数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A.
B.
，集合
，则C.
等于（ ）
D.
【答案】C 2.若复数满足A. 【答案】B 3.若直线A. 1 【答案】A 4.设向量A. 1 【答案】B 5.若实数A. 2 【答案】B 6.设为椭圆为（ ） A. 【答案】C
7.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①输出的函数是（ ）
②
③
④
，则
B.
C.
D.
上任意一点，
，
，延长
至点，使得
，则点的轨迹方程
满足约束条件
B. 3
则
的最小值是（ ） C. 4
D. 5
，
，若B. -1
与垂直，则实数的值等于（ ）
C. 2
D. -2
与直线B. -2
平行，则的值是（ ） C. 1或-2
D.
（为虚数单位），则B.
为（ ）
C.
D. 1
1页
A. 【答案】A
B. C. D.
8.如图所示，正方体确的个数为（ ） ①
；②
平面
的棱长为1，线段上有两个动点、，且.则下列结论中正
；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等.
A. 1 【答案】C 9.函数
，则
A. C. 【答案】B 10.已知抛物线则A. 5 【答案】C
B. 2 C. 3 D. 4
的图像过点
的单调增区间为（ ）
B. D.
，若相邻的两个零点，满足
的焦点为，双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，
的最小值为（ ）
B. 7
C. 9
D. 11
2页
11.已知，则“”是“
B. 必要不充分条件
”的（ ）
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条
A. 充分必要条件 件 【答案】A 12.定义在上的函数
，则有（ ）
A. 【答案】B
，满足，为的导函数，且，若，且
B. C. D. 不确定
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在【答案】-9 14.已知曲线【答案】
15.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________．
在点
处的切线的倾斜角为，则
的值为__________．
的展开式中，含的项的系数是__________．
【答案】
，
，则角最大时，三角形
的
16.已知三角形的内角、、所对的边分别为、、，若面积等于__． 【答案】
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分
3页
17.设数列（1）求数列（2）若【答案】(1)【解析】 【分析】
满足和
，
的通项公式；
；数列的前项和为，且.
，求数列的前项和. ；(2)
（1）根据累加的方法可得数列由（1）得到数列【详解】（1）∵∴∴
，
又∴∵数列∴当又当∴
（2）由（1）得∴∴①②得
中时，时，
．
满足上式，
．
， ，
的通项公式，利用可得数列的通项公式．（2）
的通项公式，然后根据错位相减法求出．
，
，
，满足上式．
，
①， ②，
，
4页
∴．
时的
【点睛】（1）利用累加法求数列的通项公式或利用前项和求数列的通项公式时，一定要注意对情况的验证，以保证所求对任意的正整数都成立．
（2）用错位相减法求数列的和时，由于要涉及到大量的运算，所以很容易出现错误，解题时要根据解题步骤逐步进行，同时在平时的训练中要提高对此类问题的重视程度，加强对计算的训练，避免出现错误． 18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数
乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数
（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（i）记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；
（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由. 【答案】(1)【解析】 【分析】
（1）根据古典概型概率公式及组合数进行计算即可．（2）(ⅰ) 先求出乙公司送餐员每天的日工资，再根据频数表得到相应的频率，即为概率，进而可得分布列和期望； (ⅱ)求出甲公司送餐员日平均工资为元，与(ⅰ)中得到的乙公司送餐员的日平均工资
元作比较后可得结论．
；(2)(ⅰ)见解析；(ⅱ)小明去乙公司应聘 38 10 39 20 40 20 41 40 42 10 38 20 39 40 40 20 41 10 42 10 【详解】（1）记“从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，
5页
则．
即抽取的两天送餐单数都大于40的概率为（2） (ⅰ)设乙公司送餐员日送餐单数为, 则当当当当当
时,时, 时, 时, 时,
， ， ，
， ．
．
所以X的所有可能取值为由频数表可得
，，
所以X的分布列为 所以
152 156 160 166 ．
，，
，
172 ．
(ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为
所以甲公司送餐员日平均工资为70+2由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为162元. 因为149<162，
故推荐小明去乙公司应聘．
【点睛】（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取没一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可．
（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论． 19.在五面体
中，四边形
是正方形，
，
，
.
元.
6页
（1）求证：（2）求直线
； 与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）根据题意先证得四边形于是
为等腰梯形，再证得
平面
，于是．又可得到平面，
，根据线面垂直的判定定理可得
的方向向量和平面
，于是可得所证结论．（2）建立空间直角坐标
系，求出直线的法向量，根据两向量的夹角的余弦值可得所求线面角的正弦值． ，且
平面
，
平面
，
【详解】（1）证明：由已知所以又平面故又所以四边形因为所以所以所以因为所以所以又∴又所以
平面平面
． 平面． ， ， ， ．
，且.
，
，
，
．
， 为等腰梯形．
平面
． 平面
，
，
（2）如图，以为原点，以
分别为轴，建立空间直角坐标系
7页
，
则∴设平面由令
，得
． 所成的角为， 的法向量为
， ，得
，
，
，
设直线与平面
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
【点睛】利用向量求线面时，关键是建立适当的空间直角坐标系、确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角． 20.已知动圆恒过定点
，且与直线
相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）正方形【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹的方程为
；（2）设
边所在直线方程为
，代入抛
中，一条边 ；（2）
在直线或
上，另外两点、在轨迹上，求正方形的面积.
物线方程后得到关于的二次方程，进而由根与系数的关系可得式可得
，由
求出
或
，又由两平行线间的距离公
，于是可得正方形的边长，进而可得其面积．
的距离相等， ，
【详解】（1）由题意得动圆的圆心到点所以圆心的轨迹是以所以圆心的轨迹方程为
的距离与它到直线为准线的抛物线，且
为焦点，以
．
8页
（2）由题意设由∵直线∴设则∴又直线∵∴经检验
和与直线， ，
边所在直线方程为， ，
消去整理得和抛物线交于两点，
，解得
，
.
．
．
间的距离为
，
，解得
都满足或
的面积
或
或． ， ．
，
∴正方形边长∴正方形
【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为，则
，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件
符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
（2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率． 21.已知函数（1）讨论函数（2）若函数
，（
的单调性；
有两个极值点，，证明：
.
）.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程
解得情况：根据判别式与零大小先进行一级
，化简差函数
讨论，再根据根与零大小进行二级讨论，（2）由韦达定理得
，再利用导数研究差函数单调性，根据单调性证明不等式.
试题解析：（1）令
，
，
9页
①②当③当
即时，
即
，故
时，
的两根为
恒成立，所以
恒成立，所以
在在
上单调递增；
上单调递增；
时，由于，
所以综上：
在
时，函数
在
在
为增函数；
为增函数，在为减函数，
时，函数减函数； （2）由（1）知∴
为增函数，在为
，且，
，
而，
∴设所以所以
在
，则
上为减函数，又
.
，所以
，
， ，
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，
确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时涂所选题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程 点是曲线：
为中心，将点逆时针旋转
上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点得到点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程； （2）射线【答案】（Ⅰ）
，（）与曲线，分别交于,
;（Ⅱ）
两点，设定点，求的面积.
．
10页
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为（Ⅱ）到射线
的距离为
，结合
． ．
．
， ，
则
．
．
可求得
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为设
，则
，则有
所以，曲线的极坐标方程为（Ⅱ）到射线
的距离为
23.选修4-5：不等式选讲 设函数
（1）解不等式：（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由题意得角不等式证明即可． 【详解】（1）由所以
得，解得
或．
，即
，
，
，转化为不等式组求解即可．（2）将原不等式变形后再利用绝对值的三
，求证：
；（2）见解析 .
；
.
所以原不等式的解集为（2）证明： 因为所以
＝
，
11页
．
【点睛】本题考查二次不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，用三角不等式证明时一是要注意将式子进行变形，使得满足能使用不等式的形式，同时还要注意等号成立的条件，属于基础题．
xx
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