月 B．水滴石穿 C．瓮中捉鳖 D．守株待兔

7．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P对应点的坐标为（ ） A．（2，﹣4） C．（

B．（2，﹣4）或（﹣2，4） D．（

1，﹣1） 211，﹣1）或（﹣，1） 228．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）

A．93 B．12π﹣93 C．93 2D．6π﹣93 29．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2019次旋转结束时，点D的坐标为（ ）

A．（3，﹣10） B．（10，3） C．（﹣10，﹣3） D．（10，﹣3）

10．如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（ ）

A．BM＞DN B．BM＜DN C．BM=DN D．无法确定

11．已知方程2x23x1的两根为x1，x2则x1x1x2x2的值是（ ） A．1

B．2

C．-2

D．4

12．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为x，则可列方程（ ） A．2002001x1 400 C．2001x1 400

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，在ABC中，BC4，以点A为圆心，2为半径的点P是

22B．2002001x2001x1 400 D．2001x2001x1 400

22A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，

A上的一点，且EPF45，则图中阴影部分的面积为______．

14．若函数ym1m2m是二次函数，则m的值为__________．

15．为准备体育中考，甲、乙两名学生各进行了10次1分钟跳绳的测试，已知两名学生10次1分钟跳绳的平均成绩均为160个，甲的方差是80（个2），乙的方差是100（个2）.则这10次1分钟跳绳测试成绩比较稳定的学生是________ （填“甲”或“乙”）.

16．如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=2，则AP的长为_____．

17．小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，若小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是_____米．

2ca0）18．已知抛物线yax bx（与 x 轴交于A,B两点，若点 A的坐标为2,0，抛物线的对称轴为直线

x2，则点B的坐标为__________．

三、解答题（共78分）

19．（8分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径；

（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

20．（8分）有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x1,x1,3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片正面的整式作为分子，第二次抽取的卡片正面的整式作为分母．

（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）； （2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．

21．（8分）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．

12

x交于A，B两点，其中点A的横坐标是2． 4(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由． (3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值

时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

22．（10分）求下列各式的值： （1）2sin30°﹣3cos60° （2）16cos245°﹣

1tan260． 223．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G． （1）求证：

EGCG=； ADCD（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当

AB的值为多少时，△FDG为等腰直角三角形？ AC

24．（10分）先化简，再求值：(1x212)，期中x2sin301． x1x1x125．（12分）附加题,已知：矩形ABCD，AB2,BC5，动点P从点B开始向点C运动，动点P速度为每秒1个单位，以AP为对称轴，把ABP折叠，所得ABP与矩形ABCD重叠部分面积为y，运动时间为t秒.

（1）当运动到第几秒时点B恰好落在AD上； （2）求y关于t的关系式，以及t的取值范围； （3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的

1； 4（4）连接PD，以PD为对称轴，将PCD作轴对称变换，得到PCD，当t为何值时，点P、B、C在同一直线上？

26．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cosA＝

4，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点5作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△CDE；

（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；

（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝ ．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分） 1、B

【分析】根据已知双曲线y4上有一点A,点A纵和横坐标的积是4，AOB的面积是它的二分之一，即为所求. x【详解】解：∵双曲线y4上有一点A，设A的坐标为(a,b), x∴b=

4 a∴ab=4

∴AOB的面积=故选：B. 【点睛】

本题考查了反比例函数的性质和三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键. 2、B

1ab=2 2【分析】由系数k0即可确定ykx与y【详解】解：

k

经过的象限. x

k0

ykx经过第一、三象限，y故选：B 【点睛】

k经过第一、三象限，B选项符合. x本题考查了一次函数与反比例函数的图像，灵活根据k的正负判断函数经过的象限是解题的关键. 3、C

c的符号，【分析】先分别根据二次函数和一次函数的图象得出a、再根据两个函数的图象与y轴的交点重合，为点(0,c)逐项判断即可．

【详解】A、由二次函数的图象可知，a0,c0 由一次函数的图象可知，a0,c0

两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意 B、由二次函数的图象可知，a0,c0 由一次函数的图象可知，a0,c0

两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意 C、由二次函数的图象可知，a0,c0 由一次函数的图象可知，a0,c0

两个函数图象得出的a、c的符号一致，且都经过点(0,c)，则此项符合题意 D、由二次函数的图象可知，a0,c0 由一次函数的图象可知，a0,c0

两个函数图象得出的a、c的符号一致，但与y轴的交点不是同一点，则此项不符题意 故选：C． 【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键． 4、C

【分析】根据圆周角定理即可解决问题．

【详解】∵ACAC，

∴AOC2ABC24080． 故选：C． 【点睛】

本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5、A

【分析】根据弦、等圆、弧的相关概念直接进行排除选项．

【详解】①直径是弦，弦是不一定是直径，故错误；②弦是圆上两点之间的线段，故错误；③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故正确；④直径相等的两个圆是等圆，故正确；⑤等于半径两倍的弦是直径，故错误；所以正确的个数为2个； 故选A． 【点睛】

本题主要考查圆的相关概念，正确理解圆的相关概念是解题的关键． 6、D

【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：水中捞月是不可能事件，故选项A不符合题意； B、水滴石穿是必然事件，故选项B不符合题意； C、瓮中捉鳖是必然事件，故选项C不符合题意； D、守株待兔是随机事件，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】

本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7、B

【分析】根据位似变换的性质计算即可．

【详解】点P（1，﹣2）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍， 2，﹣2×2）或（1×则点P的对应点的坐标为（1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，﹣4）或（﹣2，4）， 故选：B． 【点睛】

本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，

那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 8、A

【分析】根据阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD计算即可． 【详解】由折叠可知，

S弓形AD=S弓形OD，DA=DO． ∵OA=OD， ∴AD=OD=OA， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD=60°． ∵∠AOB=120°， ∴∠DOB=60°． ∵AD=OD=OA=6， ∴AC=CO=3， ∴CD=33，

60621∴S弓形AD=S扇形ADO﹣S△ADO6×336π﹣93，

3602∴S弓形OD=6π﹣93，

6062阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD(6π﹣93)=93．

360故选：A． 【点睛】

本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解答本题的关键． 9、C

【分析】先求出AB=1，再利用正方形的性质确定D（-3，10），由于2019=4×504+3，所以旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转3次，由此求出点D坐标即可． 【详解】∵A(﹣3，4)，B(3，4)，

∴AB=3+3=1．

∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB=1， ∴D(﹣3，10)． ∵2019=4×504+3，

∴每4次一个循环，第2019次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转3次，每次旋转90，刚好旋转到如图OABCD的位置．

∴点D的坐标为(﹣10，﹣3)． 故选：C． 【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，10°，90°，180°． 10、C

【解析】分析：连接BD，根据平行四边形的性质得出BP=DP，根据圆的性质得出PM=PN，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM，从而得出三角形全等，得出答案．

详解：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP， ∵以P为圆心作圆， ∴P又是圆的对称中心，

∵过P的任意直线与圆相交于点M、N， ∴PN=PM， ∵∠DPN=∠BPM， ∴△PDN≌△PBM（SAS）， ∴BM=DN．

点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对

称性是解决这个问题的关键． 11、A

【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得出x1+x2【详解】∵2x2﹣3x=1， ∴2x2﹣3x﹣1=0，

由根与系数的关系得：x1+x2所以x1+x1x2+x2故选：A． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键． 12、B

【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．

【详解】解：已设这个百分数为x． 200+200（1+x）+200（1+x）2=1． 故选B． 【点睛】

本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．

二、填空题（每题4分，共24分） 13、4

【分析】图中阴影部分的面积=S△ABC-S扇形AEF．由圆周角定理推知∠BAC=90°． 【详解】解：连接AD，

在⊙A中，因为∠EPF=45°，所以∠EAF=90°， AD⊥BC，S△ABC=

31，x1•x2，代入求出即可．

2231，x1•x2，

2213()=1． 2211×BC×AD=×4×2=4 22S扇形AFDE=4， 所以S阴影=4- 故答案为：4

14

【点睛】

本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时，采用了“分割法”． 14、-1

【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：∵函数ym1∴m1+m=1，且m-1≠0， ∴m=−1． 故答案为-1． 【点睛】

此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的次数与系数的值是解题关键． 15、甲

【分析】根据方差的稳定性即可求解.

【详解】∵两名学生10次1分钟跳绳的平均成绩均为160个，甲的方差是80（个2），乙的方差是100（个2） 故成绩比较稳定的学生是甲 故答案为甲. 【点睛】

此题主要考查数据的稳定性，解题的关键是熟知方差的性质. 16、m2m是二次函数，

162 3【解析】设AB=a，AD=b，则ab=322，构建方程组求出a、b值即可解决问题. 【详解】设AB=a，AD=b，则ab=322，

由ABE∽DAB可得：

BEAB， ABAD∴b22a， 2∴a364， ∴a4，b82，

设PA交BD于O，

在RtABD中，BD∴OPOA∴APAB2AD212，

ABAD82， BD3162， 3162． 故答案为3【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.

17、6.1

【解析】解：设路灯离地面的高度为x米，根据题意得：

x26，解得：x=6.1．故答案为6.1． 1.62

18、（6，0）【解析】根据抛物线对称轴是直线x2及A,B两点关于对称轴直线对称求出点B的坐标即可.

2ca0）【详解】解：∵抛物线yax bx（与 x 轴交于A,B两点，且点 A的坐标为2,0，抛物线的对称轴

为直线 x2

∴点B的横坐标为22(2)6 即点B的坐标为 （6，0）【点睛】

本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线x2对称的点的坐标是本题的解题关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）证明见解析；（2）6；（3）33. 12【解析】(1)连接OA、OD,如图,利用垂径定理的推论得到OD⊥BE,再利用CA=CF得到 ∠CAF= ∠CFA,然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=90o,则OA⊥AC,从而根据 切线的判定定理得到结论;

(2)设⊙0的半径为r,则OF=8-r,在Rt△ODF中利用勾股定理得到

2（8-r）+r2=(40)2,然后解方程即可;

(3)先证明△BOD为等腰直角三角形得到OB=

22,则OA=,再利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=120o,则22∠AOE=60o,接着在Rt△OAC中计算出AC,然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积.

【详解】（1）证明：连接OA、OD，如图， ∵D为BE的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BE，

， ∴∠ODF+∠OFD=90°∵CA=CF， ∴∠CAF=∠CFA， 而∠CFA=∠OFD， ， ∴∠ODF+∠CAF=90°∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD，

， ∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=8﹣r， 在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（即⊙O的半径为6；

（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD， ∴△BOD为等腰直角三角形， ∴OB=∴OA=

BD=，

，

）2，解得r1=6，r2=2（舍去），

， ∵∠AOB=2∠ADB=120°， ∴∠AOE=60°在Rt△OAC中，AC=

OA=

，

∴阴影部分的面积=••﹣=．

【点睛】本题主要考查圆、圆的切线及与圆相关的不规则阴影的面积，需综合运用各

知识求解.

20、（1）见解析；（2）

2 3【分析】（1）用树状图或列表法把所有的情况表示出来即可；

（2）根据树状图找到所有的情况数以及能组成分式的情况数，利用能组成分式的情况数与总数之比求概率即可． 【详解】（1）树状图如下：

（2）总共有6种情况，其中能组成分式的有4种，所以

P（组成分式）【点睛】

42 63本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，掌握树状图或列表法和概率公式是解题的关键． 21、（1）直线y=

31x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；22（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是1．

【解析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标； （2）分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；

1212a216（3）设M（a，a），得MN=a+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣

44612

a+3a+9，确定二次函数的最值即可． 4【详解】（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，

1y(2)21,A点的坐标为（-2，1），

4设直线的函数关系式为y=kx+b， 将（0，4），（-2，1）代入得b4

2kb13k解得2

b4∴y＝

3x＋4 2∵直线与抛物线相交，

31x4x2 24解得：x=-2或x=8， 当x=8时，y=16，

∴点B的坐标为（8，16）； （2）存在．

∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝(8.设点C(m，0)，

同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5， BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，

①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－

2)2(161)2=325

1； 2②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6； ③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32， ∴点C的坐标为(－（3）设M(a，

1，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0) 212

a)， 411则MN＝aa21a21， 4422又∵点P与点M纵坐标相同， ∴

13x＋4＝a2， 24a216 ， ∴x=

6a216∴点P的横坐标为，

6a216∴MP＝a－，

61211a216)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋1， ∴MN＋3PM＝a＋1＋3(a－

4446∵－2≤6≤8，

∴当a＝6时，取最大值1，

∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是1 22、（1）113；（2）． 22【分析】（1）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案； （2）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】（1）2sin30﹣3cos60 ＝2×＝1﹣＝﹣

11﹣3× 223 21； 21tan260 2（2）16cos245﹣

＝16×（

221）﹣×（3）2

22＝8﹣＝

3 213． 2【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 23、（1）见解析；（2）FD与DG垂直，理由见解析；（3）当

AB=1时，△FDG为等腰直角三角形，理由见解析. AC【分析】（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∽△EGC，由两个角对应相等即可证得；

（2）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，从而不难得到结论；

（3）先判断出DF＝DG，再利用同角的余角相等判断出∠ADF＝∠CDG，∠BAD＝∠C，得出△ADF≌△CDG，即可得出结论．

【详解】（1）证明：在△ADC和△EGC中， ∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C， ∴△ADC∽△EGC． ∴

EGCG． ADCD（2）解：FD与DG垂直． 理由如下：

在四边形AFEG中，

∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°， ∴四边形AFEG为矩形． ∴AF＝EG． ∵∴

EGCG， ADCDAFCG． ADCD又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC， ∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC， ∴△AFD∽△CGD． ∴∠ADF＝∠CDG． ∵∠CDG+∠ADG＝90°， ∴∠ADF+∠ADG＝90°． 即∠FDG＝90°． ∴FD⊥DG．

（3）解：当

AB的值为1时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下： AC由（2）知，∠FDG＝90°， ∵△DFG为等腰直角三角形， ∴DF＝DG，

∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADG+∠CDG＝90°， ∵∠FDG＝90°， ∴∠ADG+∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝∠CDG，

∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠C，

∴△ADF≌△CDG（AAS）， ∴AD＝CD， ∵∠ADC＝90°， ∴∠C＝45°＝∠B， ∴AB＝AC， 即：当

AB的值为1时，△FDG为等腰直角三角形． AC【点睛】

此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，判断出△ADF≌△CDG是解本题的关键． 24、

1，1 x1【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值化简代入计算可得． 【详解】原式[x1x2](x1)

(x1)(x1)(x1)(x1)1(x1)

(x1)(x1)1， x111112时， 2当x2sin3012原式1． 【点睛】

此题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握运算法则

t0t225、（1）第2秒时；（2）yt24；（3）第4秒时；（4）t=1或4

2t52t【分析】（1）先画出符合题意的图形如图1，根据题意和轴对称的性质可判定四边形ABPB为正方形，可得BP的长，进而可得答案；

（2）分两种情况：①当0t2时，如图2，根据折叠的性质可得：SABPSABP，进而可得y与t的关系式；②当

2t5时，如图3，由折叠的性质和矩形的性质可推出AEPE，设AEx，然后在直角△ABE中利用勾股定

理即可求得x与t的关系，进一步利用三角形的面积公式即可求出y与t的关系式； （3）在（2）题的基础上，分两种情况列出方程，解方程即得结果；

（4）如图4，当点P,B,C在同一直线上，根据折叠的性质可得APBCPD90，进一步可得PABCPD，进而可推出ABPPCD，然后利用相似三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：（1）当点B恰好落在AD上时，如图1，由折叠的性质可得：ABPB90,ABAB2， ∵四边形ABCD为矩形，∴BAB90， ∴四边形ABPB为正方形，∴BPAB2， ∵动点P速度为每秒1个单位，∴t2， 即当运动到第2秒时点B恰好落在AD上；

（2）分两种情况：

①当0t2时，如图2，PBt，由折叠得：SABPSABP，

∴ySABP11ABPB2tt； 22

②当2t5时，如图3，由折叠得：APBAPE,PBPBt， ∵AD//BC，∴DAPAPB，∴DAPAPE，∴AEPE， 设AEx，则PEx,BEtx， 在直角△ABE中，由勾股定理得：2tx22t24， x，解得：x2t2∴ySAEP11t24t24， AEAB2222t2tt0t2综上所述：yt24；

2t52t

（3）①当0t2时，yt1525，则t（舍去），

24t241②当2t5时，y25，解得：t12t41（舍去），t24，

1； 4综上所述：在第4秒时，重叠部分面积是矩形ABCD面积的

（4）如图4，点P,B,C在同一直线上，由折叠得：APBAPB,CPDCPD， ∴APBCPD118090， 2∵PABAPB90，∴PABCPD， ∵BC90，∴ABPPCD，

∴

2tABBP，解得：t11,t24， ，∴

5t2PCCD∴当t=1或4时，点P,B,C在同一直线上.

【点睛】

本题是矩形综合题，主要考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，考查的知识点多、综合性强，属于试卷的压轴题，正确画出图形、灵活应用数形结合和分类思想、熟练掌握上述知识是解答的关键. 26、（1）证明见解析；（2）

25；（3）1． 2【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

ABADAB2（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△ACB，推出，可得AD=． ACABAC（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．作FH⊥AC于H，BM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM=∠BMH=∠BNH=90°，由△BFN∽△BDM，可得

3BNBF=tan∠BDF=tanA=，推出BMBD4AN=

33AM=×12=9，推出CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题． 44【详解】（1）证明：如图1中，

∵BA＝BC， ∴∠A＝∠ACB，

∵∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD，∠BDE＝∠A， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△CDE．

（2）解：如图2中，作BM⊥AC于M．

在Rt△ABM中，则AM＝AB•cosA＝20×＝16， 由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2， ∴202＝162+BM2， ∴BM＝12，

∵AB＝BC，BM⊥AC， ∴AC＝2AM＝32， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△ACB， ∴

45ABAD ACAB25AB2∴AD＝＝．

2AC（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．

理由：作FH⊥AC于H，AM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM＝∠BMH＝∠BNH＝90°，

∴四边形BMHN为矩形， ∴∠MBN＝90°，MH＝BN，

∵AB＝BC，BM⊥AC，

∵AB＝20，AM＝CM＝16，AC＝32，BM＝12， ∵BN⊥FH，BM⊥AC， ∴∠BNF＝90°＝∠BMD， ∵∠DBF＝90°＝∠MBN， ∴∠NBF＝∠MBD， ∴△BFN∽△BDM， ∴

3BNBF＝tan∠BDF＝tanA＝， BMBD433BM＝×12＝9， 44∴BN＝

∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣BN＝16﹣9＝7，

当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形， ∵FH⊥DC， ∴CD＝2CH＝1． 故答案为：1． 【点睛】

本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．