直线的倾斜角和斜率
一、教学目标 (一)知识教学点
知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．
(二)能力训练点
通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力．
(三)学科渗透点
分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析
1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进
一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．
2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难
点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．
3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计
启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程
(一)复习一次函数及其图象
已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上．
∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上．
现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够
的时间让学生思考、体会．)
讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函
数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．
(二)直线的方程
引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示
的直线上的点一一对应．
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．
上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个
点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．
显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性
通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、
怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．
(四)直线的倾斜角
一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾
斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)
直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系． (五)直线的斜率
倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜
率常用k表示，即
直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率． (六)过两点的直线的斜率公式
在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直
线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？
P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那
么：
α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)
综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：
对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线
的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．
(七)例题
例1 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜
率．
∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，
本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．
例2 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．
∴tgα=-1． ∵0°≤α＜180°， ∴α=135°．
因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．
讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过
直线上的两点的坐标求得．
(八)课后小结
(1)直线的方程的倾斜角的概念． (2)直线的倾斜角和斜率的概念．
(3)直线的斜率公式． 五、布置作业
1．(1.3练习第1题)在坐标平面上，画出下列方程的直线： (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0
作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．
2．(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角： (1)C(10，8)，D(4，-4)；
解：(1)k=2 α=arctg2．
(3)k=1，α=45°．
3．(1.4练习第3题)已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两
个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．
解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．
4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．
∵A、B、C三点在一条直线上， ∴kAB=kAC．
六、板书设计
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
一、教学目标 (一)知识教学点
在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．
(二)能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析
1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式
方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．
2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即
直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．
的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式
已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可
求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？
设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，
因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．
重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、
斜率为k的直线l的方程．
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．
当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜
式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
(二)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是
点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0)
也就是
上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．
当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几
何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．
(三)两点式
已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定
的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．
当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式． 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直
线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直
线l的方程．
此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．
解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
就是
学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．
引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直
线方程的截距式．
对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代
入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．
(五)例题
例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三
角形三边所在直线的方程．
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫． 解：直线AB的方程可由两点式得：
即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程．
BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：
由斜截式得：
即 5x+3y-6=0． 这就是直线BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是
即 2x+5y+10=0． 这就是直线AC的方程． (六)课后小结
(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，
要会加以区别．
(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用． (3)要注意四种形式方程的不适用范围． 五、布置作业
1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形： (1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°； (5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：
2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经
过的已知点、直线的斜率和倾斜角：
解：
(1)(1，2)，k=1，α=45°；
(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；
3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．
4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方
程，并根据截距式方程作图．
(1)P1(2，1)、P2(0，-3)； (2)A(0，5)、B(5，0)； (3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：
(图略) 六、板书设计
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．
(二)能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析
1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式
方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．
2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即
直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．
的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式
已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可
求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？
设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，
因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．
重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、
斜率为k的直线l的方程．
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．
当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜
式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
(二)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是
点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0) 也就是
上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．
当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几
何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．
(三)两点式
已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定
的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．
当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式． 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直
线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直
线l的方程．
此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．
解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
就是
学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．
引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直
线方程的截距式．
对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代
入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．
(五)例题
例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三
角形三边所在直线的方程．
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫． 解：直线AB的方程可由两点式得：
即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程．
BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：
由斜截式得：
即 5x+3y-6=0． 这就是直线BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是
即 2x+5y+10=0．
这就是直线AC的方程． (六)课后小结
(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，
要会加以区别．
(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用． (3)要注意四种形式方程的不适用范围． 五、布置作业
1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形： (1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°； (5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：
2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经
过的已知点、直线的斜率和倾斜角：
解：
(1)(1，2)，k=1，α=45°；
(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；
3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．
4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方
程，并根据截距式方程作图．
(1)P1(2，1)、P2(0，-3)； (2)A(0，5)、B(5，0)； (3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：
(图略)
六、板书设计
直线方程的一般形式
一、教学目标
(一)知识教学点
掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比． (二)能力训练点
通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．
(三)学科渗透点
通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．
二、教材分析
1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限
性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．
2．难点：与重点相同．
3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元
一次方程是同解方程．
三、活动设计
分析、启发、讲练结合． 四、教学过程
(一)引入新课
点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的
直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程．
我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？
(二)直线方程的一般形式
我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜
率，方程可写成下面的形式：
y=kx+b
当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．
由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．
反过来，对于x、y的一次方程的一般形式
Ax+By+C=0．
(1)
其中A、B不同时为零． (1)当B≠0时，方程(1)可化为
这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面
的论证不知所云．
(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为
它表示一条与y轴平行的直线．
这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为
Ax+By+C=0
这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？
直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程． (三)例题
解：直线的点斜式是
化成一般式得
4x+3y-12=0．
把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式
讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由
于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．
例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴
与y轴上的截距，并画图．
解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：
x=-6
根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的
图形(图1-28)．
本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．
例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上． 证法一 直线AB的方程是：
化简得 y=x+2．
将点C的坐标代入上面的方程，等式成立． ∴A、B、C三点共线．
∴A、B、C三点共线．
∵|AB|+|BC|=|AC|， ∴A、C、C三点共线．
讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力． 例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，
此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐
标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．
代入x+2y-10=0有：
解之得 λ=-3．
(四)课后小结
(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．
(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端
点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．
五、布置作业
1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)； (6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．
解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0； (4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．
3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角
4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方
程．
5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线
的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．
证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有
A(x-x0)+B(y-y0)=0．
6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，
六、板书设计
两条直线的平行与垂直
一、教学目标
(一)知识教学点
掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．
(二)能力训练点
通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
二、教材分析
1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生
能熟练掌握，灵活运用．
2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜
率的关系问题．
3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上
课时要注意解决好这个问题．
三、活动设计
提问、讨论、解答． 四、教学过程
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两
直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)斜率存在时两直线的平行与垂直
设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是 l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．
我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们
的倾斜角相等：α1=α2．
∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2． ∵两直线不重合， ∴l1∥l2．
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即
eq \\x( )
要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
现在研究两条直线垂直的情形．
如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特
征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
可以推出 α1=90°+α2．
l1⊥l2．
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即
eq \\x( )
(三)例题
例1 已知两条直线
l1： 2x-4y+7=0， L2： x-2y+5=0． 求证：l1∥l2．
证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合． 证明：把l1、l2的方程写成斜截式：
∴两直线不相交．
∵两直线不重合， ∴l1∥l2．
例2求过点 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．
即 2x+3y+10= 0．
解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，
将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为
2x+3y+10=0．
例3 已知两条直线
l1： 2x-4y+7=0， l2： 2x+y-5=0． 求证：l1⊥l2．
∴l1⊥l2．
例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程． 解法1 已知直线的斜率k1=-2． ∵所求直线与已知直线垂直，
根据点斜式得所求直线的方程是
就是 x-2y=0．
解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，
将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是
x-2y=0．
(四)课后小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件； (2)两斜率存在的直线垂直的等价条件； (3)与已知直线平行的直线的设法； (4)与已知直线垂直的直线的设法． 五、布置作业
1．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)y=3x+4和2x-6y+1=0； (2)y=x与3x十3y-10=0； (3)3x+4y=5与6x-8y=7；
解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．
2．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程： (1)平行于直线2x+5-5=0； (2)垂直于直线x-y-2=0； 解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．
3．(1．7练习第3题)已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直
线什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．
解：(1)另一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果
这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．
(2)另一条斜率为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直
线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．
4．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3)，
求这个三角形的三条高所在的直线方程．
也就是 2x+7y-21=0．
同理可得BC边上的高所在直线方程为
3x+2y-12=0．
AC边上的高所在的直线方程为
4x-3y-3=0．
六、板书设计
两条直线所成的角
一、教学目标 (一)知识教学点
一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．
(二)能力训练点
通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．
(三)学科渗透点
训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯． 二、教材分析
1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况
作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．
2，难点：公式的记忆与应用．
3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据． 三、活动设计
分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 (一)引入新课
我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．
(二)l1到l2的角正切
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，
我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．
l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．
现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程
分别是
l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 如果1+k1k2=0，那么θ=90°， 下面研究1+k1k2≠0的情形．
由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关
系入手考虑问题．
设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)，甲图的特征是l1到l2的角
是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．
tgα1=k1， tgα2=k2． ∵θ=α2-α1(图1-32)，
或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)， ∴tgθ=tg(α2-α1)．
或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)． 可得
即
eq \\x( )
上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆． (三)夹角公式
从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可以用
下面的公式
(四)例题
解：k1=-2，k2=1．
∴θ=arctg3≈71°34′． 本例题用来熟悉夹角公式．
例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2
≠0、A1A2+B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，求证：
证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则
这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．
例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2
的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．
解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．
设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角
是θ2，则
．
因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以 θ1=θ2． tgθ2=tgθ1=-3．
解得 k3=2．
因为l3经过点(-2，0)，斜率为2，写出点斜式为
y=2[x-(-2)]，
即 2x-y+4=0． 这就是直线l3的方程．
讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．
(五)课后小结
(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念； (2)l1到l2的角的正切公式； (3)l1与l2的夹角的正切公式；
(4)等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到
另一腰所在直线的角．
五、布置作业
1．(教材第32页，1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的
角：
∴θ1=45°．
l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．
2．(教材第32页，1．8练习第2题)求下列直线的夹角：
∵k1·k2=-1，
∴l1与l2的夹角是90°． (2)k1=1， k2=0． 两直线的夹角为45°．
∴l1与l2的夹角是90°．
3．(习题三第10题)已知直线l经过点P(2，1)，且和直线5x+2y+3=0的夹
角为45o，求直线l的方程．
即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．
4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l2
的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在的直线l3的方程．
解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题，解法与例3相同，所求方程为： x-2y-2=0． 六、板书设计
两条直线的交点
一、教学目标 (一)知识教学点
知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．
(二)能力训练点
通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生
的抽象思维能力与类比思维能力．
(三)学科渗透点
通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．
二、教材分析
1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关
系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．
2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论． 3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说
明．
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程
(一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是
l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．
如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线
l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组
是否有唯一解．
(二)对方程组的解的讨论
若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平
行，很容易得到两直线的位置关系．
下面设A1、A2、B1、B2全不为零． 解这个方程组：
(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，
(3)
(2)×B1得
A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4)
(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0． 下面分两种情况讨论：
将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得
上面得到y可把方程组写成
即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组． 综上所述，方程组有唯一解：
这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标． (2)当A1B2-A2B1=0时：
①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零(为什么？)．设C2
②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、
(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置
关系的结论
说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．
(四)例题
例1 求下列两条直线的交点： l1：3x+4y-2=0， l2： 2x+y+2=0． 解：解方程组
∴l1与l2的交点是M(-2，2)． 例2 已知两条直线： l1： x+my+6=0， l2： (m-2)x+3y+2m=0．
当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合． 解：将两直线的方程组成方程组
解得m=-1或m=3．
(2)当m=-1时，方程组为
∴方程无解，l1与l2平行． (3)当m=3时，方程组为
两方程为同一个方程，l1与l2重合．
(五)课后小结
(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系． (2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．
(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法． 五、布置作业
1．(教材第35页，1．9练习第2题)判断下列各对直线的位置关系，如果
相交，则求出交点的坐标：
2．(教材第35页，1．9练习第3题)A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0和
直线6x-4y+c=0(1)平行；(2)重合；(3)相交．
解：(1)A=3，C≠-2；(2)A=3，C=-2；(3)A≠3． 3．(习题三第7题)已知两条直线： l1：(3+m)x+4y=5-3m， l2：2x+(5+m)y=8．
m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解：(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1． 六、板书设计
点到直线的距离公式
一、教学目标 (一)知识教学点
点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点
培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．
(三)知识渗透点
由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析
1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程．
2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利
用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．
3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，
这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．
三、活动设计
启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题
已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它
们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？
(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决
思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：
方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则
当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|
进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法：
方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS|
方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，
比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以
向一般情况推广呢？
思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)．
思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．
思考题4 求点P(2，1)到直线2x-y+2=0的距离(图1-36)．
过P作直线的垂线，垂足为Q，过P作x轴的平行线交直线于R，
(三)推导点到直线的距离公式有思考题4作基础，我们很快得到 设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox， PR与l交于
R(x1，x1)(图1-37)．
∵PR∥Ox， ∴y1=y．
代入直线l的方程可得：
当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α． 当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α．
∵α＜90°，
∴|PQ|=|PR|sinα1
这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：
如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以
求出距离．
(四)例题
例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离． 解：(1)根据点到直线的距离公式，得
(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以
例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．
解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就
是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．
例3 正方形的中心在C(-1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求
其它三边所在的直线方程．
解：正方形的边心距
设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0，则中心到
C1=-5(舍去0)或C1=7．
∴与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0．
设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0，则中心到这
解之有C2=-3或C2=9．
∴与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0． (五)课后小结
(1)点到直线的距离公式及其证明方法． (2)两平行直线间的距离公式． 五、布置作业
1．(1．10练习第1题)求坐标原点到下列直线的距离：
2．(1．10练习第2题)求下列点到直线的距离：
3．(1．10练习第3题)求下列两条平行线的距离： (1)2x+3y-8=0， 2x+3y+18=0． (2)3x+4y=10， 3x+4y=0．
解：x-y-6=0或x-y+2=0．
5．正方形中心在C(-1，0)，一条边所在直线方程是3x-y二0，求其它三边
所在的直线方程．
解：此题是例3交换条件与结论后的题： x+3y-5=0， x+3y+7=0， 3x-y+9=0． 六、板书设计
圆的标准方程
一、教学目标 (一)知识教学点
使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．
(二)能力训练点
通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
(三)学科渗透点
圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
二、教材分析
1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标
准方程．
(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的
直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)
三、活动设计
问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读． 四、教学过程 (一)复习提问
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)． 问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心
和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆
心和半径分别确定了圆的位置和大小．
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系
设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
(二)建立圆的标准方程 1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是
定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程 将上式两边平方得：
(x-a)2+(y-b)2=r2．
(1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准
方程．
这时，请大家思考下面一个问题．
问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，
b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，
r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
(三)圆的标准方程的应用
例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；
指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 例2 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(x+4)2+(y+3)2=7； (3)(x+2)2+ y2=4
教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．
例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解(1)： 分析一：
从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决． 解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为： (x-5)2+(y-6)2=10 分析二：
从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决． 解法二：(给出板书) ∵直径上的四周角是直角，
∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．
化简得：
x2+y2-10x-12y+51=0．
即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程． 解(2)：(学生阅读课本) 分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 这时，教师小结本题： 1．求圆的方程的方法
(1)待定系数法，确定a，b，r； (2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．
2．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆半径为r： (1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内
d=r； d＞r； d＜r．
3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)
例4 图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高
OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．
此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：
(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算； (2)用待定系数法求圆的标准方程；
(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解． (四)本课小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法． 五、布置作业
1．求下列条件所决定的圆的方程：
(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切． 2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．
3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，
0)，求它的外接圆的方程．
4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程． 作业答案：
1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32
2．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为
所以圆的方程为
化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程： x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0) 六、板书设计
圆的一般方程
一、教学目标 (一)知识教学点
使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
(二)能力训练点
使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
(三)学科渗透点
通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．
二、教材分析
1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用
待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心
和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)
2．难点：圆的一般方程的特点．
(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． (解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计
讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 (一)复习引入新课
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成
x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
(二)圆的一般方程的定义
1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任
何图形．
这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、
法．
2．圆的一般方程的定义
当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． (三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．
与圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．
的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．
当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件： (1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0； (2)没有xy项，即B=0；
(2)(3)
(3)D2+E2-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 教师还要强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． (四)应用与举例
同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系
数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．
例1 求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x2+y2-8x+6y=0， (2)x2+y2+2by=0．
此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；
(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．
同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有
解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0． 例2小结：
1．用待定系数法求圆的方程的步骤：
(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；
(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方
程．
2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已
知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：
例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶
x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
(0，2)．
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为
故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 这时，教师指出：
(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问
题，往往设圆的标准方程．
(2)此题也可以用圆系方程来解： 设所求圆的方程为：
x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)
整理并配方得：
由圆心在直线l上得λ=-2．
将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法
到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．
的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：
(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一
点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；
(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形． (五)小结
1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 五、布置作业
1．求下列各圆的一般方程：
(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．
2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线
x-y-4=0上的圆的方程．
3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点
的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=
∠BPC，求动点P的轨迹．
作业答案：
1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0 (2)x2+y2-4x-2y-20=0 2．x2+y2-x+7y-32=0
3．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以
4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a
＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：
(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．
当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-
与x轴的两个交点． 六．板书设计
点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系
一、教学目标 (一)知识教学点
使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．
(二)能力训练点
通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．
(三)学科渗透点
点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．
二、教材分析
1．重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题)；(2)圆系
方程应用．
(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的
代线方程，弦长计算问题；(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程．)
2．难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明． (解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明．) 三、活动设计
归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习． 四、教学过程 (一)知识准备
我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识．
1．点与圆的位置关系
设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有： (1)d＞r (2)d=r (3)d＜r
点M在圆外； 点M在圆上； 点M在圆内．
2．直线与圆的位置关系
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，
判别式为△，则有： (1)d＜r (2)d=r (3)d＜r
直线与圆相交； 直线与圆相切；
直线与圆相离，即几何特征；
直线与圆相交；
或(1)△＞0
(2)△=0 (3)△＜0
直线与圆相切；
直线与圆相离，即代数特征，
3．圆与圆的位置关系
设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆
心距为d，则有：
(1)d=k+r (2)d=k-r (3)d＞k+r (4)d＜k+r
两圆外切； 两圆内切； 两圆外离； 两圆内含；
两圆相交．
(5)k-r＜d＜k+r 4．其他
(1)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本
命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．
(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：
设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，
则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．
(3)圆系方程：
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，
则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．
②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过
交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．
(二)应用举例
和切点坐标．
分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)
从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．该例题由学生演板完成．
∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，
把这两个切线方程写成
注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，
例2 已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1
交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长．
分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用
几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．
证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=
∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q．
例3 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共
弦为直径的圆的方程．
解法一：
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径，
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25． 解法二：
设所求圆的方程为：
x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0． 小结：
解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练．
(三)巩固练习
1．已知圆的方程是x2+y2=1，求： (1)斜率为1的切线方程；
2．(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是
(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是
______．(内切)
由学生口答．
3．未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆
的方程．
分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程．由两个同学演板给出两种解法：
解法一：
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0． ∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，
解法二：
设过交点的圆系方程为：
x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．
五、布置作业
2．求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切． 3．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线
x-y-4=0上的圆的方程．
4．由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、 B两点，向圆x2+y2=r2
作切线QC、QD，求：
(1)切线长；
(2)AB中点P的轨迹方程． 作业答案：
2．证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3．x2+y2-x+7y-32=0
六、板书设计
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