２００６，２６Ａ（６）：９６８—９７７ 数学物理学报 随机分布参数型Ｈｏｐｆｉｅｌｄ时滞神经网络的稳定性 罗琦 （南京信息工程大学信息与通信系 南京２１００４４） 邓飞其 （华南理：：大学自动化科学与工程学院 包俊东 （内蒙古师范大学数学系 呼和浩特０】００２２） 摘要：基于随机ｈｌｂｉｎｉ定理，利用关于空『日Ｊ变量平均的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数与Ｉｔ６公式，研究了 具时滞的分布参数型随机Ｈｏｐｆｉｅｌｄ神经网络的稳定性与镇定，获得了若十充分条件． 关键词：时滞；分布参数；Ｈｏｐｆｉｅｌｄ神经网络；随机Ｆｕｂｉｎｉ定理；稳定性． ＭＲ（２０００）主题分类：９３Ｅ１５ 中图分类号：ＴＰ２７１１。．７４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３—３９９８（２００６）０６—９６８—１０ １ 引言 众所周知，Ｈｏｐｆｉｅｌｄ型神经网络的稳定性有深远的理论意义与广泛的应用背景［ ，引，特 别是应用电子电路来实现某些新的优化智能计算，引人入胜，因而吸引了许多科学工作者对 其进行研究．在国内，文献『３，４］发表后，掀起了一个新的研究神经网络理论的高潮． １９９６ 年开始出现从时间方向的动态变化来考虑神经网络动力学行为的系列论文【 ，引．由于研究难 度较大，至今关于随机神经网络方面的论文还足很少．考虑到电子在不均匀的电磁场中运 行，扩散现象不可避免，文献『７ ９］考虑了具有扩散项的神经网络的稳定性，最近，王林山、 徐道义进一步研究了变时滞反应扩散Ｈｏｐｆｉｅｌｄ神经网络的全局指数稳定【１ｉ＝ｌ】，仔细分析上述 成果不难发现，既有从注意时间方向的动态变化来研究Ｈｏｐｆｉｅｌｄ神经网络的动力学行为方 面的成果，又有研究具有扩散的神经网络的稳定性方面的佳作，但国际国内至今未见关于具 分布参数的Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机神经网络的稳定性方面的研究成果．实际上，由于神经网络是通 过电子电路实现的，其电热效应不可避免，故用随机方程描述更切实际，叉由于电磁场的密 度一般来说是不均匀的，电子在不均匀的电磁场运行过程中，势必涉及扩散问题，因此，用 扩散方程描述就是自然的了，另一方面，虽然电子运行速度快，难免仍会产生相对的滞后现 象．综合上述因素可知，具分布参数的Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机时滞神经网络应更具有代表性，其研究 意义与应用前景不言而喻．至于到目前仍无相应研究成果面世，究其原因主要是没有对应的 Ｉｔ６公式可用，叉尚未找到合适的研究方法与工具． 收稿日期：２００４一ｔｔ一１３；修订日期 ２０Ｕ６—０５—２５ Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｂ２—１０２＠ｎｕｉｓｔ．ｅｄｕ．ｃａ 基金项目：国家自然科学基金（６０５７４０４２）资助 维普资讯 http://www.cqvip.com
Ｎｏ．６ 罗琦等：随机分布参数型Ｈｏｐｆｉｅｌｄ时滞神经网络的稳定性 ９６９ 随机微分方程的理论已日趋成熟［¨ ，随机偏微分方程的研究才刚刚起步，Ｉｔ５［ｉｘ】在 无穷维空 中研究了随机偏微分方程的解的理论，Ｓｉｇｕｒｄ Ａｓｓｉｎｇ［１６】给出了随机偏微分方程 的比较定理，Ｃｈｏｗ ａｎｄ Ｈａｓｒｎｉｎｓｋｉｉ［１７］，Ｄａ Ｐｒａｔｏ ｅｔ ａｌｌ１８］，Ｃｒａｕｅｌ ｅｔ ａｌｌ１９］，Ｂｅｒｇｅ ｅｔ ａｌｌ０ ０］分 别对随机Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程，随机Ｂｕｒｇｅｒｓ方程，随机非线性双曲方程以及半线性和拟线 性的随机抛物方程的解进行了定性分析，最近，Ｂｅｒｇｅ ｅｔ ａｌｌ２１】研究了非线性随机抛物型偏 微分方程全局吸引子的结构与稳定性，文献［２２］则研究了随机分布参数系统的最优控制问 题．我们在文献［２３］中运用随机ｈｌｂｉｎｉ［２４，２０】定理与文献【１２］中利用交换积分次序估计不等 式的方法研究了随机抛物型神经网络的指数稳定问题．本文仍用该方法进一步研究具分布 参数的Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机时滞神经网络的指数稳定性．具体实施方法足运用Ｉｔ６微分公式沿所考 虑的神经网络对构造的关于参数空间变最平均的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数进行微分，克服了研究具分 布参数的Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机时滞神经网络无相应Ｉｔ６公式的困难，给出了该系统稳定与镇定若干 充分条件． ２系统的描述 我们在文献［２３］中考虑了具分布参数的Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机神经网络 卅 ａ￣ｊｇｊ（ｖｊ（ｔ，ｘ）），＋ 卜 ＋∑ （ （ ， ））ｄ１』Ｊ２（ｔ）， ｉ∈ （ ， ）∈兄＋×Ｇ． 本：史进一步考虑具时滞的分布参数型Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机神经网络 ∑ 毗 偿 ∽ ｉ∈人厂，（ｔ， ）∈Ｒ＋×Ｇ 死 、Ｊ、ＪＺ 、●●、，Ｉ●， ｄ ，【 相应的初、边值条件为 ＂ （＜， ）＝ （＜，ｚ），ｉ∈人厂，（＜， ）∈［一７－，０］×Ｇ， Ｏｖ ａ（ ｔｚ），一：Ｏ， 一 ，（￡， ）∈兄＋×ａＧ． （３） ｎ ２１，一（ １，…，ｚ ） ，ＪＸｋ Ｊ＜ ）ｃ月 ，其边界ＯＧ逐 其中， ＝｛１，…，札），Ｒ十＝［０，＋ｏ。），Ｇ ｛片光滑；Ｄｉｋ（ｔ， ，Ｖ） ０足够光滑； １／（Ｇ死），ａｉｊ＝ ／ＧＪ，ｉ∈ ， （∈）是Ｓｉｇｍｏｉｄａｌ 函数，满足 （∈）ｌ １ Ａ ｌ∈ｌ，ｆ∈（一。。，＋ｏ。）． （４） （ｔ）＝（ （ ），…，ｗｉｎ（ｔ）） 足定义在完备的概率空间（Ｑ， ，（ ） ∈Ｊ，Ｐ）上具自然流｛ ｝ｔ≥０ 的ｍ维Ｂｒｏｗｎ运动， ：Ｒ 一Ｒ ， （＂）＝（ （Ｖｉ（ｔ， ））） ．ｍ满足局部Ｌｉｐｓｈｉｔｚ连续和 维普资讯 http://www.cqvip.com
９７０ 数学物理学报 Ｖ０１．２６Ａ 线性增长条件，且盯（０）＝０；７＿－－ＩｌｌａＸ（７＂１，…，，ｒｎ）＞０是常数， （‘， ）∈ （［＿７＿，０］×Ｇ，Ｒ）， 这里， （［一下，０］×Ｇ，Ｒ）表有界的Ｙｏ可测ｃ（＿一下，０］×Ｇ，Ｒ）值随机变量全体； ＝ （ ，…， ） ；ｎ为Ｇ的单位外法向量． 以下我们记Ｅ为（１２ １，（ ｛） ＋，Ｐ）上的期望函数． 定义１称定义在（Ｑ， ，（五）ｔＥＲ＋，Ｐ）上的Ｒ 值的随机向量ｖ（ｔ， ）＝（Ｖｌ（ｔ， ），…， Ｖｎ（ ， ））Ｔ是问题（１－３）的一个解随机场（简称解），如果它满足下面的条件 （Ｉ）ｖ（ｔ， ）＝（Ｖｌ（ｔ， ），…，Ｖ （ｔ， ）） 适应于｛ ） ２０； （ＩＩ）对每一个Ｔ∈Ｒ＋，有ｖ（ｔ， ）∈ （［０，Ｔ］×Ｇ，Ｒ ），且有 Ｅ（／ ｉ删ｎａｘ／ｏ［Ｉｖ（ ＋ｌ 、 ）＜ （ＩＩＩ）对每一个Ｔ∈Ｒ＋，与每一个ｔ∈（０， ］，‘∈［一７＿，０］，我们有 ㈡ 蚪￣／ｏ 喜 ＋Ｌ／ｏ ［一 ｃｆ死， ＋ ｎ ｃ 。ｃｆ一 ， ］ｄｆｄ ＋ 小水 州 （０１ ． （５） Ｐ－ａ．Ｓ．成立． 关于混合问题（１…３）的解的存在唯一性可参见文献［２０］． 定义２￣ｇｔｌ＇ＪＮ Ｊ＇￣ＪＮ（１ ３）的解ｖ（ｔ， ）＝（Ｖｌ（ ， ），…，Ｖｎ（ ， ））丁是均方指数稳定的，如 果存在常数Ｐ＞０，ＯＬ＞０，使得 — （１ｌｔ，（ ， ）１ ）≤ｐ＼ ∈Ｉｎ【一３， ｘ，。】ｌ （＜， ）１ ）ｅ— ｔ，Ｐ—ａ．ｓ． 其中， （＜， ）一（ （＜， ），…， （ ， ））丁， ∈Ｇ，ＩＩ－ｌ ｌ．１ ｄｚ． 在本文中，约定所有的等式与不等式都是依概率几乎必然（Ｐ Ｓ．）成立，不再标明． 注意 ｊ随机Ｆｕｂｉｎｉ定理［２４，２５］，（５）式给我们一个提示，随机过程 西（ ）ｄ ， （６） 可以形式上看作以下随机常微分方程 ㈤＝ 喜 ， 卜 ＋。 ［一６ 一 ， ＋喜。 ｃ仇ｃｆ一 ， ］ｄ ）ｄ ＋ ∑ ２（＂ｔ（ ）捌 （ｔ）， ＝Ⅳ，（ｔ， ）∈Ｒ＋×Ｇ （７） 维普资讯 http://www.cqvip.com
Ｎｏ．６ 满足初始条件 罗琦等：随机分布参数型Ｈｏｐｆｉｄｄ时滞神经网络的稳定性 ９７１ （０）＝ （＜），＜∈卜丁，０］，ｉ∈Ａ／＂ （８） 的解过程．其中， 。（＜）＝由 （ ，：ｃ）ｄｘ ｉ＝１，…，佗．因此，我们可以通过构造一个平均 的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，并运用Ｉｔ６微分公式对该函数沿（１）式求微分，从而获得相应的结论． ３主要结论 记 Ｖｒ（ ， ）＝（Ｖｌ（ｔ—Ｔ１， ），…， Ｊ （ｔ一 ，ｚ）） ， ｇ（＂ （ｔ， ））＝（ｇｌ（Ｖｌ（ｔ Ｔ１， ）），・－・，ｇ （＂ （ｔ— ，ｚ））） ． 定理１假设下列条件满足 （Ｉ） （ ， ），ｉ∈ 在Ｒ＋×Ｇ上有界，且存在常数ｐｉ＞０，使得＂ （ｔ—ｎ， ） ｐｉ＂ （ｔ，ｚ）； （ＩＩ）存在常数 ＞０，使得；ｔｒａｃｅ（ （ｖ（ｔ， ））盯（ｖ（ｔ， ））） ｚ 。（ｔ，ｚ）； ｃⅡ 存在ｎ＞。ｃ ∈ ，使得矩阵Ⅳ＝最大特征值．这里， ０＝ｄｉａｇ（一２ｂｌ＋ｒ Ｐ＝ｄｉａｇ（ｒ１，…，ｒｎ）； ＋ ，…，一２ｂ ＋ｒ¨ （ＡＱＴ—ＡＰ）负定，并设Ａ为矩阵日的 ＋ ），Ａ＝（ａｉｊ） ， （ＩＶ）对任意的 ∈Ａ／＂，存在常数。满足；０＜ ＜ｍｉｎ（Ａ， ｔ ｎ。ｎ ｔ）， 则（１）式的零解是均方指数稳定的，即有关于空间变量平均意义下的均方Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数估 计 Ｔ至ｌｉａ￣ｒ ｌｇ （ ， ） ） 一 （９） 证对任意给定的固定初值＜，记ｖ（ｔ， ）＝ｖ（ｔ，＜， ），令 （ ， （ ， ））＝∑ （ｚ一 ， ）＋∑ｎ／９ （Ｈ ｓ， ））ｄｓ ．同时，构造Ｌｙａｐ￣ｌＩｌＯＶ泛函如下 Ｖ（ｔ，ｆ＿ｊ）＝／Ｖ（ｔ，ｖ（ｔ， ））ｄｘ． 显然，该函数是正定的．因为ｖ（ｔ， ）是（１）式的解，换句话说， 函数，故可以运用Ｉｔ６微分公式沿（１）式计算（１０）式，即有 （１０） （￡， ）是随机过程的复合 ｄＶ（ ，＂）ｌｆ】）＝／ｄｌ／（ｔ，ｖ（ｔ， ））ｌ（１）ｄｘ 一 ［ｃ１ （ｔ，”（ｔ，ｚ））ｄｔ＋ｏｑＶ）Ｔ盯（ （ｔ，ｚ））ｄ （ｔ）］ｄ ∑ ［９ （ｔ，ｚ））一９ （ｔ一 ）） 出 一 维普资讯 http://www.cqvip.com
９７２ 数学物理学报 、，０１．２６Ａ ＋／Ｇ ２ ｃｔ一 ， ［一 ｃｔ一 ， ＋ Ｊ ｌ ９ ｃｔ一 ， ］ｌ ｄ ｄ ＋ｔｒａｃｅ（ Ｔ（”（ｔ， ）） （ｖ（ｔ，ｘ）））ｄｘｄｔ ＋ 妻 ＋２ ∑ 其中【ｌ１］，ｃ （ （ｃ ｊ＝酉 一ＯＶ＋耋（甓鲁）（１］＋ １ ａｃｅ（ （ ） （ｆｊ ）△ （ （１１ 由分部积分法，并注意边值条件（３）有 一 ｍ∑㈨盯 ∑ ＝ ∑ （１２） １ ｋ ＝ｌ 。 鬻（ ） 。 ｄ 由定理条件（Ｉ）、（ＩＩ）及（ｄ １２）式，（１１）式可以化为 ｄＶ（ｔ，ｕ）ｌ（１） ／音 （ＧＺ—［ ｌ （ ＋ｖ￣（ｔ－警 ）Ｔ．ｘ ）Ｊ］ ，卅２ 喜 ａｉｊｖｉ（ｔ—Ｔｉ， ）ｇｉ（Ｖｉ（ｔ一丁｛， ）） ＋２ ∑ （ 一 ）∑ （ ））ｄ ｄＷｌ（ｔ）．（１３） ＝１ Ｚ１１ 注意矩阵Ｈ的定义，（１３）式又可化为 ｄＶ（ｔ，ｕ）Ｉ（１） ／ｔ， （ｔ， ）固ｕ （ｔ， ）＋ｕ （ｔ，ｘ）Ａｇ （ （ｔ， ））＋ｇ （ｕ （ｔ， ））ＡＴｕ （ ，Ｘ） ｎ —ｇＴ ｖ （ｔ， ））Ｐｇ（ｖ （ｔ， ））］ｄｘｄｔ ＋２／Ｇ ， ）∑Ｏｆ））ｄｘｄ （ｔ） ＝１ ＇ｉｌ（仇（ ＝√（ ／（ （ｔ， ）棚Ｔ（ （ｔ， ））Ｈ（ Ｔ（ｔ， ），９Ｔ ｖＴ（ｔ， ）））Ｔ ｄ ｄｔ ｎ ｍ ＋２ ∑ （ｔ ）∑ 础 ）） ｄＷｌ（ｔ） ”ｕ｛＝１ Ｚ １ －Ａ／（ｕ （ｔ， ）＋ｇ （＂ （ｔ，ｘ）））ｄｘｄｔ ＪＧ ｎ ｎ ｍ ＋２ ∑ （ｔ— ， ）∑ ｆ（ ｔ（ｔ， ））ｄ ｄＷｚ（ｔ）． （１４） 维普资讯 http://www.cqvip.com
ＮＯ．６ 罗琦等：随机分布参数型Ｈｏｐｆｉｅｌｄ时滞神经网络的稳定性 ９７３ 取定理条件（ＩＶ）中的 ∈（０， ），再由Ｉｔ６公式，我们有 ｄ ＪｅｔｔＹ（ｔ，ｖ）］ （ｔ－＂ｒｉ，ｘ ＋ ｄ ｌＩ ｄｔ ｓ， ｄｓ］ 其 中 （ ）＋ｇ２（ ）捌ｔ ｔ Ｔｉ，Ｘ 从０到任意的Ｔ＞０积分上面不等式两边，且取数学期望便有 Ｅ［ｅａＴＶ（Ｔ，ｖ）］＜ｐｌ＋Ｅ［ ．／Ｇ Ｊ厂０Ｔ ｅａｔ ｉ＝１ ｃｔ一 ， ｄｔｄ ］ 叫 Ｔ ｃ 捌 ∑ Ｔ 一Ｅ ｃｖ２（ｔ，ｘ）＋ｇ２（ｖ（ｔ，ｘ））０）ｄｔｄｘ］． 其中，Ｐｌ＝ ／ｎ ） ＼ ＋ＩＣｌ Ｅ帆 凡 。】ｄ 计算 ｄ ｅａｔ ２ ｃｔ＋ｓ，ｘ 础ｄ 厂厂Ｔ＋￣Ｉ）ＡＴ ＝ ｎｄｔ 捌 ｉ＝１ Ｔｉ Ｊ ＳＶＯ／Ｇ＿／＿ ））ｄｓ ＋ 加 （ｓ＿州ｓ ｒｉＴ￣ｅ ．于是，（１５）式化为 卧 咿 ］ ＋Ｅ卜 Ｔ 识∽ ｄ ＋ （。ｎ ｅｎ 一 ）＿／Ｇｎ ９ （仇（ｔ— ， ］ 因此，由（１１）式有 。ａ Ｅ ｆ厂＼ Ｇ （ ， ）ｄ １ Ｊ。１＋ａｐ２ 即（９）式成立，亦即说明（１）式的解是均方指数稳定的． ｌ＿ Ｇ ∑ 维普资讯 http://www.cqvip.com
９７４ 数学物理学报 Ｖｌ０１．２６Ａ 显然，定理１的条件比较苛刻，尤其是条件（ＩＶ）与（Ｖ），使得系统的稳定域比较小．如 果增加一个控制函数，则可扩大稳定域．为此，考虑Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机控制分布参数神经网络 ｄｖｉ（ｔ，Ｘ） ＝０［Ｄｉｋ（ｔ，ｘ，ｖ）ＯＶｉ（ｔ，￣ ］一６ｔ ｃｔ一 ， ＋如 ｃ ， ＋喜。 ｃ ｃｔ一 ， ）ｄｔ ＋∑ （ （ ， ））ｄ伽 ｉ∈： ，（ｔ， ）∈Ｒ＋×Ｇ． （１６ 其中，ｋｉ＞０（ｉ∈ ）为控制系数，Ｕｉ（ ， ），ｉ∈ ，（ｔ， ）∈兄＋×Ｇ为控制函数． 定理２假设定理１中的条件（Ｉ）、（ＩＩ）、（ＩＶ）不变，条件（ＩＩＩ）改为 （ＩＩ 存在常数 ＞０ ＞（ 得矩阵肚（暴－ ｐ）负定，并设＿．为矩阵 Ｈ的最大特征值．这里，国＝ｄｉａｇ（～２６１—２ｋｌ＋ｒ 卢 ＋ ，…，一２ｂ 一２ｋ ＋ ＋ １， Ｐ＝ｄｉａｇ（ｒ１＋ 一，ｒ ＋。 ｎ， ），Ａ＝（。 ） ，则控制系统（１６）在控制器 （ ， ）一Ｖｉ（ｔ一 ， ）一ｇｉ（ （ｔ一 ， ）） （１７） 作用下，对应的闭环系统的零解是均方指数稳定的，即关 ｊ：空间变量平均意义下的均方Ｌｙａ— ｐｕｎｏｖ指数估计（９）式仍然成立． 证将（１７）式代入（１６）式得闭环系统 ｛ 去 一 －ｋｉｇｉ（ｖ￣ｃｔ－Ｔｉ，Ｘ ＾ 、 ＋∑ｎｉｊｇ （仇（ ）） ＋∑ （嘶 ））ｄ （ ）， Ｊ Ｊ ／＝１ ｉ∈ ，（ ，ｚ）∈Ｒ＋×Ｇ． （１８） 仍取（１０）式做为Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函数，运用Ｉｔ６公式沿（１８）式计算（１０）式，注意到Ｓｉｇｍｏｉｄａ１ 函数的性质，对每一个ｉ∈ ，容易推得 仇（ｔ ， ）ｇｌ（Ｖｉ（ｔ死， ）） 丢９ （Ｖｉ（ｔ一 ， ））． 类似定理１的证明，我们可以得到 ｄＶ（ｔ，Ｖ）Ｉ（１８） ｛ （讹 ９ ）曰（ ），ｇＴ（ ） ｄ ＋２ ∑仇（ｔ ）∑ （吡 ））捌 （ ） ／Ｇ（ ‘￡ １）＋ｇ２（ｕ ， ）））ｄｘｄｔ＋２／Ｇ （ｔ－Ｔｉ，Ｘ）￣ （ ｚ）） ｄ （ 剩下的只要重复定理１的证明即可． Ｉ 维普资讯 http://www.cqvip.com
Ｎｏ．６ 罗琦等：随机分布参数型Ｈｏｐｆｉｅｌｄ时滞神经网络的稳定性 ９７５ 我们知道，即使是随机干扰，也会出现滞后，即系统（１）中的随机干扰系数应该表为 Ｏ＇ｉｌ（仇（￡， ）），类似定理１，同样可以得到相应结论． 下面考虑形如 一 仇 刊＋ ｔ ＋∑ （ （ ， ））（ｉ （￡），ｉ∈ ，（ ， ）∈Ｒ＋×Ｇ （１９） 的时滞随机反应扩散神经网络，初、边值条件仍为（２）、（３）式，其中ｄｉ（ｉ＝ｌ，…，札）＞０， △为扩散系数，为Ｌａｐｌａｃｅ算子．类似于定理１，我们有 定理３定理ｌ中的条件（Ｉ）、（ＩＩ）、（ＩＶ）不变，条件（ＩＩＩ）改为 （ＩＩＩ）”存在ｋｔ＞０（ｉ∈ ），使得矩阵疗＝Ｉ＼ 、Ａ “ｌ负定，并设一入为矩阵 Ｐ／ 一／ ４、 的最大特征值．这里，Ｑ＝ｄｉａｇ（一２６１一ｄｌ／ｈ２＋ｒ ＋ ，…，一２ｂ 一ｄｎ肛。＋ｒｎ ＋ ）， Ａ＝（ａｉｊ） Ｐ＝ｄｉａｇ（ｒｌ，…，ｒ２），则（１９）式的零解是均方指数稳定的，即有关于空间变量 平均意义下的均方Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数估计式（９）成立． 证仍以（１０）式作为Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，故运用Ｉｔ６微分公式沿（１９）式计算（１０）式，有 １＿ ｄＶ（ｔ，Ｖ）ｌ（１９） ９ ∑ｒｔ［ｉ＝１ ２（仇（￡ 圳捌￡ ∑ ０ ～＝ｊ ＋ ２ ｆ ｄｉＡｖｉ（ｔ－Ｔｉ，Ｘ）－ｂｉｖ＋（ｔ （卜刊 州砌附 一Ｚ ＋ Ｇ ｔｒａｃｅ（盯 （ （ ， ））盯（ （￡， ）））ｄ ｄ￡ １●●●●●●●ｊ ｄ ｉ＝１由散度定理及边界条件有 ｖｉ（ｔ－－Ｔｉ，Ｘ） 再由Ｐｏｉｎｃａｒｅ不等式有 （ｔ Ｔｉ￣Ｘ）ｄｘ＜ｈ２ （ 仇（ｔ－－Ｔｉ，ｘ 将（２１）、（２２）式代入（２０）式有 （２２） （ｔ－－Ｔｉ，Ｘ）ｄ （ （ｔ－－￣：ｉ，ｘ （２１） 训 ［ （ ｔ ＋２∑∑ｎ 仇（￡一 ，ｘ）ｇ （ （￡ ， ）） 维普资讯 http://www.cqvip.com
９７６ 数学物理学报 Ｖｏ１．２６Ａ ＋２／． ｔ— ， ｘ））ｄｘｄｗｚ（ｔ） Ｇ 注意定理３中的矩阵宜的定义，同样有（１４）式成立．余下的证明与定理１后部分相同，故 略． １ ４ 结论 本文的思想方法同文献ｆ２３，所不同的是由于涉及时滞，需要构造一个关于空间变量平 均的Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函，然后运用Ｉｔ６微分公式对该泛函沿时滞随机神经网络求微分．本文所 获结论均为新结果．如果将定理条件适当修改，还可获得系列推论． 关于复杂系统的研究已受到科学工作者的广泛关注．就微分方程模型而言，随机常微分 方程的研究已日趋成熟，分布参数系统的研究也较深入，由Ｊ 尚未找到合适的方法与工具， 对随机分布参数系统的研究刚刚起步，而这类系统更贴近于实际系统，因此，对随机分布参 数系统的研究具有深远的理论意义与广泛的应用背景． 关于随机分布参数系统的研究方法还有待于进一步开拓．实际上，积分方法、不等式方 法、Ｌｙｐｕｎｏｖ方法均有望用于随机分布参数系统的研究． 关于随机分布参数系统的研究，可以说是一块有广阔开发前景的处女地，目前，围内尚 未起步，国际上研究论文也不多，研究空间与应用前景看好． 参考文献 『１１ Ｈｏｐｆｉｅｌｄ Ｊ Ｊ．Ｎｅｒｕａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｅｍｅｒｇｅｎｔ ｃｏｌｌｅｃｔ ｃｏｉｎｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｂｉｌｉｔｉｅｓ Ｐｒｏｃ Ｎａｔｌ Ａｃａｄ Ｓｃｉ ＵＳＡ １９８２，７９：２５５４ ２５５８ ｌ２１ ｔｔｏｐｆｉｅｌｄ Ｊ Ｊ，Ｗ Ｔａｎｋ Ｄ Ｃｏｉｎｐｕｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｎｅｕｒａｌ ｃｉｒｃｕｉｔｓ：ａ ｎｌｏ（ｔｅ１．Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９８６，２３３：６２５ ６３３ ［３］廖晓昕．细胞神经网络的数学理论Ｌ中国科学Ａ辑， １９９４，２４（９）：９０３—９１０ ［４］梁学斌，吴立德．Ｈｏｐｆｉｅｌｄ型神经网络的全局指数稳定性及其应用．中国科学Ａ辑， １９９５，２５（５）：５２３—５３２ 『５１ Ｌｉａｏ Ｘ Ｘ，ＭａＯ Ｘ Ｒ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｅｕｔｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｎｅｕｒａｌ，Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ， １９９６．４：２０５ ２２４ 『６１ Ｌｉａｏ Ｘ Ｘ，Ｍａｏ ｘ Ｒ．Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９６，１４（２）：１６５ １８５ 【７］Ｈｅ Ｑ Ｍ，Ｋａｎｇ Ｌ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｔｆｏｐｆｉｅｌｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｓｙｓｔｅｍ． Ｎｅｕｒａｌ，Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ，１９９４，２：１６５－１ ７６ ［８］廖晓听，傅于力，高建等．具有反应扩散的ｔｔｏｐｆｉｅｌｄ神经网络的稳定性．电于学报，２０００，８（１）：７８ ８０ ［９］Ｌｉａｏ ｘ ｘ，Ｙａｎｇ Ｓ ｚ，Ｃｈｅｎｇ Ｓ Ｊ，ｅｔ ａ１．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｄｉｆｕｓｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ，２００１，４４Ｆ（５）：３８９ ３９５ 【１０］王林山，徐道义．变时滞反应扩散Ｈｏｐｆｉｅｌｄ忡经网络的全局指数稳定性．中国科学Ｅ辑，２００３，３３（６）：４８０—４９５ 『１１１刘永清，邓飞其．随机系统的变结构控制．广州：华南理工大学出版社， １９９８ 『１２１ Ｍａｏ Ｘ．Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｍａｒｃｅｌ Ｄｅｋｋｅｒ Ｉｎｃ，１９９４ ［１３］郭雷．时变随机系统一稳定性、估 与控制．长春：吉林科学出版社， １９９３ 【１ ４］胡宣达．随机微分方程稳定性理论．南京：南京人学ｍ版社。１９８６ 『１５１ Ｉｔ５ Ｋ．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｄｉｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｉｎｆｉｎｉｔｅ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｓｐａｃｅｓ．ＣＢＭＳ Ｎｏｔｅｓ ４７， Ｂａｔｏｎ Ｒｏｕｇｅ：ＳＩＡＭ，１９８４ ［１６］Ｓｉｇｕｒｄ Ａｓｓｉｎｇ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ Ｔｈｅｉｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９９，８２：２５９ ２８２ ［１７］Ｃｈｏｗ Ｐ Ｌ，Ｈａｓ’ｍｉｎｓｋｉｉ Ｒ Ｚ．Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｌｌｅａｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ＇．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９７，１５（５）：６７１ ６９９ ［１８］Ｄａ Ｐｒａｔｏ Ｇ，Ｄｅｂｕｓｓｃｈｅ Ａ，Ｔｅｍａｍ Ｒ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｂｕｒｇｅｒｓ’ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ Ａｐｐｌ， １９９４，１：３８９—４０２ ｍ∑ 维普资讯 http://www.cqvip.com
Ｎｏ．６ 罗琦等：随机分布参数型Ｈｏｐｆｉｅｌｄ时滞神经网络的稳定性 ９７７ １９９７，９ ｆ２）： Ｃｒａｕｅｌ ｔｔ，Ｄｅｂｕｓｓｃｈｅ Ａ，Ｆｌａｎｄｏｌｉ Ｆ．Ｒａｎｄｏｍ ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ．Ｊ Ｄｙｎａｍｉｃｓ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，３０７－３４１ 蜘 虬 站 丝 Ｂｅｒｇｅ Ｂ，Ｃｈｕｅｓｈｏｖ Ｉ Ｄ，Ｖｕｉｌｌｅｒｍｏｔ Ｐ Ａ，Ｏｎ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ＳＰＤＥ’Ｓ ｄｒｉｖｅｎ ｂｙ Ｗｉｅｎｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ Ｔｈｅｉｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００１，９２：２３７ ２６３ Ｌｉｕ Ｋ，Ｔｒｕｍａｎ Ａ．Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ａｌｍｏｓｔ ＳＵｒｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０００，５０：２７３—２７８ 王康宁．最优控制的数学理论．北京：国防工业出版社。 １９９５ Ｌｕｏ Ｑ，Ｄｅｎｇ Ｆ Ｑ，Ｂａｏ Ｊ Ｄ，Ｚｈａｏ Ｂ Ｒ，Ｆ、ｌ Ｙ Ｌ．Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｈｏｐｆｉｅｌｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ，２００４，４７Ｆ（６１：７５２ ７６２ Ｌｉｐｔｓｅｒ Ｒ Ｓ，Ｓｈｉｒｙａｅｖ Ａ Ｎ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｒａｎｄｏｍ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ Ｉ－ＩＩ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｖｅｒｌａｇ，１９７７ 龚光鲁．随机微分方程引论（第二版）．北京：北京＿人学 版社。 １９９５ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｔｙｐｅ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｈｏｐｆｉｅｌｄ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ ｗｉｔｈ Ｔｉｍｅ Ｄｅｌａｙ Ｌｕｏ Ｑｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，Ｎａ ｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｅｌ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｎａｎｊｉｎｇ ２１ ００４４） Ｄｅｎｇ Ｆｅｉｑｉ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｅｌ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０ ０） Ｂａｏ Ｊｕｎｄｏｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕｈｅｈａｏｔｅ ０１ ００２２） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｅｌａｙ Ｈｏｐｆｉｅｌｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｂａｓｅｍｅｎｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｆｕｂｉｎｉ Ｔｈｅｏｒｅｍ．Ａｖｅｒａｇｉｎｇ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｓｐａｔｉａｌ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｎｄ Ｉｔ６ ｆｏｒｍｕｌａ ａｒｅ ｅｍｐｌｏｙｅｄ。Ｓｏｍｅ ＳＵｍｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ；Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ；Ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ；Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｈｌｂｉｎｉ Ｔｈｅｏｒｅｍ； Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ． ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：９３Ｅ１５
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