一、选择题(每小题6分，共36分)
3
1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设α为坡角，那么cosα等于( )
43434(A) (B) (C) (D) 5543
2.(2012·威海模拟)在200米高的山顶上测得一建筑物顶部与底部的俯角分别为30°与60°，则该建筑物高为( )
400
(A)米
32003(C)米
3
4003(B)米
3(D)100米
3.线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则几小时后，两车的距离最小( ) 6970
(A) (B)1 (C) (D)2 4343
4.若△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC的长为( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
5.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( ) (A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米
6.(易错题)一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
(A)5海里 (C)10海里
(B)53海里 (D)103海里
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为 米. 8.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为 .
∠ABC39.(2012·东营模拟)在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC
2343
上，且AD＝2DC，BD＝，则BC＝ .
3三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·沈阳模拟)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值.
11.(2012·德州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝
π
. 3
(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积. 【探究创新】
(16分)如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路.已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.有一辆车(称甲车)以每小时96 km的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车(称乙车)以每小时120 km的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟.已知早上8点时甲车从车站A，乙车从车站B同时开出.
(1)计算A，C两站距离及B，C两站距离； (2)求10点时甲、乙两车的距离.
(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4，331≈18.2)
答案解析
3
1.【解题指南】坡度是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出
4cosα.
33422
【解析】选B.因为tanα＝，则sinα＝cosα，代入sinα＋cosα＝1得：cosα＝.
445 2.【解析】选A.如图，AB＝200， ∠EAD＝30°，∠EAC＝60°， ∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AB·tan∠BAC＝200×2003
即AE＝，
3
20033200
在Rt△ADE中，DE＝AE·tan∠DAE＝×＝
333200400
∴CD＝CE－DE＝200－＝(米)
33
3.【解析】选C.如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x， BE＝50x，
∴y＝(200－80x)＋(50x) －2×(200－80x)·50x·cos60°，
整理得y＝12 900x－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)， 702
∴当x＝时y最小，即y最小.
43
4.【解析】选C.设△ABC的三边长为a、b、c， a＋b＋c＝201
则bcsin60°＝103
2a＝b＋c－2bccos60°
2
2
2
2
2
2
2
2
32003
＝. 33
a＋b＋c＝20
即bc＝40a2＝b2＋c2－bc解得a＝7.
5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得. 【解析】选C.如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h， 在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10， 由余弦定理得：
OD＝OC＋CD－2OC·CD·cos∠OCD， 即(3h)＝h＋10－2h×10×cos120°， ∴h－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去).
6.【解析】选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角5
形ABC中，可得AB＝5海里，于是这只船的速度是＝10(海
0.5里/小时).
7.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上， 设塔高为h，
因为∠CAE＝30°，∠BAE＝15°，AD＝BE＝60， BE60
则AE＝＝＝120＋603，
tan15°2－3在Rt△AEC中，
CE＝AE·tan30°＝(120＋603)×
3
＝60＋403， 3
2
2
2
2
2
2
2
所以塔高为60＋403＋60＝(120＋403)米. 答案：120＋403
8.【解析】设高塔高H，矮塔高h，在矮塔下望高塔仰角为α，在O点望高塔仰角为β， α
因为分别在两塔底测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为，
2Hαh
即tanα＝，tan＝，
1202120h
120H
根据倍角公式有＝
120h2
1－()
120
2×
①
π
在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔仰角为－β，即tan
2Hπhβ＝，tan(－β)＝，
60260H60根据诱导公式有＝
60h
②，
联立①②得H＝90，h＝40，
即两座塔的高度分别为40米，90米. 答案：40米，90米
∠ABC3
9.【解析】由sin＝，
231
得cos∠ABC＝，
3
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b 422
由余弦定理得：9b＝a＋4－a 3又由∠ADB与∠CDB互补 ∴cos∠ADB＝－cos∠CDB 1616222
4b＋－4b＋－a
33
即＝－
16383
bb33化简得3b－a＝－6
2
2
①
②
解①②得a＝3，b＝1，即BC＝3 答案：3
【方法技巧】三角形中的几何计算问题
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，
利用正、余弦定理加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可. 10.【解析】作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝MF＋DM＝30＋170＝10298， DE＝DN＋EN＝50＋120＝130， EF＝(BE－FC)＋BC＝90＋120＝150， 在△DEF中，由余弦定理， DE＋EF－DF
cos∠DEF＝ 2DE·EF130＋150－10×29816＝＝.
2×130×15065
11. 【解析】(1)由余弦定理及已知条件得，a＋b－ab＝4， 1
又因为△ABC的面积等于3，所以absinC＝3，得ab＝4.
2
a＋b－ab＝4
联立方程组
ab＝4
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
解得a＝2，b＝2.
(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA， 即sinBcosA＝2sinAcosA，
ππ4323
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
2633当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，
a＋b－ab＝4
联立方程组
b＝2a
2
2
，
2343
解得a＝，b＝
33
123
所以△ABC的面积S＝absinC＝.
23【探究创新】
【解析】(1)在△ABC中，∠ACB＝60°. ∵
ABBCAC
＝＝，
sin60°sin75°sin45°
2
120×2120sin45°
∴AC＝＝＝406≈96(km)，
sin60°3
2120sin75°BC＝＝sin60°
120×6＋2432
＝602＋206≈132(km).
5044
(2)10点时甲车离开C站的距离为×96＝80(km)，乙车离开C站的距离为×120＝88(km)，
6060两车的距离等于80＋88－2×80×88×cos120°＝8100＋121＋110＝8331≈8×18.2＝145.6(km)
2
2
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容