初中数学方法篇二：待定系数法 (1)

数学方法篇二：待定系数法

对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．

【范例讲析】：

一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

例1.若x26xk是完全平方式，则k=【 】

A．9 B．－9 C．±9 D．±3

二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。

b5ab例2.已知，则的值是【 】

a13ab3294A． B． C． D．

2349三. 待定系数法在因式分解中的应用：目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法。

例3.分解因式：x2x2＝ 。

四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：

例4.无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于 ．

例5.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

例7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，

(1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

例8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长； （3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M的半径为45，求点M的坐标． 5

例6.游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．

（1）根据图中提供信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式； （2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？

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五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用：

例9.2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示： 年份 1896 1900 1904 … 2012 届数 1 2 3 … n 表中n的值等于 ． 例10.如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．

例14.等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。

（1）求证：AM=AN；

（2）设BP=x。①若，BM=，求x的值；

②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；

0

③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

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例11.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公 差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二 阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2， 6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶 等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ．

六. 待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形 对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法， 通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

例12.如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果AB BC23，那么tan ∠DCF的值是 ___________ ．

例13.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’

经过B，EF为折痕，当D’FCD时，CFFD的值为【 】

A. 31 32 B. 6 C. 231 16D. 38

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