勾股定理讲练

勾股定理

勾股定理

题一：一个直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，则面积为（ ） A．30 B．32.5 C．60 D．75

勾股定理的几何证明

题二：将全等的两个直角三角形△ABC和△CDE拼成如图所示图形，并使B、C、D三点共线，连接AE，请用此图证明勾股定理．

AaBbcEcCabD

A12B15C16D金题精讲

题一：四边形ABCD如图所示，请计算其面积．

题二：已知，一直角三角形的两边长为3和4，则第三边长的平方为 ．

挑战满分

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．

2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A． 2倍

B． 4倍

C． 6倍

D． 8倍

5、在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为n21，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ） A、2n

B、n+1

C、n2－1

D、n21

7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A. a2b2c2 B. a2c2b2 C. c2b2a2 D.以上都有可能 8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A、24cm2

B、36 cm2

2

C、48cm2

2

2

D、60cm2

9、已知x、y为正数，且│x-4│+（y-3）=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A、5

B、25

C、7

D、15

10. 如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若

，求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

勾股定理课后练习（一）

题一：一个直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，则这个直角三角形的面积是 ． 题二：如图，四边形ABCD的面积等于 ．

题三：一个直角三角形两边长分别为10和24，则第三边长的平方为 ．

题四：如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则(ab)(a2+b2)的值等于 ．

题五： 已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=257，O为BC上一点，BO=，如图所示，以22BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点． （1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标； （2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标

勾股定理课后练习（二）

题一：若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，斜边的长是 ．

题二：四个全等的直角三角形拼成如图1、图2所示的图形．任选其中一个证明勾股定理．

题三：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC于C，则四边形ABCD的面积是 ．

题四：一个直角三角形的两边长分别为9和40，则第三边长的平方是 ． 题五：已知A（2，0），B（0，2），试在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，写出所有满足条件点M的坐标．

中考汇编

1. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，

以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）

A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积

C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和

2. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设

勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 ．

3. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形

拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么(ab)2的值是 ．

4. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积

是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）

2

的值为（ ）

A．13 B．19 C．25 D．169

5. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方

形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、

S3、S4，则S1S2S3S4=_____________。

勾股定理的应用

重难点易错点解析

A124勾股定理求长度

2题一：如图，A点到B点的直线距离是多少？

2

B勾股定理比面积

题二：将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ） A．16 B．32 C．8π D．64

A4mDB12m

B9mCA金题精讲

题一：如图，在一块形状为直角梯形的草坪边上，修建了一条由A→D→C的小路．一些路人为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，但实际上他们仅少走了_______m． 题二：如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．

（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多长？

（2）如果从点A开始缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？

题四：如图，一架2.5米长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7米，如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？

AA'OBB'勾股定理的应用课后练习（一）

题一：如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ） A．14 B．16 C．20 D．28

题二：勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若

勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ） A．90 B．100 C．110 D．121

题三：在长，宽，高分别为12cm，4cm，3cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为 cm．

题四：如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．

题五：一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m． （1）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端下滑多少米？

（2）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

题六：等腰直角△ABC中，BC=AC=1，以斜边AB和长度为1的边BB1为直角边构造直角△ABB1，如图，这样构造下去…，则AB3= ；ABn= ． 勾股定理的应用课后练习（二）

题一：如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE为折线，将点C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为（ ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6

题二：有一个棱长为1m且封闭的正方形体纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是 m．

题三：如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，计算阴影部分的面积．

题四：如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，已知AC=7m，这时梯脚B到墙底端C的距离BC为2m，当梯子的顶端沿墙下滑时，梯脚向外移动，如果梯脚B向外移动到

B1的距离为1m时，那么梯子的顶端沿墙下滑的距离AA1 1．（用＞、＜、=来填空）

中考题

1．(2019 内蒙古通辽市) 】．（3分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 ．

2. 已知△ABC中，AB=10，AC=2

，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ．

3.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）

A．（1，1） B．（ ，1） C．（ ， ）

D．（1， ）

4.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）

A．10 B．8 C．6或10 D．8或10

勾股定理逆定理

勾股定理逆定理

题一：如图，已知AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求四边形ABCD的面积．

CDAB

勾股数

题二：以下列各组数据为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．7，24，25 D．4，5，6

金题精讲

题二：下图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成直角三角形_______个．

CADB

思维拓展

题一：观察以下几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41. 请寻找规律，写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第n组勾股数是 ．

学习提醒

重点：

勾股定理逆定理

c2=a2+b2，则为Rt△ABC，∠C=90° 勾股数（比例）：

3, 4, 5；5, 12, 13；7, 24, 25；8, 15, 17

勾股定理逆定理课后练习（一）

题一：如图，已知CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，BC=24cm，AB=26cm，求四边形ABCD的面积．

题二：以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A．5cm，6cm，7cm B．2cm，3cm，4cm C．2cm，2cm，1cm D．5cm，12cm，13cm

题三：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB的度数．

题四：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ．

题五：△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，求AC的长．

题六：观察下面几组勾股数，并寻找规律：

①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26； 请你根据规律写出第⑤组勾股数是 ．

题 七如图，已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD面积．

题一：如图，在4×3的长方形网格中，已知A、B两点为格点（网格线的交点称为格点），若C也为该网格中的格点，且△ABC为等腰直角三角形，则格点C的个数为 ．

题二：观察第一个数为偶数的勾股数：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，若用2n表示第一个偶数，请分别用n的代数式来表示其他两边，并证明确实是勾股数．

11. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形

B.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

22222

C.等腰直角三角形

12.若△ABC的三边长a,b,c满足a2b2c220012a16b20c，试判断△ABC的形状。

专题

考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因

某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ．

考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）

１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

A C B 2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米

8 6

3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”） 4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；•另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示

意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .

120 60 A B DBCA140 C 第5题图7 60 6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．

8米 2米 8米 第6题图

7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km•就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？

1

B 5

3

2

A 8 图18-15

考点七：折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使

点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

25227A. B. C.

434C5D.

3D

AEB2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB

于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。

B A D E

F

C

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

ADEBFC

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

9、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（ ）

A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

考点八：应用勾股定理解决勾股树问题

1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

12D13C3B4A

EDCBA

FG

考点九、图形问题

1、如图1，求该四边形的面积

2、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC的长为 ．

3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 .

4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。 5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

考点十：其他图形与直角三角形

如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地

的面积。

考点十一：与展开图有关的计算

1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

BA3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

考点十二、航海问题

1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．

2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

AC60AB30DM东北C

BD考点十三、网格问题

1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5

DABACCCB

AB

（图1） （图2） （图3）

4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

①使三角形的三边长分别为3、8、5（在图甲中画一个即可）； ②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

甲

乙