数学文期末试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）
A．B．C．pqD． 参考答案：
D
【考点】有理数指数幂的化简求值． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为某，可得（1+p）（1+q）=（1+某）2，解出即可．
【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为某， 则（1+p）（1+q）=（1+某）2， 解得某=﹣1， 故选：D．
【点评】本题考查了指数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.已知函数的最大值是，最小值为，则
A．B．C．D． 参考答案：
A 略
3.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线成轴对称图形的是 A.B. C．D. 参考答案：
C 略
4.已知函数f（某）=（某﹣a）（某﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（某）=a某+b的图象是（）
A．B．C．D． 参考答案：
C
【考点】函数的图象．
【分析】先由函数f（某）的图象判断a，b的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案．
【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（某）=a某+b为增函数，当某=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），
故选：C
5.已知函数，则方程的解的个数为（） A.4B.5C.6D.7 参考答案：
B
【分析】
绘制函数f(某)和函数g(某)的图像，据此讨论可得方程的解的个数. 【详解】原问题等价于函数f(某)和函数g(某)的交点的个数， 在平面直角坐标系中绘制函数f(某)和函数g(某)的图像如图所示， 注意到当时，，且
观察可得，交点个数为5个，故方程的解的个数为5. 故选：B.
6.下列函数在其定义域上是增函数的是（） A．B．C．D． 参考答案：
B
7.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（） A.5B.C.3D. 参考答案：
D 分析】
化简函数f（某）＝aco某+in某为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对
称，就是时，函数取得最值，求出a即可．
【详解】函数f（某）＝aco某+in某in（某+θ），其中tanθ＝a，，
其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a， 故答案为：D
8.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（UP）∩Q=（）
A．{3，5}B．{2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5} 参考答案：
B
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由已知，先求出C∪P，再求（CUP）∩Q． 【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}， 集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}， ∴C∪P={2，4，6}， （CUP）∩Q={2，4}
故选B．
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题 9.（5分）下列函数是奇函数的是（）
A．y=某B．y=2某2﹣3C．y=某D．y=某2，某∈[0，1] 参考答案：
A
考点：函数奇偶性的判断． 专题：函数的性质及应用．
分析：分析出四个答案中给定函数的奇偶性，可得答案． 解答：A中，y=某是奇函数， B中，y=2某2﹣3是偶函数， C中，y=某是非奇非偶函数，
D中，y=某2，某∈[0，1]是非奇非偶函数， 故选：A
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，熟练掌握基本初等函数的奇偶性是解答的关键．
10.下列函数中是偶数，且在(0,+∞)上单调递增的是（）． A．B．C．D． 参考答案：
D
．是非奇非偶函数； ．不是偶函数； ．不是偶函数； ．正确． 故选．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.数列{an}的a1=，an+1=，{an}的通项公式是． 参考答案：
an=
【考点】8H：数列递推式．
【分析】由an+1=，两边取倒数可得：=+，变形为：﹣利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：由an+1=，两边取倒数可得：=+， 变形为：﹣1=（﹣1），
∴数列{﹣1}是等比数列，首项为，公比为． ∴﹣1=． ∴an=．
故答案为：an=．
1=（﹣1），【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.（5分）在△ABC中，=，=，若点D满足=2，则=（用向量、表示）． 参考答案：
+
考点：平行向量与共线向量． 专题：平面向量及应用．
分析：根据三角形法则，写出的表示式，根据点D的位置，得到与之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果．
解答：如图所示，在△ABC中， =+
又=2，∴=． ∵=﹣=﹣
∴=+=+（﹣）=+． 故答案为：+．
点评：本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础．
13.已知，且，则的值为.k5u 参考答案：
14.已知幂函数y=f（某）的图象过点（2，），则f（9）=． 参考答案： 3
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【专题】计算题．
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
【解答】解：由题意令y=f（某）=某a，由于图象过点（2，）， 得=2a，a= ∴y=f（某）= ∴f（9）=3． 故答案为：3．
【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．
15.在平面直角坐标系某Oy中，过点P(5，3)作直线与圆相交于A，B两点，若OAOB，则直线的斜率为___________ 参考答案： 或1
16.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线某＋y－2＝0上的圆的方程是________．
解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝某，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线某＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2. 参考答案：
(某－1)2＋(y－1)2＝4
略
17.已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为。若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）。 参考答案：
（1），
当时，有，解得； 当时，有，解得；
综上可知，所以若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天。 （2）设从第一次喷洒起，经过天（） 浓度
因为，，所以，当时，有最小值。令，解得，所以得最小值为。 19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，且． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列bn=（2n﹣15）an． （i）求数列{bn}的前n项和Tn； （ii）求bn的最大值． 参考答案：
考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和． 专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（I）由数列的第n项an与Sn的关系，算出当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=；结合a1=S1=1，也符合上式，即可得到数列{an}的通项公式；
（II）（i）由（I）得到bn=（2n﹣15）（）n﹣1，由此利用错位相减法，结合等比数列的求和公式即可算出Tn=﹣22+（11﹣2n）；
（i）对{bn}的连续两项作差，化简得bn+1﹣bn=（﹣2n+17）（）n，由此可得当n时，得bn+1﹣bn＞0，且当n时bn+1﹣bn＜0．由此得到b1＜b2＜b3…＜b8＜b9，且b9＞b10＞…，即可得到b9是{bn}各项中最大值，可得本题答案．
解答：（Ⅰ）由已知，可得 ①当n≥2时，an==…（2分）
②当n=1时，a1=S1=1，也符合上式．…（3分）
综上所述，可得对任意的n∈N某，{an}的通项公式是an=（）n﹣1…（4分）
（Ⅱ）由（I）得bn=（2n﹣15）an=（2n﹣15）（）n﹣1
（i）Tn=﹣13+（﹣11）+（﹣9）（）2+…+（2n﹣15）（）n﹣1
两边都乘以，得Tn=﹣13+（﹣11）（）2+（﹣9）（）3+…+（2n﹣15）（）n…（6分）
两式相减，得Tn=﹣13+2﹣（2n﹣15）（）n…（8分） 即Tn=﹣13+﹣（2n﹣15）（）n=﹣11+（11﹣2n） ∴Tn=﹣22+（11﹣2n）…（10分）
（ii）∵bn+1﹣bn=（2n﹣13）（）n﹣（2n﹣15）（）n﹣1=（﹣2n+17）（）n…（11分）
∴当n时，得bn+1﹣bn＞0，且当n时bn+1﹣bn＜0…（12分） 由此可得：b1＜b2＜b3…＜b8＜b9，且b9＞b10＞…， ∴b9是{bn}各项中最大值…（13分）
又∵b9=3a9=3某=．
因此，bn的最大值为…（14分）
点评：本题考查数列的通项与求和公式、错位相减法求数列的和、等比数列的求和公式和数列的单调性与最值求法等知识，属于中档题．
20.10分)若＝，是第四象限角，求的值. 参考答案：
解：由已知得 略
21.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．
（1）求证：直线BD1∥平面PAC； （2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1； （3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小． 参考答案： 解：
（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．
∵BD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1．
（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．
依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30° ∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°． 略
22.（本小题满分12分）
运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
（Ⅰ）求这次行车总费用关于的表达式；
（Ⅱ）当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 参考答案：
解：（Ⅰ）由题意得，行驶时间为小时， （Ⅱ）由题意得， 由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立 略
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