自动化机床管
摘要
自动化车床管理问题，连续加工零件时可能会出现的问题有刀具损坏等原因，工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%，其它故障占5%。出现故障时，需要零件损失费，检查费，发现故障进行调节使恢复正常需要的平均费用，未发现故障时更换新刀具的费用，最后要求工序效益最好，求出最优解。先用excel对数据进行处理，求出相应数据，进行模型的建立。最后对模型进行推广，使其运用都生产中。
关键词：自动化车床管理、正态分布、几何分布、模型、最优解
一．问题重述
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
已知生产工序的费用参数如下：
故障时产出的零件损失费用 f=200元/件； 进行检查的费用 t=10元/次；
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。 1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。
2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.
附:100次刀具故障记录(完成的零件数) 466 621 918 536 778 394 694 448 631 774 355 462 663 552 865 952 632 663 730 568 627 424 171 522 759 890 560 562 534 371 546 972 482 771 641 617 574 335 521 755 508 638 740 480 690 292 83 283 581 671 579 746 611 381 507 837 426 243 498 757 438 560 428 828 636 483 607 679 461 212 755 701 1160 533 963 674 1056 534 501 714 812 600 595 863 780 354 489 795 541 311 496 671 845 665 618 630 121 580 635 848
二．模型的假设
（1)假设零件的检查为等间隔检查；
(2)假设定期换刀周期为检查周期的整数倍；
(3)检查时间和换刀时间忽略不计；
(4)假设刀具故障间隔服从正态分布；
(5)假设其他故障间隔服从几何分布；
(6)生产任一零件出现故障机会均等，且相互独立
三．符号的说明
Tc：检查周期，每加工 Tc个零件检查一次； m：检查第
m次时定期换刀；
T：定期换刀周期，每加工 T个零件定期换刀 T=m·Tc ；
f：故障时产生的零件损失费用f=200元/件； h：进行检查的费用h=10元/次；
d：发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次(包括刀具费)； e：未发现未发现故障时更换一把新刀具的费用e=1000元/次； w：工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用w=1500元/次； x1：首次刀具故障时已加工的零件数； x2：首次其他故障时已加工的零件数； x：首次故障时已加工的零件数； E(T)：刀具更换周期的数学期望；
E(z)：一个刀具更换周期内的总费用的数学期望；
E(c)：一个刀具更换周期内加工单位合格零件的平均损失费用。
四．问题设计
本题要解决的是关于自动化车床连续加工零件的工序中设备定期检查和刀具更换的最优策略问题。由于刀具损坏等原因会使工序出现故障产生不合格的零件造成经济损失，因此需要定期检查工序是否出现故障，并定期更换刀具以预防出现故障。如果检查周期和换刀周期太小，将会使检查费用和换刀费用过高；如果检查周期和换刀周期太大，将会使工序故障频繁，不合格零件数量过多，从而导致零件损失费用过高。以上情况都将导致加工单位合格零件的平均损失费用过高，而该策略的优劣标准即为加工单位合格零件的平均损失费用，因此需要确定最佳检查周期和换刀周期来减少损失，使得单位合格零件的平均费用最低。
对于问题一，未发生故障时生产的零件都是合格品，发生故障时产出的零件均为不合格品，所以我们可以通过检查零件是否合格来确定工序是否出现故障。若检查出不合格零件，则判定工序发生了故障，立刻停机进行调节使其恢复正常，此时总损失费用包括检查费用、调节使恢复正常的费用和零件损失费用。若定期换刀之前一直未发生故障，则总损失费用包括检查费用和更换刀具费用。对于零件损失费用的计算，关键在于求出一个换刀周期内的不合格零件数。最后以一个换刀周期内加工出单位合格零件的平均损失费用为目标函数，求其最小值。
对于问题二，无论工序正常还是故障，均可能加工出合格品和不合格品，因 而容易产生误判。所以在分析问题二时，可以在问一的基础上重点分析误判的两种情况：工序正常时检测出不合格品而误认为工序发生故障和工序发生故障时检 测出合格品而误认为工序正常。
五．模型的建立与求解
1.数据分析与处理
（1）刀具故障间隔的概率密度函数
根据题中给出的100次刀具故障记录，利用EXCEL软件对这些数据进行相的统计分析。采用6SQ统计插件中估计和假设检验下的卡方拟合优度检验对其进 行正态分布的检验得结果如下：
在显著性水平0.05时，发现刀具故障间隔x1服从正态分布x1~2,N， 由此可知概率密度函数为
（2）其他故障间隔的分布函数已经假设其他故障间隔服从几何分布，其分布函数为
则其数学期望为
由题意知刀具故障和其他故障分别占工序故障的95%和5%，近似认为其期望值之比等于其百分比之比：
(3)总故障间隔的分布函数
由刀具故障分布函数和其他故障分布函数得
2.模型一：对问题一的求解
（1）一个刀具更换周期的总费用的数学期望E(z) 其求解可分为以下两种情况： 第一种情况，在定期换刀之前一直未发生故障，则前面加工的全部零件均为合格品。此时损失包括两部分：
①检查费用：m * h ②更换刀具费用：e
此情况下的平均总费用记为Z1：
第二种情况，在定期换刀之前发生了故障，设第k+1次检查不合格，故障发生在第(
)次加工上。假设加工第i个零件时发生故障的概率近似为
此时损失费用包括三部分： ①检查费用：（k+1）h；
②发现故障进行调节使恢复正常的平均费用：d; ③ 零件损失费用:
此情况下的平均损失费用记为Z2:
所以，一个刀具更换周期内的总费用的数学期望为:E(z)=Z1+Z2.
（2）刀具更换周期的数学期望E（T）
因为刀具更换周期T是关于m和Tc的函数，所以也是随机变量，其数学期 望E(T)可通过对加工零件的个数进行积分得到：
（3）加工单位合格零件的平均损失费用E(C)
（4）问题一的随机优化模型
综上所述，问题一的随机优化模型可表示为：
（5）模型一的求解
利用matlab编程并采用穷举法进行搜索。由x1呈正态分布可知，当刀具生产600个零件附近时出现故障概率最大，所以刀具更换周期T的最优解应该600附近，我们在300~800范围内进行搜索。对于m和Tc的最优解，先以10为步长计算费用，发现m在20~30，Tc在10~20之间最优，再改变步长为1在上述区间内搜索得最优解为Tc=18，m=20，E(c)=4.62。
3.模型二：对问题二的求解
分两种情况：
1.在换刀具之前一直未发生障碍，产品中不合格的概率为2%，因而造成的损失包括零件不合格造成的损失，检查费用，更换刀具的费用，误认有故障停机 产生的费用，所以平均费用
2.假设在 第(k×Tc)和(k+1)×cT 出现了故障，设这个点为(k×Tc+i)个零件时，分两种情况，在t×Tc时才发现故障或直到换刀也没有发现故障。 发现故障的情况，其中概率为：
其中有合格品(k×Tc+i-1)个，不合格产品有t×Tc-(k×Tc+i-1)（个），根据合格率可得平均费用：
没有发现故障的情况，概率为
平均费用为：
求出最小费用取其平均值为Z2 结合（1）和（2），平均费用为：
六．模型的评价
经过优化的模型具有一定的实用性，可能此模型没有考虑到某些因素，当某个加工步骤运用可行时，可逐步运用到多步骤加工程序中，在进行生产中在连续检查中如果还有不足，可以多种方法在一定程度上相结合，使其综合具有更好地使用价值。
七、参考文献
[1]李学文 李炳照 王宏洲 数学建模优秀论文精选与点评(2005-2010).北京；清华大学出版社.2011.
[2] 姜启源 谢金星 叶俊.数学模型(3版).北京：高等教育出版社.2003.
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