乘法公式与因式分解
课后作业
1、下列运算正确的是（ ） A．2a+3a=5a B．a÷a=a C．（-a）=a D．（x+y）=x+y
2、若4x+axy+25y是一个完全平方式，则a=（ ） A．20 B．-20 C．±20 D．±10
3、把8a-8a+2a进行因式分解，结果正确的是（ ） A．2a（4a-4a+1） B．8a（a-1） C．2a（2a-1） D．2a（2a+1） 4、多项式xy-y-x+1因式分解的结果是（ ）
A．（x+1）（y+1） B．（x-1）（x+1）（y+1） C．（x+1）（y+1）（y-1） D．（x+1）（x-1）（y+1）（y-1）
5、已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x-4，乙与丙相乘为x+15x-34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（ ）
A．2x+19 B．2x-19 C．2x+15 D．2x-15
6、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足ac-bc=a-b，判断△ABC的形状（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7、若a+b=a-2ab+b+6，则a+b=
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8、已知a=20152015×999，b=20142014×1000，则a与b的大小关系：a b．
9、图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x-2x+1= ，25x+30x+9= ，9x+12x+4= （2）观察上述三个多项式的系数，
10、有（-2）=4×1×1，30=4×25×9，12=4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么实系数a、b、c之间一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示系数a、b、c之间的关系
②解决问题：在实数范围内，若关于x的多项式mx+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n，求系数m与n的值．
（3）在实数范围内，若关于x的多项式x+mx+2n和x+nx+2m都是完全平方式，利用（2）中的规律求mn的值．
11、生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2-x-2可以因式分解为（x-1）（x+1）（x+2），当x=29时，x-1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？ （2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个
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由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
12、已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0 （1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值
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参考答案
1、解析：A、原式不能合并，本选项错误；
B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断； C、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； D、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断． 解：A、原式不能合并，本选项错误； B、a÷a=a，本选项错误； C、（-a）=a，本选项正确； D、（x+y）=x+2xy+y，本选项错误， 故选C
2、解析：根据这里首末两项是2x和5y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和5y乘积的2倍，即可得出a的值．
3、解：∵4x+axy+25y是一个完全平方式， ∴（2x±5y）=4x±20xy+25y， ∴a=±20， 故选：C．
3、解析：首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可． 解：8a-8a+2a =2a（4a-4a+1） =2a（2a-1）． 故选：C．
4、解析：接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
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解：xy-y-x+1 =y（x-1）-（x-1） =（y-1）（x-1）（x+1）
=（y-1）（y+1）（x-1）（x+1）． 故选：D．
5、解析：根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．
6、解：∵x-4=（x+2）（x-2）， x+15x-34=（x+17）（x-2）， ∴乙为x-2，
∴甲为x+2，丙为x+17，
∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19． 故选：A．
6、解析：首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状． 解：由ac-bc=a-b，得 a+bc-ac-b
=（a-b）+（bc-ac） =（a+b）（a-b）-c（a-b） =（a-b）（a+b-c）
=（a+b）（a-b）（a+b-c）=0， ∵a+b＞0，
∴a-b=0或a+b-c=0，
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即a=b或a+b=c，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 故选：D．
7、解析：先对原式进行变形得（a+b）-（a+b）-6=0，经过观察后又可变为（a+b-3）（a+b+2）=0，又a+b≥0，即可得出本题的结果．
8、解：有a+b=a-2ab+b+6，变形后 （a+b）-（a+b）-6=0， （a+b-3）（a+b+2）=0， 又a+b≥0， 即a+b=3， 故答案为3．
8、解析：先将a=20152015×999变形为2015×999×10001，进一步得到（2014+1）（1000-1）×10001，再展开得到2014×1000×10001-2014×10001+1000×10001-10001，将b=20142014×1000变形为2014×1000×10001，通过计算-2014×10001+1000×10001-10001的正负即可求解．
解：a=20152015×999 =2015×999×10001
=（2014+1）（1000-1）×10001
=2014×1000×10001-2014×10001+1000×10001-10001， b=20142014×1000=2014×1000×10001，
∵-2014×10001+1000×10001-10001=（-2014+1000-1）×10001＜0， ∴a＜b． 故答案为：＜．
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9、解析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
解：∵图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形， ∴正方形的边长为：a+b，
∵由题意可得，正方形的边长为（a+b）， ∴正方形的面积为（a+b）2
， ∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2
-4ab=（a-b）2
． 故答案为（a-b）2
．
10、解析：（1）根据完全平方公式分解即可； （2）①根据已知等式得出b2
=4ac，即可得出答案； ②求出64=4mn，求出方程的特殊解即可；
（3）根据规律得出m2
=8n且n2=8m，组成一个方程，求出mn即可．
解：（1）x2
-2x+1=（x-1）2
，25x2
+30x+9=（5x+3）2
，9x2
+12x+4=（3x+2）2
， 故答案为：（x-1）2
，（5x+3）2
，（3x+2）2
； （2）①b2
=4ac， 故答案为：b2=4ac；
②∵关于x的多项式mx2
+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n， ∴82
=4mn，
∴只有三种情况：m=16，n=1或m=4，n=4或m=8，n=2； （3）∵关于x的多项式x2
+mx+2n和x2
+nx+2m都是完全平方式， ∴m2
=4×2n=8n且n2
=4×2m=8m，
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∴mn=64mn， ∴mn-64mn=0， ∴mn（mn-64）=0， ∴mn=0或mn=64．
11、解析：（1）先分解因式得到x-xy=x（x-y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；
（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x+y=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．
解：（1）x-xy=x（x-y）（x+y）， 当x=15，y=5时，x-y=10，x+y=20，
可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015； （2）由题意得：x+y＝13, x+y＝121 解得xy=24，
而xy+xy=xy（x+y）， 所以可得数字密码为24121．
12、解析：（1）根据完全平方公式整理成非负数的和的形式，再根据非负数的性质列式求出a、b；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再求出第三边最小时的值，再求解即可．
解：（1）∵a+b-6a-14b+58=（a-6a+9）+（b-14b+49）=（a-3）+（b-7）=0， ∴a-3=0，b-7=0， 解得a=3，b=7；
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（2）∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴b-a＜c＜a+b， 即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小， 又∵c是正整数， ∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15． 9
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