高考理科数学考点五十四随机事件的概率

课时达标检测（五十四） 随机事件的概率

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 随机事件的频率与概率

1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 [10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70) 2 则样本数据落在区间[10,40)的频率为( ) A．0.35 C．0.55

B．0.45 D．0.65

2＋3＋49

解析：选B 数据落在[10,40)的频率为＝＝0.45，故选B.

2020

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )

A．134石 C．338石

B．169石 D．1 365石

28

解析：选B 这批米内夹谷约为×1 534≈169石，故选B .

254

3．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：

162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.

根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm～170.5 cm 之间的概率约为( )

2A. 52C. 3

1B. 21D. 3

解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm～2

170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，52

其身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率约为. 5

4．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )

小学+初中+高中

小学+初中+高中

A．49 C．0.51

B．0.5 D．0.49

51

解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝1000.51.

对点练(二) 互斥事件与对立事件

1．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是( )

A．A与B为互斥事件 C．A与C为对立事件

B．A与B为对立事件 D．A与C为互斥事件

解析：选A 事件A与B不可能同时发生，A，B互斥，但不是对立事件，显然A与C不是互斥事件，更不是对立事件．

2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )

A．互斥但非对立事件 C．相互独立事件

B．对立事件 D．以上都不对

解析：选A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．

3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球

解析：选D 对于A，两事件是包含关系，对于B，两事件是对立事件，对于C，两事件可能同时发生．故选D.

4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为( )

A．0.95 C．0.92

B．0.97 D．0.08

解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.

5．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a小学+初中+高中

小学+初中+高中

－5，则实数a的取值范围是( )

5A.4，2 53C.4，2

53

B.4，2 54D.4，3

0

由题意可得0PA＋PB≤1，

解析：选D

0<2－a<1，



即0<4a－5<1，3a－3≤1，

54

解得43

6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.

解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.

答案：0.97 0.03

7．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为

71，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球1515

的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．

解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需718

两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.由于事件A“至

151515少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－

答案：

814 1515

114＝. 1515

41

8．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则x＋y的最小值为________． 414＋1＝5＋4y＋x≥9，当且仅解析：由题意，x>0，y>0，x＋y＝1.则x＋y＝(x＋y)·xyxy当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9. 小学+初中+高中

小学+初中+高中

答案：9

[大题综合练——迁移贯通]

1．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾”箱 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002＝＝. 厨余垃圾总量400＋100＋1003

(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃400＋240＋60

圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝

1 0000.3.

2．某校有教职工500人，对他们的年龄状况和受教育程度进行调查，其结果如下：

35岁以下 35～50 50岁以上 高中 10 20 30 专科 150 100 60 本科 50 20 10 研究生 35 13 2 合计 245 153 102 随机地抽取一人，求下列事件的概率： (1)50岁以上具有专科或专科以上学历； (2)具有本科学历； (3)不具有研究生学历．

解：(1)设事件A表示“50岁以上具有专科或专科以上学历”，

小学+初中+高中

小学+初中+高中

60＋10＋2P(A)＝＝0.144.

500

(2)设事件B表示“具有本科学历”， 50＋20＋10P(B)＝＝0.16.

500

(3)设事件C表示“不具有研究生学历”， 35＋13＋2

P(C)＝1－＝0.9.

500

3．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增

加

5.

已

知

近

20

年

X

的

值

为

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

(1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量 频率 70 1 20110 140 4 20160 200 220 2 20(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．

解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量 频率 70 1 20110 3 20140 4 20160 7 20200 3 20220 2 20X(2)由已知可得Y＝＋425，

2

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)

＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) 1323＝＋＋＝. 20202010

小学+初中+高中