2021-2022学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是科学防控新冠肺炎病毒传染的宣传图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是( )
A. C.
打喷嚏 捂口鼻 B. D.
喷嚏后 慎揉眼
勤洗手 勤通风 戴口罩 讲卫生
2. 三角形两边的长度分别是20𝑐𝑚和30𝑐𝑚，要组成一个三角形，则应在下列四条线段中选取的线段．( )
A. 10𝑐𝑚 B. 40𝑐𝑚 C. 50𝑐𝑚 D. 60𝑐𝑚
3. 已知𝑎≠0，下列计算正确的是( )
A. 𝑎2+𝑎3=𝑎5 B. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6 C. (𝑎2)3=𝑎5 D. 𝑎3÷𝑎2=𝑎
4. 如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为( )
A. 360° B. 720° C. 1080° D. 1440°
5. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线𝑂𝐵，另一把直尺压住射线𝑂𝐴并且与第一把直尺交于点𝑃，小明说：“射线𝑂𝑃就是∠𝐵𝑂𝐴的角平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确
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6. 如图，在已知的△𝐴𝐵𝐶中，按以下步骤作图：①分别以𝐵，𝐶为圆心，以大于𝐵𝐶的长为半径作弧，两弧相交于两点𝑀，𝑁；②作
2直线𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷. 若𝐶𝐷=𝐴𝐶，∠𝐴=50°，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为( )
1
A. 105° B. 100° C. 95° D. 90°
7. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式𝑚2+3𝑚𝑛+2𝑛2因式分解，其结果正确的是( )
A. (𝑚+2𝑛)2 C. (2𝑚+𝑛)(𝑚+𝑛)
B. (𝑚+2𝑛)(𝑚+𝑛) D. (𝑚+2𝑛)(𝑚−𝑛)
8. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△𝐴𝐵𝐶，则与△𝐴𝐵𝐶成轴对称且以格点为顶点三角形共有个．( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
9. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为𝑥株，则符合题意的方程是( )
A. 3(𝑥−1)=
6210
𝑥
B. 𝑥−1=3
6210
C. 3𝑥−1=
6210
𝑥
D.
6210𝑥
=3
10. 现有7张如图1的长为𝑎，宽为𝑏(𝑎>𝑏)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为𝑆，当𝐵𝐶的长度变化时，按照同样的放置方式，𝑆始终保持不变，则𝑎，𝑏满足( )
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A. 𝑎=2𝑏
B. 𝑎=3𝑏 C. 𝑎=3.5𝑏 D. 𝑎=4𝑏
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 要使分式
2𝑥
有意义，则𝑥须满足的条件为______ ． 𝑥+1
12. 已知点𝐴(𝑥,−4)与点𝐵(3,𝑦)关于𝑥轴对称，那么𝑥+𝑦的值为______． 13. 如图所示，已知𝐴𝐶=𝐷𝐵，要证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，则还需要添加一个条件是______．
14. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点𝐷在𝐴𝐵边上，将△𝐶𝐵𝐷沿𝐶𝐷折叠，使点𝐵恰好落在𝐴𝐶边上的点𝐸处，若∠𝐴=32°，则∠𝐶𝐷𝐸=______．
15. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐴=30°，𝐴𝐵=8，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，点𝑃，点𝑁分别是𝐵𝐷，𝐴𝐶边上的动点，点𝑀在𝐵𝐶上，且𝐵𝑀=1，则𝑃𝑀+𝑃𝑁的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)计算：(3𝑥+1)(3𝑥−1)−(𝑥+3)2； (2)解方程：
𝑥2−𝑥+𝑥−33−𝑥
=1．
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17. (本小题9.0分)
2
先化简，再求值：(1−1)÷2𝑥−1，其中𝑥=2021．
𝑥+1𝑥+2𝑥+1
18. (本小题9.0分)
如图所示，𝐶𝐷和𝐸𝐹是两条互相垂直的道路，𝐴、𝐵是某公司的两个销售点，公司要在𝑃处修建一个货运站，使𝑃到两条道路的距离相等，且到𝐴、𝐵两个销售点的距离相等，请作出一个符合条件点𝑃的位置．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19. (本小题9.0分)
阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2𝑥2+𝑥+𝑎有一个因式是(𝑥+2)，求另一个因式以及𝑎的值．
解：设另一个因式是(2𝑥+𝑏)，
根据题意，得2𝑥2+𝑥+𝑎=(𝑥+2)(2𝑥+𝑏)． 展开，得2𝑥2+𝑥+𝑎=2𝑥2+(𝑏+4)𝑥+2𝑏． 𝑎=−6𝑏+4=1
所以，{，解得{
𝑏=−3𝑎=2𝑏
所以，另一个因式是(2𝑥−3)，𝑎的值是−6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3𝑥2+10𝑥+𝑚有一个因式是(𝑥+4)，求另一个因式以及𝑚的值． 20. (本小题9.0分)
如图，已知𝐴𝐵=𝐷𝐶，𝐴𝐵//𝐶𝐷、𝐸、𝐹是𝐴𝐶上两点，且𝐴𝐹=𝐶𝐸， (1)△𝐴𝐵𝐸与△𝐶𝐷𝐹是否全等，并说明理由；
(2)连接𝐵𝐶，若∠𝐶𝐹𝐷=80°，∠𝐵𝐶𝐸=25°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数．
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21. (本小题10.0分)
近年来节能又环保的油电混合动力汽车越来越受到人们的喜爱，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为75元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元．已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.3元，汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 22. (本小题10.0分)
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=30°，点𝑂在𝐵𝐶边上运动(𝑂不与𝐵，𝐶重合)，点𝐷在线段𝐴𝐵上，连结𝐴𝑂、𝑂𝐷.点𝑂运动时，始终满足∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵． (1)当𝑂𝐷//𝐴𝐶时，判断△𝐴𝑂𝐵的形状并说明理由； (2)当𝐴𝑂的最小值为4时，此时𝐵𝐷=______；
(3)在点𝑂的运动过程中，△𝐴𝑂𝐷的形状是等腰三角形时，请求出此时∠𝐵𝐷𝑂的度数．
23. (本小题11.0分)
如图1，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=𝛼，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点𝑀，连接𝐶𝑀． (1)求证：𝐵𝐸=𝐴𝐷；
(2)用含𝛼的式子表示∠𝐴𝑀𝐵的度数(直接写出结果)；
(3)当𝛼=90°时，取𝐴𝐷，𝐵𝐸的中点分别为点𝑃、𝑄，连接𝐶𝑃，𝐶𝑄，𝑃𝑄，如图2，判断△𝐶𝑃𝑄的形状，并加以证明．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：𝐷．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2.【答案】𝐵
【解析】解：设第三边的长为𝑥𝑐𝑚， 则30−20<𝑥<30+20， 10<𝑥<50，
四个选顶中只有答案B是40𝑐𝑚，在这个范围内， 故选：𝐵．
根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
3.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、𝑎2与𝑎3不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意； B、原式=𝑎5，故此选项不符合题意； C、原式=𝑎6，故此选项不符合题意； D、原式=𝑎，故此选项符合题意； 故选：𝐷．
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利用合并同类项的运算法则判断𝐴，根据同底数幂的乘法运算法则判断𝐵，根据幂的乘方运算法则判断𝐶，根据同底数幂的除法运算法则判断𝐷．
本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法(底数不变，指数相加)和同底数幂的除法(底数不变，指数相减)以及幂的乘方(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚𝑛是解题关键．
4.【答案】𝐶
【解析】解：多边形的边数是：360÷45=8． 则内角和是：(8−2)×180°=1080°． 故选：𝐶．
多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．
本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．根据多边形的外角和不随边数的变化而变化，求出多边形的边数是解题的关键．
5.【答案】𝐴
【解析】 【分析】
此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝑂，𝑃𝐹⊥𝐵𝑂，根据题意可得𝑃𝐸=𝑃𝐹，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵． 【解答】
解：如图所示：过两把直尺的交点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝑂，𝑃𝐹⊥𝐵𝑂，
因为两把完全相同的长方形直尺，
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所以𝑃𝐸=𝑃𝐹，
所以𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)， 故选：𝐴．
6.【答案】𝐴
【解析】先根据等腰三角形的性质得出∠𝐴𝐷𝐶的度数，再由三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐷的度数，根据线段垂直平分线的性质得出∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵，再由三角形外角的性质求出∠𝐵𝐶𝐷的度数，进而可得出结论．
解：∵𝐶𝐷=𝐴𝐶，∠𝐴=50°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴=50°，
∴∠𝐴𝐶𝐷=180°−50°−50°=80°． ∵由作图可知，𝑀𝑁是线段𝐵𝐶的垂直平分线， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=25°，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=80°+25°=105°． 故选：𝐴．
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
12
7.【答案】𝐵
【解析】解：观察图形可知𝑚2+3𝑚𝑛+2𝑛2=(𝑚+2𝑛)(𝑚+𝑛)． 故选：𝐵．
根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法，从而得到等式．
本题考查了因式分解的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
8.【答案】𝐶
【解析】解：与△𝐴𝐵𝐶成轴对称且以格点为顶点三角形有△𝐴𝐵𝐺、△𝐶𝐷𝐹、△𝐴𝐸𝐹、△𝐷𝐵𝐻，△𝐵𝐶𝐺共5个， 故选：𝐶．
解答此题首先找到△𝐴𝐵𝐶的对称轴，𝐸𝐻、𝐺𝐶、𝐴𝐷，𝐵𝐹等都可以是它的对
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称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
9.【答案】𝐴
【解析】 【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据单价=总价÷数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于𝑥的分式方程，此题得解． 【解答】
解：依题意，得：3(𝑥−1)=．
𝑥故选：𝐴．
6210
10.【答案】𝐵
【解析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与𝐵𝐶无关即可求出𝑎与𝑏的关系式．
解：法1：左上角阴影部分的长为𝐴𝐸，宽为𝐴𝐹=3𝑏，右下角阴影部分的长为𝑃𝐶，宽为𝑎，
∵𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐵𝐶=𝐵𝑃+𝑃𝐶=4𝑏+𝑃𝐶，即𝐴𝐸+𝐸𝐷=𝐴𝐸+𝑎， ∴𝐴𝐸+𝑎=4𝑏+𝑃𝐶，即𝐴𝐸−𝑃𝐶=4𝑏−𝑎，
∴阴影部分面积之差𝑆=𝐴𝐸⋅𝐴𝐹−𝑃𝐶⋅𝐶𝐺=3𝑏𝐴𝐸−𝑎𝑃𝐶=3𝑏(𝑃𝐶+4𝑏−𝑎)−𝑎𝑃𝐶=(3𝑏−𝑎)𝑃𝐶+12𝑏2−3𝑎𝑏， 则3𝑏−𝑎=0，即𝑎=3𝑏．
法2：既然𝐵𝐶是变化的，当点𝑃与点𝐶重合开始，然后𝐵𝐶向右伸展，
设向右伸展长度为𝑥，左上阴影增加的是3𝑏𝑥，右下阴影增加的是𝑎𝑥，因为𝑆不变， ∴增加的面积相等， ∴3𝑏𝑥=𝑎𝑥， ∴𝑎=3𝑏． 故选：𝐵．
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此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】𝑥≠−1
【解析】解：由题意得：𝑥+1≠0， 解得：𝑥≠−1 故答案为：𝑥≠−1．
根据分式有意义的条件可得𝑥+1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】7
【解析】解：∵点𝐴(𝑥,−4)与点𝐵(3,𝑦)关于𝑥轴对称， ∴𝑥=3，𝑦=4， ∴𝑥+𝑦=7， 故答案为：7．
𝑦的值，根据关于𝑥轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得𝑥、进而可得𝑥+𝑦的值．
此题主要考查了关于𝑥轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13.【答案】𝐴𝐵=𝐷𝐶(答案不唯一)
【解析】解：添加的条件是𝐴𝐵=𝐷𝐶， 理由是：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中， 𝐵𝐶=𝐶𝐵
{𝐴𝐶=𝐷𝐵， 𝐴𝐵=𝐷𝐶
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(𝑆𝑆𝑆)，
故答案为：𝐴𝐵=𝐷𝐶(答案不唯一)．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，两直角三角形全等还有𝐻𝐿等．
14.【答案】77°
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【解析】解：由折叠可得∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶𝐷𝐸， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐷=45°， ∵∠𝐴=32°，
∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴+∠𝐴𝐶𝐷=32°+45°=77°， ∴∠𝐶𝐷𝐸=77°， 故答案为：77°
由折叠的性质可求得∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶𝐷𝐸，在△𝐴𝐶𝐷中，利用外角可求得∠𝐵𝐷𝐶，则可求得答案．
本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：如图所示，作点𝑀关于𝐵𝐷的对称点𝑀′，连接𝑃𝑀′，则𝑃𝑀′=𝑃𝑀，𝐵𝑀=𝐵𝑀′=1， ∴𝑃𝑁+𝑃𝑀=𝑃𝑁+𝑃𝑀′，
当𝑁，𝑃，𝑀′在同一直线上，且𝑀′𝑁⊥𝐴𝐶时，𝑃𝑁+𝑃𝑀′的最小值等于垂线段𝑀′𝑁的长，
此时，∵𝑅𝑡△𝐴𝑀′𝑁中，∠𝐴=30°， ∴𝑀′𝑁=2𝐴𝑀′=2×(8−1)=2， ∴𝑃𝑀+𝑃𝑁的最小值为， 故答案为：．
𝐵𝑀=𝐵𝑀′=1，𝑃，𝑀′在同一直线上，作点𝑀关于𝐵𝐷的对称点𝑀′，连接𝑃𝑀′，则𝑃𝑀′=𝑃𝑀，当𝑁，且𝑀′𝑁⊥𝐴𝐶时，𝑃𝑁+𝑃𝑀′的最小值等于垂线段𝑀′𝑁的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到𝑃𝑀+𝑃𝑁的最小值．
本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7
2
72
1
1
7
7
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16.【答案】解：(1)(3𝑥+1)(3𝑥−1)−(𝑥+3)2
=9𝑥2−1−𝑥2−6𝑥−9 =8𝑥2−6𝑥−10； (2)
𝑥2−𝑥+𝑥−33−𝑥
=1，
𝑥−(2−𝑥)=𝑥−3， 𝑥−2+𝑥=𝑥−3， 2𝑥−𝑥=−3+2， 𝑥=−1，
检验：当𝑥=−1时，𝑥−3≠0， ∴𝑥=−1是原方程的根．
【解析】(1)按照运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减，然后进行计算即可； (2)按照解分式方程的步骤进行计算即可．
本题考查了完全平方公式，平方差公式，解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
17.【答案】解：(
1𝑥2−1
−1)÷2
𝑥+1𝑥+2𝑥+1
1−(𝑥+1)(𝑥+1)
=⋅
𝑥+1(𝑥+1)(𝑥−1)1−𝑥−11
=⋅
1𝑥−1
=−𝑥−1，
当𝑥=2021时，原式=−
2021
2021−1
𝑥
2
=−2020．
2021
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将𝑥的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：如图所示：
作线段𝐴𝐵的垂直平分线， 作∠𝐸𝑂𝐷的平分线，
两直线相交于点𝑃即为货运站站．
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∠𝐸𝑂𝐷的平分线，【解析】根据线段垂直平分线和角平分线的性质，分别作线段𝐴𝐵的垂直平分线，两直线的交点即为货运站．
本题考查的是应用与设计作图，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19.【答案】解：设另一个因式是(3𝑥+𝑏)，
根据题意，得3𝑥2+10𝑥+𝑚=(𝑥+4)(3𝑥+𝑏)． 展开，得3𝑥2+10𝑥+𝑚=3𝑥2+(𝑏+12)𝑥+4𝑏． 𝑏+12=10𝑏=−2
所以，{，解得：{，
𝑚=4𝑏𝑚=−8所以，另一个因式是(3𝑥−2)，𝑚的值是−8．
【解析】直接利用已知例题进而假设出另一个因式是(3𝑥+𝑏)，求出答案即可． 此题主要考查了因式分解的意义，正确假设出另一个因式是解题关键．
20.【答案】解：(1)结论：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，理由如下：
∵𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴∠𝐴=∠𝐷𝐶𝐹， ∵𝐴𝐹=𝐶𝐸，
∴𝐴𝐹−𝐸𝐹=𝐶𝐸−𝐸𝐹， 即𝐴𝐸=𝐶𝐹， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中， 𝐴𝐵=𝐷𝐶
{∠𝐴=∠𝐷𝐶𝐹， 𝐴𝐸=𝐶𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)；
(2)由(1)知，△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐷， ∵∠𝐶𝐹𝐷=80°， ∴∠𝐴𝐸𝐵=80°，
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∴∠𝐵𝐸𝐶=180°−80°=100°，
∴∠𝐶𝐵𝐸=180°−∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐵𝐶𝐸=180°−100°−25°=55°． 【解析】(1)根据𝑆𝐴𝑆证明即可．
(2)利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理并证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹．
21.【答案】解：设汽车行驶中每千米用电费用是𝑥元，则每千米用油费用为(𝑥+0.3)元，
由题意得：
75𝑥+0.3
=𝑥，
30
解得：𝑥=0.2，
经检验，𝑥=0.2是原方程的解，且符合题意，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.2元，甲、乙两地的距离是30÷0.2=150(千米)； 答：汽车行驶中每千米用电费用是0.2元，甲、乙两地的距离是150千米．
【解析】设汽车行驶中每千米用电费用是𝑥元，则每千米用油费用为(𝑥+0.3)元，由题意：若完全用油做动力行驶，则费用为75元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元．列出分式方程，解方程，即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】6
【解析】解：(1)结论：△𝐴𝑂𝐵为直角三角形． 理由：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=30°， ∴∠𝐶=∠𝐵=30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−30°−30°=120°， ∵𝑂𝐷//𝐴𝐶，∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵=30°， ∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐴𝑂𝐷=30°， ∴∠𝐵𝐴𝑂=120°−30°=90°， ∴△𝐴𝑂𝐵是直角三角形；
(2)当𝐴𝑂⊥𝐵𝐶时，𝑂𝐴的值最小，如图1中，
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在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑂中，∠𝐴𝑂𝐵=90°，𝐴𝑂=4，∠𝐵=30°， ∴𝐴𝐵=2𝑂𝐴=8， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝑂⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝑂=90°−30°=60°， ∵∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵=30°，
∴∠𝐴𝐷𝑂=180°−60°−30°=90°， ∴𝐴𝐷=2𝑂𝐴=2，
∴𝐵𝐷=𝐴𝐵−𝐴𝐷=8−2=6． 故答案为：6；
(3)△𝐴𝑂𝐷的形状可以是等腰三角形，理由如下： 分三种情况：
①𝐷𝐴=𝐷𝑂时，∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐴𝑂𝐷=30°， ∴∠𝐵𝐷𝑂=∠𝑂𝐴𝐷+∠𝐴𝑂𝐷=60°；
②𝑂𝐴=𝑂𝐷时，∠𝑂𝐷𝐴=∠𝑂𝐴𝐷=2(180°−30°)=75°， ∴∠𝐵𝐷𝑂=180°−75°=105°；
③𝐴𝐷=𝐴𝑂时，∠𝐴𝐷𝑂=∠𝐴𝑂𝐷=30°，
∴∠𝑂𝐴𝐷=120°=∠𝐵𝐴𝐶，点𝑂与𝐶重合，不合题意； 综上所述，∠𝐵𝐷𝑂的度数为60°或105°．
(1)结论：△𝐴𝑂𝐵为直角三角形．证明∠𝐵𝐴𝑂=90°即可；
(2)根据垂线段最短可知𝐴𝑂⊥𝐵𝐶时，𝐴𝑂的值最小，求出𝐴𝐵，𝐴𝐷的值即可； (3)分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出∠𝐵𝐷𝑂的度数即可．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及平行线的性质等
1
1
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知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=𝛼，
∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐵𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， 在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中， 𝐶𝐴=𝐶𝐵
{∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， 𝐶𝐷=𝐶𝐸
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐴𝐷；
(2)如图1，∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸， ∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=180°−𝛼，
∴∠𝐵𝐴𝑀+∠𝐴𝐵𝑀=180°−𝛼， ∴△𝐴𝐵𝑀中，
∠𝐴𝑀𝐵=180°−(180°−𝛼)=𝛼； (3)△𝐶𝑃𝑄为等腰直角三角形． 证明：如图2，由(1)可得，𝐵𝐸=𝐴𝐷， ∵𝐴𝐷，𝐵𝐸的中点分别为点𝑃、𝑄， ∴𝐴𝑃=𝐵𝑄， ∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐶𝐵𝑄， 在△𝐴𝐶𝑃和△𝐵𝐶𝑄中， 𝐶𝐴=𝐶𝐵
{∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐶𝐵𝑄， 𝐴𝑃=𝐵𝑄
∴△𝐴𝐶𝑃≌△𝐵𝐶𝑄(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝑃=𝐶𝑄，且∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐵𝐶𝑄， 又∵∠𝐴𝐶𝑃+∠𝑃𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐵𝐶𝑄+∠𝑃𝐶𝐵=90°，
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∴∠𝑃𝐶𝑄=90°，
∴△𝐶𝑃𝑄为等腰直角三角形．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)由𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=𝛼，利用𝑆𝐴𝑆即可判定△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，可得𝐵𝐸=𝐴𝐷； (2)根据△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，得出∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸，再根据三角形内角和即可得到∠𝐴𝑀𝐵=𝛼； (3)先根据𝑆𝐴𝑆判定△𝐴𝐶𝑃≌△𝐵𝐶𝑄，再根据全等三角形的性质，得出𝐶𝑃=𝐶𝑄，∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐵𝐶𝑄，最后根据∠𝐴𝐶𝐵=90°即可得到∠𝑃𝐶𝑄=90°，进而得到△𝑃𝐶𝑄为等腰直角三角形．
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