2017-2018学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项填在答题卷上）
1．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合A={﹣1，0，1}和B={x|x2=x}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（5分）下列函数既是奇函数，又是在区间（1，+∞）上是增函数的是（ A．y=ex﹣e﹣x
B．y=
C．y=sinx
D．y=ln|x| 3．（5分）已知=（1，0），=（1，1），且（）
，则λ=（ ）A．2
B．1
C．0
D．﹣1
4．（5分）已知tanα=﹣，
，则sinα﹣cosα=（ ） A．
B．
C．
D．
5．（5分）函数y=x2+ln|x|的图象大致为（ ）
A．
B．
第1页（共18页）
）
C．6．（5分）已知A．2
D．
=（cos15°，sin15°），
B．
=（cos75°，sin75°），则|C．
|=（ ）
D．1
）
7．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，则使得f（2x）＞f（成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
8．（5分）如图所示，△ABC是顶角为120° 的等腰三角形，且AB=1，则（ ）
=
A．
B．
C．
D．
，则cos2β=（ ） D．
9．（5分）已知 α，β为锐角，且tanα=7，sin（α﹣β）=A．
B．
C．
10．（5分）若0＜a＜b＜1，则错误的是（ ） A．a3＜b2 C．log2a＜log3b
11．（5分）将函数f（x）=象关于直线x=A．
B．2a＜3b D．loga2＜logb3
cos2x﹣sin2x的图象向右平移θ个单位后得到的图
对称，则θ的最小正值为（ ） B．
C．
D．
12．（5分）如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发，绕着点O
第2页（共18页）
逆时针旋转，在旋转的过程中，记∠AOP=x（0＜x＜π），OP所经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记S=f（x），则下列选项判断正确的是（ ）
A．当x=时，S=
B．当任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有C．对任意x∈（0，D．对任x∈（0，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．（5分）计算：2
= ．
），都有f（），都有f（x+
）+f（）=f（x）+
＜0
）=π
14．（5分）在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点．若DE与对角线AC相交于F．且
=
，则λ= ．
15．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件： ①定义域为R； ②值域为[0，1]； ③f（x）﹣f（﹣x）=0．
试写出一个函数解析式f（x）= ． 16．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+
），x∈R，那么函数y=f（x）的图象与函
数y=|lgx|的图象的交点共有 个．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答必须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
第3页（共18页）
17．（10分）已知cos（1）求sin2α的值； （2）求cos（
）cos（
，．
）的值．
18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示 （1）求函数的解析式．
（2）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
19．（12分）如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=|=1，设，∠BAP=α （1）当α=（2）（
，求）
的值 的最大值．
，点P为矩形内一点，且|
20．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
f（x）=．
第4页（共18页）
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99）
21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=6﹣2x，设H（x）=min{f（x），g（x）}（其中min{p，q}表示p，q中的较小者）． （1）在坐标系中画出H（x）的图象；
（2）设函数H（x）的最大值为H（x0），试判断H（x0）与1的大小关系，并说明理由，（参考数据：ln2.5≈0.92，ln2.625≈0.97，ln2.75≈1.01．） 22．（12分）已知f（x）=x|x﹣a|（a＞0），
（1）当a=2时，求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值；
（2）对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4成立，求实数a的取值范围．
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2017-2018学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项填在答题卷上）
1．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合A={﹣1，0，1}和B={x|x2=x}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：B={0，1}， 则B⊊A，
则对应的Venn图是B， 故选：B．
2．（5分）下列函数既是奇函数，又是在区间（1，+∞）上是增函数的是（ ） A．y=ex﹣e﹣x
B．y=
C．y=sinx D．y=ln|x|
【解答】解：A．f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数， ∵y=ex是增函数，y=e﹣x是减函数，则y=ex﹣e﹣x是增函数，满足条件．， B．y=
的定义域为[0，+∞），则函数为非奇非偶函数，不满足条件．
C．y=sinx是奇函数，则（1，+∞）上不单调，不满足条件． D．f（﹣x）=ln|﹣x|=ln|x|=f（x）是偶函数，不满足条件． 故选：A．
3．（5分）已知=（1，0），=（1，1），且（A．2
B．1
C．0
）
，则λ=（ ） D．﹣1
【解答】解：根据题意，已知=（1，0），=（1，1），
第6页（共18页）
则（若（
）=（1+λ，λ）， ）
，则（
）•=（1+λ）×1+0=0，
解可得λ=﹣1； 故选：D．
4．（5分）已知tanα=﹣A．
，
，则sinα﹣cosα=（ ） C．，得α=
．
B．D．，
【解答】解：由tanα=﹣∴sinα﹣cosα=sin故选：A．
﹣cos
，且=
5．（5分）函数y=x2+ln|x|的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵f（﹣x）=x2+ln|x|=f（x）， ∴y=f（x）为偶函数，
∴y=f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C， 当x→0时，y→﹣∞，故排除D，
或者根据，当x＞0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D， 故选：A．
第7页（共18页）
6．（5分）已知A．2 【解答】解：∵∴则=
=
=（cos15°，sin15°），
B．
=（cos75°，sin75°），则|C．
|=（ ）
D．1
=（cos15°，sin15°），=（cos75°，sin75°），
=（cos75°﹣cos15°，sin75°﹣sin15°），
=
故选：D．
．
7．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，则使得f（2x）＞f（成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
）
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减， ∴不等式f（2x）＞f（即2x＜，即x＜﹣1，
即x的取值范围是（﹣∞，﹣1）， 故选：C．
8．（5分）如图所示，△ABC是顶角为120° 的等腰三角形，且AB=1，则（ ）
=
）等价为f（2x）＞f（），
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，△ABC是顶角为120° 的等腰三角形，且AB=1，则AC=1，
第8页（共18页）
则∠ABC=30°，BC=则
=|
||
，
|cos（180°﹣∠ABC）=1×
=﹣
．
故选：C．
9．（5分）已知 α，β为锐角，且tanα=7，sin（α﹣β）=A．
B．
，则cos2β=（ ） D．，
C．
【解答】解：∵α，β为锐角，且tanα=7，sin（α﹣β）=∴cosα=
=
，sinα=，
=
，
∴可得：α﹣β∈（﹣），可得：cos（α﹣β）=
×
=+
， ×
∴cosβ=cos[（α﹣β）﹣α]=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=
=
，
）2﹣1=﹣．
∴cos2β=2cos2β﹣1=2×（故选：B．
10．（5分）若0＜a＜b＜1，则错误的是（ ） A．a3＜b2 C．log2a＜log3b
B．2a＜3b D．loga2＜logb3
【解答】解：对于A：a3＜a2＜b2，正确； 对于B：2a＜3a＜3b，正确； 对于C：log2a＜log3b，正确； 对于D：不妨令a=，b=， 则loga2﹣logb3 ===
2﹣﹣
3
＞0，
故loga2＞logb3，
第9页（共18页）
故选：D．
11．（5分）将函数f（x）=象关于直线x=A．
cos2x﹣sin2x的图象向右平移θ个单位后得到的图
对称，则θ的最小正值为（ ） B．
C．
D．
【解答】解：将函数f（x）=个单位后， 可得y=2cos（2x﹣2θ+
cos2x﹣sin2x=2cos（2x+） 的图象向右平移θ
） 的图象．
对称，可得
，
﹣2θ+
=kπ，k∈Z，
再根据得到的图象关于直线x=即θ=﹣故选：C．
+
，则θ的最小正值为
12．（5分）如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发，绕着点O逆时针旋转，在旋转的过程中，记∠AOP=x（0＜x＜π），OP所经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记S=f（x），则下列选项判断正确的是（ ）
A．当x=时，S=
B．当任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有C．对任意x∈（0，D．对任x∈（0，
），都有f（），都有f（x+
）+f（）=f（x）+
＜0
）=π
【解答】解：对于A，由题意当x=时，OP所经过的在单位圆O内区域（阴影
=
，
部分）的面积为S为半个单位圆．圆O的半径为1，故S=
第10页（共18页）
故错；
对于B，依题意可得函数S=f（x）单调增，所以对任意x1，x2∈（0，π），且x1
≠x2，都有
对于C，对任意x∈（0，面积π，∴都有f（对于D，当x=故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．（5分）计算：2【解答】解：原式=3+故答案为：4．
14．（5分）在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点．若DE与对角线AC相交于F．且
==
，则λ= 3 ．
， ），
= 4 ． =3+lg10=4．
时，f（
，故错；
），根据图形可得f（x）+f（π﹣x）刚好为单位圆的）+f（）≠
）=π，故正确；
，故错；
【解答】解：∵∴又∴
==
=， +
（
，
∵D，E，F三点共线， ∴
=1，解得λ=3．
故答案为：3．
15．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：
第11页（共18页）
①定义域为R； ②值域为[0，1]； ③f（x）﹣f（﹣x）=0．
试写出一个函数解析式f（x）= |sinx| ．
【解答】解：结合题意得f（x）的定义域是R，值域是[0，1]， 函数是偶函数， 故f（x）=|sinx|或故答案为：|sinx|．
16．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+
），x∈R，那么函数y=f（x）的图象与函
或
（答案不唯一），
数y=|lgx|的图象的交点共有 8 个． 【解答】解：令f（x）=sin（2x+
）=1可知x=
+kπ，
因为y=lgx为（0，+∞）上单调递增， 所以，由由由由由
∈（0，1）可知lg（
）∈（﹣1，0），
+π∈（1，10）可知lg（+2π∈（1，10）可知g（+3π∈（1，10）可知g（+4π∈（10，+∞）可知g（
+π）∈（0，1）， +2π）∈（0，1）， +3π）∈（0，1）， +4π）∈（1，2），
又因为f（1）=sin（2+）＞0，lg（1）=0，
所以函数图象共有八个交点， 故答案为：8．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答必须写出文字说明，证明过程
第12页（共18页）
或演算步骤． 17．（10分）已知cos（1）求sin2α的值； （2）求cos（
）cos（
）的值．
，
．
【解答】（本题满分为10分） 解：（1）∵cos∴sinα=
=
，，…1分
=﹣…4分
（cosα﹣sinα）=
，…8分 ）=（﹣
）×（﹣
）=
…10分 =﹣
…6分
，
∴sin2α=2sinαcosα=2×（2）∵cos（cos（∴cos（
）=
）=﹣sinα=﹣）cos（
18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示 （1）求函数的解析式．
（2）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由图象可知，=﹣=1，则T=2，可得：
=π，…2分
将点（，0）代入y=sin（πx+φ），可得：sin（π×+φ）=0， 所以可得：π×+φ=π+2kπ，k∈Z，解得：φ=π+2kπ，k∈Z， 因为：0＜φ＜π，
所以：φ=π，可得函数的解析式为：y=sin（πx+
）…6分
第13页（共18页）
（2）因为函数f（x）=sin（πx+）的周期是T=2，
所以求x∈[2，3]时，函数f（x）的最大值和最小值就是 转化为求函数在区间[0，1]上的最大值和最小值，…8分 由函数图象可知，当x=0时，函数取得最大值为f（0）=sin当x=时，函数取得最小值为f（）=sin（注：本题也可以直接求函数f（x）=sin（πx+
+）
=
，
）=﹣1，…12分
在区间x∈[2，3]上的最大值和最小值，也可以补全 函数在x∈[2，3]上的图象求解，说理正确即可给分． 19．（12分）如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=|=1，设，∠BAP=α （1）当α=（2）（
，求）
的值 的最大值．
，点P为矩形内一点，且|
【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点建立直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（2，P（cos•
，sin
），即（，）•（﹣，
），D（0，
），
），
）=×（﹣）+（
）2=0；
=（，
（2）设P（cosα，sinα）， 则可得则（=4（
=（2﹣cosα，++
﹣sinα），
=（﹣cosα，
﹣sinα），
=（cosα，sinα），
=（2﹣2cosα，2）•
﹣2sinα），
sinα﹣2sin2α ）﹣2，
=2cosα﹣2cos2α+2
sinα+cosα）﹣2=4sin（α+
第14页（共18页）
当α+（
=）
，即α=时，
取得最大值4﹣2=2．
20．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
f（x）=．
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99）
【解答】解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2．
第15页（共18页）
此时f（x）=44.21sin（当
x=
x）+0.21．
时，即x=时，函数f（x）取得最大值为ymax=44.21+0.21=44.42，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升， （2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时x＞2，
由54.27e﹣0.3x+10.18＜20，得e﹣0.3x＜两边取自然对数得lne﹣0.3x＜ln即﹣0.3x＜ln9.82﹣ln54.27， ∴x＞
=5.7，
，
，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=6﹣2x，设H（x）=min{f（x），g（x）}（其中min{p，q}表示p，q中的较小者）． （1）在坐标系中画出H（x）的图象；
（2）设函数H（x）的最大值为H（x0），试判断H（x0）与1的大小关系，并说明理由，（参考数据：ln2.5≈0.92，ln2.625≈0.97，ln2.75≈1.01．） 【解答】解：（1）作出函数H（x）的图象如下：
（2）由题意可知，x0为函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标，且lnx0=6﹣2x0， 所以H（x0）=f（x0）=g（x0），
设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+2x﹣6，则x0即为函数F（x）的零点． 因为F（2.5）=ln2.5﹣1＜0，F（e）=1﹣（6﹣2e）=2e﹣5＞0， 所以F（2.5）•F（e）＜0，
又F（x）在（0，+∞）上单调递增，且为连续函数，
第16页（共18页）
所以F（x）有唯一零点x0∈（2.5，e）． 因为函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而H（x0）=g（x0）＜g（2.5）=1，即H（x0）＜1． 22．（12分）已知f（x）=x|x﹣a|（a＞0），
（1）当a=2时，求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值；
（2）对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|=
，
结合图象可知，函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，在（1，2]为减函数，在（2，3]上为增函数， ∵f（1）=1，f（3）=3，
∴函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为f（3）=3， （2）f（x）=x|x﹣a|=
，（a＞0），
由题意可得f（x）max﹣f（x）min≤4成立，
①当≥1时，即a≥2时，函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数， ∴f（x）max=f（1）=a﹣1，f（x）min=f（﹣1）=﹣a﹣1， 从而（a﹣1）+a+1=2a≤4，解得a≤2， 故a=2， ②∵f（）=解得x=当＜1＜
，由a，或x=
=x（x﹣a）得4x2﹣4ax﹣a2=0，
a＜0（舍去），
﹣1）＜a＜2，
a时，即2（
此时f（x）max=f（）=从而故2（当1≥
，f（x）min=f（﹣1）=﹣a﹣1，
+a+1=（a+2）2＜4成立， ﹣1）＜a＜2， a时，即a≤2（
﹣1），
第17页（共18页）
此时f（x）max=f（1）=1﹣a，f（x）min=f（﹣1）=﹣a﹣1， 从而1﹣a+a+1=2＜4成立， 故a≤2（
﹣1），
综上所述a的取值范围（0，2]
第18页（共18页）
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